גרסת הדפסה | החוברת

גם כשאין שורש שלם, אפשר לדעת איפה הוא נמצא

ממקמים לפני שמחשבים

לא לכל מספר יש שורש שלם. למשל $20$ אינו $4$ ואינו $5$ , אבל הוא נמצא ביניהם. למה? כי $4^{2} = 16 < 20 < 25 = 5^{2}$ . כשמדברים על אומדן שורשים, השאלה אינה מהו הערך המדויק, אלא איפה הוא נמצא ולאיזה שלם הוא קרוב יותר.

גבולות בטוחים: מוצאים ריבוע קטן יותר וריבוע גדול יותר מהמספר שבתוך השורש. אלה גבולות שמכניסים את השורש לקטע ידוע.
מעבר לשורשים: אם המספר נמצא בין שני ריבועים, השורש נמצא בין השורשים שלהם. זה הכלל המרכזי שמאפשר את כל האומדן.
בדיקת סבירות: אומדן טוב עוזר לזהות תשובות לא הגיוניות עוד לפני מחשבון. זה כלי חיוני לבדיקת התוצאות שלכם בכל מבחן.
השוואה בלי חישוב: האם $50$ גדול מ- $7$ ? כן, כי $7^{2} = 49 < 50$ . אומדן מאפשר להשוות שורשים למספרים שלמים בלי להוציא ערך עשרוני.

ריבועים סמוכים

האומדן מתחיל מזיכרון של ריבועים מוכרים. לא צריך לדעת את כל הספרות אחרי הנקודה. צריך לדעת באיזה קטע של ציר המספרים השורש נמצא, ובאיזה צד של הקטע הוא קרוב יותר.

הכלל שמסדר את האומדן

אם מספר $n$ נמצא בין שני ריבועים שלמים, למשל בין $a^{2}$ ל- $b^{2}$ , אז השורש שלו נמצא בין $a$ ל- $b$ .

a^{2} < n < b^{2} \Rightarrow a < n < b

הכלל נותן גבולות בטוחים. אחר כך אפשר להחליט לאיזה שלם השורש קרוב יותר על ידי השוואת מרחקים מהריבועים.

כלל האומדן

a^{2} < n < b^{2} \Rightarrow a < n < b

מהריבועים אל השורשים

שורש	ריבועים סמוכים	מיקום השורש	פירוש
$20$	$4^{2} = 16$ , $5^{2} = 25$	$4 < 20 < 5$	המספר $20$ סגור בין $16$ ל- $25$ .
$30$	$5^{2} = 25$ , $6^{2} = 36$	$5 < 30 < 6$	השורש גדול מ- $5$ וקטן מ- $6$ .
$50$	$7^{2} = 49$ , $8^{2} = 64$	$7 < 50 < 8$	$50$ קרוב מאוד ל- $49$ , ולכן השורש קצת יותר מ- $7$ .
$70$	$8^{2} = 64$ , $9^{2} = 81$	$8 < 70 < 9$	האומדן כבר אומר שתשובה כמו $35$ אינה סבירה.
$90$	$9^{2} = 81$ , $1 0^{2} = 100$	$9 < 90 < 10$	$90$ קרוב יותר ל- $81$ מאשר ל- $100$ .
$110$	$1 0^{2} = 100$ , $1 1^{2} = 121$	$10 < 110 < 11$	כדאי להרחיב את טבלת הריבועים מעבר ל- $1 0^{2}$ .
$200$	$1 4^{2} = 196$ , $1 5^{2} = 225$	$14 < 200 < 15$	$200$ קרוב מאוד ל- $196$ , ולכן השורש מעט יותר מ- $14$ .

הטבלה מדגימה שיטה, לא רשימת תשובות לשינון. אותה שיטה עובדת לכל מספר.

תמונה המציגה אומדן של שורש ריבועי בעזרת ריבועים סמוכים וציר מספרים — כדי לאמוד שורש מחפשים את הריבועים הסמוכים וממקמים את השורש ביניהם.

