מהו הכלל שמסדר את האומדן?

אם מספר n נמצא בין שני ריבועים שלמים, למשל בין a^2 ל-b^2, אז השורש שלו נמצא בין a ל-b. העלאה בריבוע שומרת על סדר במספרים חיוביים. לכן אם 36<40<49, אפשר לעבור לשורשים ולקבל 6<\sqrt<7. הכלל מתבסס על תכונה חשובה של פונקציית הריבוע: היא מונוטונית עולה במספרים החיוביים, כלומר אם a<b אז a^2<b^2. הכלל נותן גבולות בטוחים. אחר כך אפשר להחליט לאיזה שלם השורש קרוב יותר על ידי השוואת מרחקים מהריבועים.

אומדן שורשים

גם כשאין שורש שלם, אפשר לדעת איפה הוא נמצא

טוען סימולציה...

$math/032-axis$ ממקמים לפני שמחשבים

לא לכל מספר יש שורש שלם. למשל

20

אינו

4

ואינו

5

, אבל הוא נמצא ביניהם. למה? כי

4^{2} = 16 < 20 < 25 = 5^{2}

. כשמדברים על אומדן שורשים, השאלה אינה מהו הערך המדויק, אלא איפה הוא נמצא ולאיזה שלם הוא קרוב יותר.

גבולות בטוחים

מוצאים ריבוע קטן יותר וריבוע גדול יותר מהמספר שבתוך השורש. אלה גבולות שמכניסים את השורש לקטע ידוע.

מעבר לשורשים

אם המספר נמצא בין שני ריבועים, השורש נמצא בין השורשים שלהם. זה הכלל המרכזי שמאפשר את כל האומדן.

בדיקת סבירות

אומדן טוב עוזר לזהות תשובות לא הגיוניות עוד לפני מחשבון. זה כלי חיוני לבדיקת התוצאות שלכם בכל מבחן.

השוואה בלי חישוב

האם

50

גדול מ-

7

? כן, כי

7^{2} = 49 < 50

. אומדן מאפשר להשוות שורשים למספרים שלמים בלי להוציא ערך עשרוני.

ריבועים סמוכים

האומדן מתחיל מזיכרון של ריבועים מוכרים. לא צריך לדעת את כל הספרות אחרי הנקודה. צריך לדעת באיזה קטע של ציר המספרים השורש נמצא, ובאיזה צד של הקטע הוא קרוב יותר.

$math/039-measurement$ הכלל שמסדר את האומדן

אם מספר $n$ נמצא בין שני ריבועים שלמים, למשל בין $a^{2}$ ל- $b^{2}$ , אז השורש שלו נמצא בין $a$ ל- $b$ .

העלאה בריבוע שומרת על סדר במספרים חיוביים. לכן אם $36 < 40 < 49$ , אפשר לעבור לשורשים ולקבל $6 < 40 < 7$ . הכלל מתבסס על תכונה חשובה של פונקציית הריבוע: היא מונוטונית עולה במספרים החיוביים, כלומר אם $a < b$ אז $a^{2} < b^{2}$ .

$a^{2} < n < b^{2} \Rightarrow a < n < b$

הכלל נותן גבולות בטוחים. אחר כך אפשר להחליט לאיזה שלם השורש קרוב יותר על ידי השוואת מרחקים מהריבועים.

כלל האומדן

a^{2} < n < b^{2} \Rightarrow a < n < b

מהריבועים אל השורשים

שורש	ריבועים סמוכים	מיקום השורש	פירוש
$20$	$4^{2} = 16$ , $5^{2} = 25$	$4 < 20 < 5$	המספר $20$ סגור בין $16$ ל- $25$ .
$30$	$5^{2} = 25$ , $6^{2} = 36$	$5 < 30 < 6$	השורש גדול מ- $5$ וקטן מ- $6$ .
$50$	$7^{2} = 49$ , $8^{2} = 64$	$7 < 50 < 8$	$50$ קרוב מאוד ל- $49$ , ולכן השורש קצת יותר מ- $7$ .
$70$	$8^{2} = 64$ , $9^{2} = 81$	$8 < 70 < 9$	האומדן כבר אומר שתשובה כמו $35$ אינה סבירה.
$90$	$9^{2} = 81$ , $1 0^{2} = 100$	$9 < 90 < 10$	$90$ קרוב יותר ל- $81$ מאשר ל- $100$ .
$110$	$1 0^{2} = 100$ , $1 1^{2} = 121$	$10 < 110 < 11$	כדאי להרחיב את טבלת הריבועים מעבר ל- $1 0^{2}$ .
$200$	$1 4^{2} = 196$ , $1 5^{2} = 225$	$14 < 200 < 15$	$200$ קרוב מאוד ל- $196$ , ולכן השורש מעט יותר מ- $14$ .

