גרסת הדפסה | החוברת

אורך מדויק שאינו שבר פשוט

זהו מודול העשרה

לא נדרשת כאן הוכחה פורמלית מלאה. המטרה היא לראות ש-

2

הוא אורך אמיתי ומדויק, גם אם הכתיבה העשרונית שלו אינה מסתיימת ואינה מחזורית. זהו אחד מהמספרים החשובים ביותר במתמטיקה, והוא מסמל את הרגע ההיסטורי שבו האנושות הבינה שעולם המספרים גדול יותר מהשברים.

אם אתם נבחנים על המודול הזה, השאלות יתמקדו בהבחנה בין ערך מדויק לקירוב, ובהבנה שאורך גאומטרי יכול להיות אי-רציונלי. הוכחה פורמלית בסגנון "בהנחה ש-

2 = \frac{p}{q}

, נראה סתירה" שייכת ללימודים גבוהים יותר.

אלכסון ריבוע יחידה

בריבוע שצלעו

1

, האלכסון ארוך יותר מצלע אחת וקצר יותר משתי צלעות. לכן כבר לפני חישוב מדויק ברור שהוא נמצא בין

1

ל-

2

. אבל מהו האורך המדויק? פיתגורס נותן לנו את התשובה.

ריבוע יחידה ואלכסון

האלכסון של ריבוע יחידה מוביל לערך המדויק

2

ערך מדויק מול קירוב

$2$ הוא סימון לערך מדויק. הקירוב $1.41$ עוזר למדוד ולחשב, אבל אינו כל הערך.

1 < 2 < 2, 2 \approx 1.414

במתמטיקה יש הבדל חשוב בין תשובה מדויקת לבין קירוב שימושי. $2$ מציג את ההבדל בצורה החדה ביותר.

האלכסון לפי רעיון פיתגורס

d^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2, d = 2

השורה הזאת אינה שיעור מלא במשפט פיתגורס. היא רק מכינה את הרעיון: לפעמים גאומטריה נותנת לנו משוואה על ריבוע של אורך, והשורש נותן את האורך עצמו. במשולש ישר זווית עם שני ניצבים שווים באורך

1

, היתר מקיים

d^{2} = 2

, ומכאן

d = 2

מדויק גם בלי עשרוני סופי

כאשר כותבים $2$ , לא מתכוונים לניחוש. מתכוונים למספר החיובי היחיד שהריבוע שלו הוא $2$ .

(2)^{2} = 2

לכן במתמטיקה שומרים לעיתים את הכתיב המדויק $2$ , ומשתמשים בקירוב רק כשצריך למדוד או לחשב בקירוב מספרי.

מיקום על הציר

כדי לשכנע את עצמנו שהערך נמצא בין

1

ל-

2

, בודקים את הריבועים שסביב

2

1^{2} = 1

קטן מ-

2

, ו-

2^{2} = 4

גדול מ-

2

. לכן

2

נמצא בקטע פתוח בין

1

ל-

2

, ולא בקטע אחר.

מיקום $2$ בין שלמים

למה $2$ בין $1$ ל- $2$ ?

2

נחשב ריבועים של המספרים הסמוכים.
$1^{2} = 1, 2^{2} = 4$
המספר $2$ נמצא בין $1$ ל- $4$ .
$1 < 2 < 4$
נעבור לשורשים.
$1 < 2 < 2$

תשובה:

1 < 2 < 2

שלוש דרגות קירוב של $2$

ככל שמוסיפים ספרות אחרי הנקודה, הקירוב הופך לטוב יותר. אבל אף קירוב סופי אינו מגיע ל-

2

בדיוק. הטבלה הבאה ממחישה זאת על ידי בדיקת ריבוע של כמה קירובים מוכרים.

ככל שיש יותר ספרות, הקירוב טוב יותר

קירוב	ריבוע הקירוב	מרחק מ- $2$
$1.4$	$1.96$	$0.04$
$1.41$	$1.9881$	$0.0119$
$1.414$	$1.999396$	$0.000604$
$1.4142$	$1.99996164$	$0.00003836$
$1.41421$	$1.99998992 \dots$	$\approx 1 0^{- 5}$
$1.414213562$	$\approx 1.99999999$	$\approx 1 0^{- 9}$

כל קירוב סופי לא מגיע אף פעם ל- $2$ בדיוק. הערך המדויק נשמר רק עם הסימון $2$ .

רקע היסטורי קצר

2

הוא לפי המסורת אחד המספרים האי-רציונליים הראשונים שזוהו במתמטיקה. הסיפור מתחיל ביוון העתיקה, בקבוצה של מתמטיקאים שנקראו הפיתגוראים, על שם פיתגורס מסאמוס (לפני כ-

2500

שנה).

סיפור הפיתגוראים

הפיתגוראים האמינו שכל המספרים בעולם הם רציונליים, כלומר שכל אורך וכל היחסים בטבע אפשר לכתוב כשבר של שני שלמים. "הכל מספר", אמרו, ואצלם 'מספר' פירושו רציונלי.

אבל אז גילו שצלע הריבוע ואלכסונו אינם מקיימים יחס של שני שלמים, כלומר אורך האלכסון של ריבוע יחידה אינו רציונלי. הגילוי הזה זעזע אותם, ולפי אגדה (שאולי אינה מדויקת היסטורית) הפיתגוראים הסתירו את הגילוי, ואחד מחבריהם, היפסוס, נטבע בים בעקבות זה.