שורשים בין שלמים

שורשים בין שלמים גדולים יותר

דוגמה מודרכת ראשונה

אומדן טוב מתחיל בגבולות, ורק אחר כך מדבר על קירוב. בדוגמה הבאה נבדוק את

50

לרמת שלם, כלומר נמצא קודם בין אילו שלמים הוא נמצא, ואז לאיזה שלם הוא קרוב יותר.

אומדן $50$

50 \approx ?

נמצא שני ריבועים סמוכים ל- $50$ .
$7^{2} = 49, 8^{2} = 64$
נעבור מהריבועים אל השורשים.
$7 < 50 < 8$
$50$ קרוב מאוד ל- $49$ , רק במרחק $1$ , לעומת מרחק $14$ מ- $64$ . לכן השורש קרוב ל- $7$ , אבל גדול ממנו.
$50 - 49 = 1, 64 - 50 = 14$
אז קירוב גס: השורש בערך $7.1$ . הערך המדויק נשאר $50$ .
$50 \approx 7.1$

תשובה:

50 \approx 7.1 (קרוב ל- 7)

שיטת עבודה מסודרת

כדי לא להסתמך על תחושת בטן, עובדים תמיד באותו סדר. השיטה מתאימה גם למספרים קטנים כמו

18

וגם למספרים גדולים יותר כמו

130

. ארבעה שלבים, וכולם חייבים להופיע.

ארבעה צעדים לאומדן

זהו את הריבועים

מצאו $a^{2}$ קטן יותר מהמספר.
מצאו $b^{2}$ גדול יותר מהמספר.
ודאו ש- $b = a + 1$ , כלומר ריבועים סמוכים.

כתבו אי-שוויון

נסחו $a^{2} < n < b^{2}$ .
הכתיבה מונעת קפיצה לא נכונה.
זו השורה שמלמדים את עצמכם איך לחשוב.

עברו לשורשים

הפכו את הגבולות ל- $a < n < b$ .
זוהי תוצאת הביניים החשובה ביותר.
ברוב השאלות זה גם התשובה הסופית.

השוו קרבה

חשבו את המרחק בין $n$ ל- $a^{2}$ .
חשבו את המרחק בין $n$ ל- $b^{2}$ .
השלם הקרוב הוא זה שמרחק הריבוע שלו קטן יותר.

הערך המדויק והקירוב

יש הבדל חשוב בין כתיבה מדויקת לבין קירוב.

40

הוא הערך המדויק. הכתיבה

40 \approx 6.3

היא קירוב שמספר לנו בערך איפה הוא נמצא. שני הסימנים נראים דומים אבל אומרים דברים שונים מאוד.

השוואה בין סימני שוויון וקירוב

סימן	פירוש	מתי משתמשים
$=$	שוויון מדויק	כששני הצדדים זהים בדיוק, כמו $49 = 7$
$\approx$	קירוב	כשהביטוי בצד אחד מקורב, לא מדויק. למשל $50 \approx 7.07$
$<$ או $>$	אי-שוויון	להעמיד גבולות, כמו $7 < 50 < 8$
$\leq$ או $\geq$	קטן או שווה	כשהשוויון אפשרי. למשל $a \geq 0$ תמיד

החלפת סימן שוויון בסימן קירוב בלי הצדקה היא טעות נפוצה במבחנים.

השוואת שורשים בלי מחשבון

פעם נוספת שבה האומדן מציל הוא בהשוואה. בשאלה כמו "מה גדול יותר,

40

או

6.5

?", לא חייבים לחשב כל ערך. אפשר לבדוק את הריבועים:

6. 5^{2} = 42.25

, וכי

40 < 42.25

, אז

40 < 6.5

השוואות מהירות

$50$ ו- $7$

$7^{2} = 49 < 50$ , ולכן $50 > 7$ .

$60$ ו- $8$

$8^{2} = 64 > 60$ , ולכן $60 < 8$ .

$72$ ו- $8.5$

$8. 5^{2} = 72.25 > 72$ , ולכן $72 < 8.5$ , אבל קרוב מאוד.

