העשרה: מדוע $2$ מיוחד

אורך מדויק שאינו שבר פשוט

טוען סימולציה...

זהו מודול העשרה

לא נדרשת כאן הוכחה פורמלית מלאה. המטרה היא לראות ש- $2$ הוא אורך אמיתי ומדויק, גם אם הכתיבה העשרונית שלו אינה מסתיימת ואינה מחזורית. זהו אחד מהמספרים החשובים ביותר במתמטיקה, והוא מסמל את הרגע ההיסטורי שבו האנושות הבינה שעולם המספרים גדול יותר מהשברים.

אם אתם נבחנים על המודול הזה, השאלות יתמקדו בהבחנה בין ערך מדויק לקירוב, ובהבנה שאורך גאומטרי יכול להיות אי-רציונלי. הוכחה פורמלית בסגנון "בהנחה ש- $2 = \frac{p}{q}$ , נראה סתירה" שייכת ללימודים גבוהים יותר.

$math/004-square$ אלכסון ריבוע יחידה

בריבוע שצלעו $1$ , האלכסון ארוך יותר מצלע אחת וקצר יותר משתי צלעות. לכן כבר לפני חישוב מדויק ברור שהוא נמצא בין $1$ ל- $2$ . אבל מהו האורך המדויק? פיתגורס נותן לנו את התשובה.

ריבוע יחידה ואלכסון

האלכסון של ריבוע יחידה מוביל לערך המדויק $2$ .

$math/028-symbols$ ערך מדויק מול קירוב

$2$ הוא סימון לערך מדויק. הקירוב $1.41$ עוזר למדוד ולחשב, אבל אינו כל הערך.

הייצוג העשרוני של $2$ ממשיך בלי סוף ואינו מחזורי. לכן שומרים לפעמים את הסימון עם השורש במקום לעגל. זה אינו עניין של עצלנות חישובית - זה דיוק מתמטי. כל קירוב, גם אם הוא ארוך מאוד, אינו שווה לערך המדויק.

$1 < 2 < 2, 2 \approx 1.414$

במתמטיקה יש הבדל חשוב בין תשובה מדויקת לבין קירוב שימושי. $2$ מציג את ההבדל בצורה החדה ביותר.

האלכסון לפי רעיון פיתגורס

d^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2, d = 2

השורה הזאת אינה שיעור מלא במשפט פיתגורס. היא רק מכינה את הרעיון: לפעמים גאומטריה נותנת לנו משוואה על ריבוע של אורך, והשורש נותן את האורך עצמו. במשולש ישר זווית עם שני ניצבים שווים באורך $1$ , היתר מקיים $d^{2} = 2$ , ומכאן $d = 2$ .

$math/008-square root$ מדויק גם בלי עשרוני סופי

כאשר כותבים $2$ , לא מתכוונים לניחוש. מתכוונים למספר החיובי היחיד שהריבוע שלו הוא $2$ .

הקירובים $1.4$ , $1.41$ , $1.414$ ו- $1.4142$ מתקרבים לערך, אבל כל אחד מהם עדיין מספר עשרוני סופי. אם מעלים אותם בריבוע מקבלים מספר קרוב ל- $2$ , אבל לא בדיוק $2$ .

$(2)^{2} = 2$

לכן במתמטיקה שומרים לעיתים את הכתיב המדויק $2$ , ומשתמשים בקירוב רק כשצריך למדוד או לחשב בקירוב מספרי.

$math/032-axis$ מיקום על הציר

כדי לשכנע את עצמנו שהערך נמצא בין $1$ ל- $2$ , בודקים את הריבועים שסביב $2$ . $1^{2} = 1$ קטן מ- $2$ , ו- $2^{2} = 4$ גדול מ- $2$ . לכן $2$ נמצא בקטע פתוח בין $1$ ל- $2$ , ולא בקטע אחר.

מיקום $2$ בין שלמים

למה $2$ בין $1$ ל- $2$ ?

שלב 1 מתוך 3

2

נחשב ריבועים של המספרים הסמוכים.

1^{2} = 1, 2^{2} = 4

$math/039-measurement$ שלוש דרגות קירוב של $2$

ככל שמוסיפים ספרות אחרי הנקודה, הקירוב הופך לטוב יותר. אבל אף קירוב סופי אינו מגיע ל- $2$ בדיוק. הטבלה הבאה ממחישה זאת על ידי בדיקת ריבוע של כמה קירובים מוכרים.

ככל שיש יותר ספרות, הקירוב טוב יותר

קירוב	ריבוע הקירוב	מרחק מ- $2$
$1.4$	$1.96$	$0.04$
$1.41$	$1.9881$	$0.0119$
$1.414$	$1.999396$	$0.000604$
$1.4142$	$1.99996164$	$0.00003836$
$1.41421$	$1.99998992 \dots$	$\approx 1 0^{- 5}$
$1.414213562$	$\approx 1.99999999$	$\approx 1 0^{- 9}$

* כל קירוב סופי לא מגיע אף פעם ל- $2$ בדיוק. הערך המדויק נשמר רק עם הסימון $2$ .