מאז התרחב עולם המספרים: הוסיפו את האי-רציונליים, ויצרו יחד עם הרציונליים את קבוצת המספרים הממשיים. בכיתה ח אנחנו מבססים את היסוד הזה.

$2$ במציאות

2

אינו רק עניין תיאורטי. הוא מופיע במקומות מעשיים שאתם בוודאי מכירים. הנה כמה דוגמאות שראויות להכרה.

$2$ סביבנו

גודל נייר A

בסדרת דפי הסטנדרט הבינלאומי - $A 4$ , $A 3$ וכן הלאה - היחס בין הצד הארוך לצד הקצר הוא בדיוק $2$ . זה מאפשר לחתוך דף לחצי ולשמור על אותן פרופורציות.

אלכסון מסך מרובע

במסך ריבועי בגודל $1$ מטר על $1$ מטר, אורך האלכסון הוא $2$ מטר, בערך $1.41$ מטר.

מוזיקה

ביחס תדרים מסוים בסולמות מוזיקליים מופיעים מספרים שאינם רציונליים, כולל יחס שקרוב ל- $2$ .

כל אלכסון של ריבוע

אלכסון של כל ריבוע שצלעו $s$ הוא $s 2$ . למשל ריבוע $5 \times 5$ מטר - אלכסון $52 \approx 7.07$ מטר.

שורשים אחרים שאינם רציונליים

2

אינו לבד. כל שורש של מספר שלם שאינו ריבוע שלם הוא אי-רציונלי. הנה כמה דוגמאות חשובות, וגם אומדן של הערכים שלהם.

אי-רציונליים מוכרים

$3$

אי-רציונלי. $1 < 3 < 2$ , בערך $1.732$ . מופיע באלכסון של תיבה ובמשולש שווה צלעות.

$5$

אי-רציונלי. $2 < 5 < 3$ , בערך $2.236$ . מופיע ביחס הזהב $\frac{1 + 5}{2}$ .

$7$

אי-רציונלי. $2 < 7 < 3$ , בערך $2.646$ . כל שורש של מספר ראשוני אי-רציונלי.

$11$

אי-רציונלי. $3 < 11 < 4$ , בערך $3.317$ . ראשוני, ולכן השורש שלו אי-רציונלי.

מה לא מסיקים מ- $2$

העובדה שמספר אינו נכתב כשבר פשוט אינה אומרת שהוא לא קיים או שהוא רק ניחוש. אפשר לצייר אותו (אלכסון של ריבוע יחידה), למדוד אותו (במשפט פיתגורס), ולשמור אותו בדיוק בעזרת סימון שורש.

מדויק וקירוב

מדויק

$2$ הוא שם מדויק לאורך האלכסון.

ריבוע הסימון: $(2)^{2} = 2$ בדיוק.

קירוב

$1.41$ או $1.414$ הם קירובים שימושיים למדידה.

ריבוע הקירוב: $1.4 1^{2} = 1.9881 \neq = 2$ .

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.בין אילו שלמים נמצא $2$ ?

$1$ ו- $2$
$2$ ו- $3$
$0$ ו- $1$
$4$ ו- $5$

2.מה מייצג $2$ בריבוע יחידה?

אלכסון
היקף
שטח
זווית

3.מהו $1.41$ ביחס ל- $2$ ?

קירוב
ערך מדויק
שורש אחר
מספר שלילי

4.מה מלמדת הדוגמה של שורש 2?

יש אורכים מדויקים שאינם שברים פשוטים
אין משמעות לאלכסון
כל שורש הוא שלם
כל קירוב שווה לערך המדויק

5.איזה משפט נכון?

$2$ אי-רציונלי
$2 = 2$
$2 = 1$
$2$ אינו מספר

6.מהו $(2)^{2}$ ?

$2$
$4 = 2$
$2$
$4$

7.מי גדול יותר, $2$ או $1.5$ ?

$1.5 > 2$
$2 > 1.5$
שווים בדיוק
אי אפשר

8.באיזה גודל נייר היחס בין צדדים הוא $2$ ?

סדרת ISO A (A4, A3, A2...)
כל סוג של נייר
רק נייר ריבועי
רק במחקר היסטורי

9.אורך אלכסון של ריבוע $3 \times 3$ ?

$32$
$2$
$6$
$9$

10. $3$ - רציונלי?

לא, $3$ אינו ריבוע שלם
כן
תלוי בקירוב
אי אפשר לדעת

11.אומדן: $2 \approx ?$

$1.41$
$2$
$1.5$
$0.5$

12.מי גילה היסטורית את $2$ כאי-רציונלי?

הפיתגוראים, ביוון העתיקה
ניוטון
אוקלידס לבד
המדענים המודרניים

13.מהו ההבדל בין $2$ למחשבון שמראה $1.4142136$ ?

המחשבון מציג קירוב; הסימן $2$ הוא הערך המדויק
אין הבדל
המחשבון יותר מדויק
$2$ הוא קירוב

14.סדרו מהקטן לגדול: $2, 3, 8$

$2 < 3 < 8$
$8 < 3 < 2$
כולם שווים
$3 < 2 < 8$

15.ברבוע ששטחו $50$ סמ"ר, אורך הצלע הוא...

$50 = 52 \approx 7.07$ ס"מ
$25$ ס"מ
$50$ ס"מ
$10$ ס"מ

16.כל קירוב סופי של $2$ ...

כשמעלים אותו בריבוע, מתקבל מספר קרוב ל- $2$ אבל לא בדיוק
שווה בדיוק ל- $2$
אינו מוגדר
תמיד גדול מ- $2$