$100$ ו- $99$

ככל שהמספר גדול יותר, גם השורש גדול יותר. $100 = 10 > 99$ .

טעויות נפוצות

הטעות הנפוצה ביותר באומדן היא להסתכל על המספר שבתוך השורש כאילו הוא התשובה עצמה. שורש מקטין מאוד מספרים גדולים, כי הוא שואל איזה מספר בריבוע מחזיר אותם. עוד טעות שכיחה: לחלק ב-

2

כדי לקבל אומדן.

אומדן בלי ניחוש

ניחוש לא סביר

$80 \approx 40$ , כי $80 \div 2 = 40$ .

בדיקה: $4 0^{2} = 1600$ , רחוק מאוד מ- $80$ .

תיקון בעזרת ריבועים

$8^{2} = 64$ ו- $9^{2} = 81$ , לכן $8 < 80 < 9$ .

הערך קרוב ל- $9$ , לא ל- $40$ .

תמיד בדקו אם ריבוע התשובה המשוערת קרוב למספר המקורי.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.בין אילו שלמים נמצא $30$ ?

$5$ ו- $6$
$4$ ו- $5$
$6$ ו- $7$
$15$ ו- $16$

2.איזה זוג ריבועים סוגר את $90$ ?

$81$ ו- $100$
$64$ ו- $81$
$100$ ו- $121$
$36$ ו- $49$

3.לאיזה שלם קרוב יותר $70$ ?

$8$
$9$
$7$
$10$

4.אם $a^{2} < n < b^{2}$ , מה נובע?

$a < n < b$
$a < n < b$
$a < n < b$
$n < a + b$

5.למה אומדן חשוב לפני מחשבון?

הוא בודק סבירות ומונע תשובות רחוקות
הוא מחליף כל חישוב מדויק
הוא הופך שורש לשבר תמיד
הוא מבטל את הצורך בהגדרה

6.מה גדול יותר, $50$ או $7$ ?

$50 > 7$
$50 < 7$
$50 = 7$
אי אפשר להשוות

7.מה גדול יותר, $40$ או $45$ ?

$45$ גדול יותר
$40$ גדול יותר
שווים
תלוי בקירוב

8.מה הסימן הנכון לקירוב?

$\approx$
$=$
$<$
$\neq =$

9.בין אילו שלמים נמצא $200$ ?

$14$ ו- $15$
$13$ ו- $14$
$15$ ו- $16$
$10$ ו- $20$

10.תלמיד אומר $80 \approx 40$ . למה זה לא סביר?

$4 0^{2} = 1600$ , רחוק מאוד מ- $80$
התשובה נכונה
$40$ זוגי, ולכן לא יכול להיות שורש
$80 < 40$

11.מהו אומדן עדין של $10$ ?

$3.16$
$5$
$10$
$1$

12.סדרו מהקטן לגדול: $20, 5, 30$ .

$20 < 5 < 30$
$5 < 20 < 30$
$30 < 20 < 5$
כל השלוש שוות

13. $55 = 7$ - הטענה נכונה?

לא, $55$ בין $7$ ל- $8$ , לא שווה ל- $7$
כן, נכון בדיוק
$55 = 8$
אי אפשר לדעת

14.באומדן עדין, $30 \approx ?$

$5.5$
$3$
$15$
$30$

15.מהי הדרך הבטוחה ביותר לאמוד שורש?

מציאת ריבועים סמוכים והשוואת מרחקים
חילוק ב- $2$
ניחוש על פי הספרה הראשונה
שימוש בכלל "שורש של חיבור הוא חיבור של שורשים"

16.תהיה תשובה $n = 4.5$ מדויקת רק אם...

$n = 20.25$
$n = 4.5$
$n = 9$
$n = 2.25$

17.אומדן $120$ בערך:

$11$
$10$
$12$
$60$

18.אם $c^{2} = 130$ (אורך צלע במשולש), בערך כמה $c$ ?

$11$ עד $12$ , קרוב ל- $11$
$65$
$13$
$130 = 130$