* הטבלה מדגימה שיטה, לא רשימת תשובות לשינון. אותה שיטה עובדת לכל מספר.

תמונה המציגה אומדן של שורש ריבועי בעזרת ריבועים סמוכים וציר מספרים — כדי לאמוד שורש מחפשים את הריבועים הסמוכים וממקמים את השורש ביניהם.

שורשים בין שלמים

שורשים בין שלמים גדולים יותר

$math/023-blackboard$ דוגמה מודרכת ראשונה

אומדן טוב מתחיל בגבולות, ורק אחר כך מדבר על קירוב. בדוגמה הבאה נבדוק את $50$ לרמת שלם, כלומר נמצא קודם בין אילו שלמים הוא נמצא, ואז לאיזה שלם הוא קרוב יותר.

$math/031-summation$ אומדן $50$

שלב 1 מתוך 4

50 \approx ?

איזה זוג ריבועים סוגר את $50$ ?

שיטת עבודה מסודרת

כדי לא להסתמך על תחושת בטן, עובדים תמיד באותו סדר. השיטה מתאימה גם למספרים קטנים כמו $18$ וגם למספרים גדולים יותר כמו $130$ . ארבעה שלבים, וכולם חייבים להופיע.

ארבעה צעדים לאומדן

זהו את הריבועים

מצאו $a^{2}$ קטן יותר מהמספר.

מצאו $b^{2}$ גדול יותר מהמספר.

ודאו ש- $b = a + 1$ , כלומר ריבועים סמוכים.

כתבו אי-שוויון

נסחו $a^{2} < n < b^{2}$ .

הכתיבה מונעת קפיצה לא נכונה.

זו השורה שמלמדים את עצמכם איך לחשוב.

$math/028-symbols$

עברו לשורשים

הפכו את הגבולות ל- $a < n < b$ .

זוהי תוצאת הביניים החשובה ביותר.

ברוב השאלות זה גם התשובה הסופית.

השוו קרבה

חשבו את המרחק בין $n$ ל- $a^{2}$ .

חשבו את המרחק בין $n$ ל- $b^{2}$ .

השלם הקרוב הוא זה שמרחק הריבוע שלו קטן יותר.

$math/028-symbols$ הערך המדויק והקירוב

יש הבדל חשוב בין כתיבה מדויקת לבין קירוב. $40$ הוא הערך המדויק. הכתיבה $40 \approx 6.3$ היא קירוב שמספר לנו בערך איפה הוא נמצא. שני הסימנים נראים דומים אבל אומרים דברים שונים מאוד.

השוואה בין סימני שוויון וקירוב

סימן	פירוש	מתי משתמשים
$=$	שוויון מדויק	כששני הצדדים זהים בדיוק, כמו $49 = 7$
$\approx$	קירוב	כשהביטוי בצד אחד מקורב, לא מדויק. למשל $50 \approx 7.07$
$<$ או $>$	אי-שוויון	להעמיד גבולות, כמו $7 < 50 < 8$
$\leq$ או $\geq$	קטן או שווה	כשהשוויון אפשרי. למשל $a \geq 0$ תמיד

* החלפת סימן שוויון בסימן קירוב בלי הצדקה היא טעות נפוצה במבחנים.

למה לא תמיד מעגלים מיד?

אם הבעיה מבקשת ערך מדויק, נשאיר תשובה כמו $65$ . אם הבעיה מבקשת מיקום, מדידה או בדיקת סבירות, נוסיף קירוב.