במבחן: כתבו $2$ , לא $1.41$

אם השאלה מבקשת ערך מדויק, השאירו את התשובה כ- $2$ . אם השאלה מבקשת קירוב, ציינו במפורש שאתם נותנים קירוב.

תשובה מדויקת: $2$ .
קירוב לעשירית: $2 \approx 1.4$ .
קירוב למאית: $2 \approx 1.41$ .
השתמשו תמיד ב- $\approx$ ולא ב- $=$ עם קירוב.

רקע היסטורי קצר

$2$ הוא לפי המסורת אחד המספרים האי-רציונליים הראשונים שזוהו במתמטיקה. הסיפור מתחיל ביוון העתיקה, בקבוצה של מתמטיקאים שנקראו הפיתגוראים, על שם פיתגורס מסאמוס (לפני כ- $2500$ שנה).

סיפור הפיתגוראים

הפיתגוראים האמינו שכל המספרים בעולם הם רציונליים, כלומר שכל אורך וכל היחסים בטבע אפשר לכתוב כשבר של שני שלמים. "הכל מספר", אמרו, ואצלם 'מספר' פירושו רציונלי.

אבל אז גילו שצלע הריבוע ואלכסונו אינם מקיימים יחס של שני שלמים, כלומר אורך האלכסון של ריבוע יחידה אינו רציונלי. הגילוי הזה זעזע אותם, ולפי אגדה (שאולי אינה מדויקת היסטורית) הפיתגוראים הסתירו את הגילוי, ואחד מחבריהם, היפסוס, נטבע בים בעקבות זה.

מאז התרחב עולם המספרים: הוסיפו את האי-רציונליים, ויצרו יחד עם הרציונליים את קבוצת המספרים הממשיים. בכיתה ח אנחנו מבססים את היסוד הזה.

$2$ במציאות

$2$ אינו רק עניין תיאורטי. הוא מופיע במקומות מעשיים שאתם בוודאי מכירים. הנה כמה דוגמאות שראויות להכרה.

{m}\sqrt{2}{/m} סביבנו

גודל נייר A

בסדרת דפי הסטנדרט הבינלאומי - $A 4$ , $A 3$ וכן הלאה - היחס בין הצד הארוך לצד הקצר הוא בדיוק $2$ . זה מאפשר לחתוך דף לחצי ולשמור על אותן פרופורציות.

אלכסון מסך מרובע

במסך ריבועי בגודל $1$ מטר על $1$ מטר, אורך האלכסון הוא $2$ מטר, בערך $1.41$ מטר.

מוזיקה

ביחס תדרים מסוים בסולמות מוזיקליים מופיעים מספרים שאינם רציונליים, כולל יחס שקרוב ל- $2$ .

כל אלכסון של ריבוע

אלכסון של כל ריבוע שצלעו $s$ הוא $s 2$ . למשל ריבוע $5 \times 5$ מטר - אלכסון $52 \approx 7.07$ מטר.

$math/008-square root$ שורשים אחרים שאינם רציונליים

$2$ אינו לבד. כל שורש של מספר שלם שאינו ריבוע שלם הוא אי-רציונלי. הנה כמה דוגמאות חשובות, וגם אומדן של הערכים שלהם.

$math/037-infinity$ אי-רציונליים מוכרים

$3$

אי-רציונלי. $1 < 3 < 2$ , בערך $1.732$ . מופיע באלכסון של תיבה ובמשולש שווה צלעות.

$5$

אי-רציונלי. $2 < 5 < 3$ , בערך $2.236$ . מופיע ביחס הזהב $\frac{1 + 5}{2}$ .

$7$

אי-רציונלי. $2 < 7 < 3$ , בערך $2.646$ . כל שורש של מספר ראשוני אי-רציונלי.

$11$

אי-רציונלי. $3 < 11 < 4$ , בערך $3.317$ . ראשוני, ולכן השורש שלו אי-רציונלי.

מה לא מסיקים מ- $2$

העובדה שמספר אינו נכתב כשבר פשוט אינה אומרת שהוא לא קיים או שהוא רק ניחוש. אפשר לצייר אותו (אלכסון של ריבוע יחידה), למדוד אותו (במשפט פיתגורס), ולשמור אותו בדיוק בעזרת סימון שורש.

מדויק וקירוב

מדויק

$2$ הוא שם מדויק לאורך האלכסון.

דוגמה: ריבוע הסימון: $(2)^{2} = 2$ בדיוק.

קירוב

$1.41$ או $1.414$ הם קירובים שימושיים למדידה.

דוגמה: ריבוע הקירוב: $1.4 1^{2} = 1.9881 \neq = 2$ .

שאלה 1 מתוך 16

באיזה גודל נייר היחס בין צדדים הוא $2$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של העשרה: מדוע {m}\sqrt{2}{/m} מיוחד כבר מוכן.

פתחו תרגול

העשרה: מדוע 2​ מיוחד

זהו מודול העשרה

אלכסון ריבוע יחידה

ערך מדויק מול קירוב

מדויק גם בלי עשרוני סופי

מיקום על הציר

למה 2​ בין 1 ל-2?

שלוש דרגות קירוב של 2​