שתי הצורות נכונות בהקשרים שונים: מדויקת ללימוד מתמטי, מקורבת להבנת גודל והשוואה. החלטה איזו מהן נכונה לתשובה תלויה בשאלה.

אם השאלה משלבת את שני הצרכים, אפשר לכתוב שניהם: $c = 65 \approx 8.06$ . הערך הראשון מדויק, השני שימושי לבדיקה.

השוואת שורשים בלי מחשבון

פעם נוספת שבה האומדן מציל הוא בהשוואה. בשאלה כמו "מה גדול יותר, $40$ או $6.5$ ?", לא חייבים לחשב כל ערך. אפשר לבדוק את הריבועים: $6. 5^{2} = 42.25$ , וכי $40 < 42.25$ , אז $40 < 6.5$ .

השוואות מהירות

$50$ ו- $7$

$7^{2} = 49 < 50$ , ולכן $50 > 7$ .

$60$ ו- $8$

$8^{2} = 64 > 60$ , ולכן $60 < 8$ .

$72$ ו- $8.5$

$8. 5^{2} = 72.25 > 72$ , ולכן $72 < 8.5$ , אבל קרוב מאוד.

$100$ ו- $99$

ככל שהמספר גדול יותר, גם השורש גדול יותר. $100 = 10 > 99$ .

לפני השוואה - תמיד בריבוע

כדי להשוות שורש למספר, או שורש לשורש, השוו את הריבועים. במספרים חיוביים זה שווה ערך, אבל הרבה יותר קל.

אם השאלה: $a$ מול $b$ (חיובי), השוו את $a$ ל- $b^{2}$ .
אם השאלה: $a$ מול $b$ , השוו את $a$ ל- $b$ .
תמיד וודאו ששני הצדדים אי-שליליים לפני שמרבעים, אחרת התוצאה לא תקפה.

טעויות נפוצות

הטעות הנפוצה ביותר באומדן היא להסתכל על המספר שבתוך השורש כאילו הוא התשובה עצמה. שורש מקטין מאוד מספרים גדולים, כי הוא שואל איזה מספר בריבוע מחזיר אותם. עוד טעות שכיחה: לחלק ב- $2$ כדי לקבל אומדן.

אומדן בלי ניחוש

ניחוש לא סביר

$80 \approx 40$ , כי $80 \div 2 = 40$ .

דוגמה: בדיקה: $4 0^{2} = 1600$ , רחוק מאוד מ- $80$ .

תיקון בעזרת ריבועים

$8^{2} = 64$ ו- $9^{2} = 81$ , לכן $8 < 80 < 9$ .

דוגמה: הערך קרוב ל- $9$ , לא ל- $40$ .

תמיד בדקו אם ריבוע התשובה המשוערת קרוב למספר המקורי.

טעות נפוצה: עיגול לפי הספרה הראשונה

תלמיד נפוץ אומר: " $40$ מתחיל ב- $4$ , אז $40$ בערך $4$ ". זה לא נכון. המספר $40$ שייך לקטע בין $36$ ל- $49$ , ולכן השורש בין $6$ ל- $7$ , לא בין $3$ ל- $5$ .

ההבדל בין הספרה הראשונה למיקום השורש מתעצם ככל שהמספרים גדלים. $900 = 30$ , לא $9$ . תמיד חוזרים לטבלת הריבועים.

לפני מחשבון

גם כשמותר להשתמש במחשבון, אומדן מהיר אומר אם התוצאה שקיבלתם סבירה.

מצאו את שני הריבועים הסמוכים.
כתבו את אי-השוויון עם השורש.
בדקו לאיזה ריבוע המספר קרוב יותר.
השתמשו ב- $\approx$ לקירוב וב- $=$ רק לערך מדויק.
אם הערך מהמחשבון רחוק מהאומדן, חזרו וודאו שלא טעיתם בלחיצה.

שאלה 1 מתוך 18

תלמיד אומר $80 \approx 40$ . למה זה לא סביר?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של אומדן שורשים כבר מוכן.

פתחו תרגול

אומדן שורשים

ממקמים לפני שמחשבים

ריבועים סמוכים

הכלל שמסדר את האומדן

מהריבועים אל השורשים

דוגמה מודרכת ראשונה

אומדן 50​