גרסת הדפסה | החוברת

מהשטח חוזרים אל הצלע, ומהריבוע חוזרים אל המספר שיצר אותו

הבעיה שמולידה שורש

כשיודעים ששטח של ריבוע הוא $36$ סמ"ר, לא יודעים מיד מה אורך הצלע. צריך לשאול שאלה הפוכה: איזה מספר לא-שלילי, כשהוא מוכפל בעצמו, נותן $36$ ? התשובה היא $6$ , ולכן הצלע היא $6$ ס"מ. הפעולה שעוזרת לעבור משטח אל צלע נקראת שורש ריבועי.

מתחילים משטח: שטח ריבוע מתקבל מצלע כפול עצמה: $s \cdot s = s^{2}$ . כך עוברים מצלע אל שטח.
שואלים שאלה הפוכה: אם השטח ידוע, מחפשים את המספר שכפל עצמי שלו מחזיר אותנו אליו. זה בדיוק מה ששורש ריבועי עושה.
בודקים יחידות: שטח נמדד ביחידות ריבועיות כמו סמ"ר, אבל צלע נמדדת ביחידות אורך כמו ס"מ. השורש מקפל בתוכו גם שינוי יחידות.
מצליבים תחומים: אותו רעיון יחזור בפיתגורס, במשוואות עם $x^{2}$ ובהשוואת מספרים גדולים. הפרק הזה מניח את היסוד.

הרעיון המרכזי

שורש ריבועי הוא פעולה הפוכה להעלאה בריבוע. במקום להתחיל במספר ולחשב את הריבוע שלו, מתחילים בתוצאה ושואלים איזה מספר יצר אותה בכפל עצמי. שתי הפעולות מבטלות זו את זו: ריבוע ואז שורש מחזירים את המספר המקורי, וגם להפך.

שורש ריבועי כפעולה הפוכה

הסימון $a$ נקרא שורש ריבועי של $a$ . הוא מחפש את המספר הלא-שלילי $b$ שעבורו $b^{2} = a$ .

a = b ⟺ b^{2} = a, b \geq 0

בכיתה ח עובדים במספרים הממשיים הלא-שליליים שמתחת לשורש, ועם תוצאה לא-שלילית. לכן $49 = 7$ , למרות שגם $(- 7)^{2} = 49$ , ולכן בכל פעם שכותבים שורש מתכוונים לערך הלא-שלילי בלבד.

הגדרת השורש הראשי

a = b ⟺ b^{2} = a, b \geq 0, a \geq 0

מהשטח לצלע

בריבוע קל לראות למה צריך שורש. אם הצלע היא

s

, השטח הוא

s^{2}

. כשנותנים את השטח ומבקשים את הצלע, אנחנו עושים את הדרך ההפוכה. הקשר הדו-כיווני בין השטח לצלע הוא הביטוי הגאומטרי הטהור ביותר של שורש ריבועי.

שטח ריבוע וחזרה לצלע

A = s^{2}, s = A

ריבוע ששטחו $36$ סמ"ר

השטח הוא

36

סמ"ר, ולכן אורך הצלע הוא

36 = 6

ס"מ.

תמונה הממחישה שורש ריבועי כמעבר משטח ריבוע לאורך הצלע — כאשר שטח הריבוע ידוע, שורש ריבועי מחזיר אותנו לאורך הצלע.

ריבועים מושלמים שכדאי להכיר

ריבוע מושלם הוא תוצאה של מספר שלם בריבוע:

1, 4, 9, 16, \dots

. שליטה ברשימה הזאת מקצרת חישובים, מאפשרת זיהוי מהיר של שורשים שלמים, ומשמשת כבסיס לאומדן של שורשים שאינם שלמים. אם

n

ריבוע מושלם, אז

n

שלם. אם לא,

n

נמצא בין שני שלמים.

טבלת ריבועים מושלמים עד $1 5^{2}$

המספר	הריבוע	השורש	הערה
$1$	$1^{2} = 1$	$1 = 1$	המקרה הבסיסי
$2$	$2^{2} = 4$	$4 = 2$	הריבוע הזוגי הראשון
$3$	$3^{2} = 9$	$9 = 3$	מופיע בשלשת פיתגורס $3, 4, 5$
$4$	$4^{2} = 16$	$16 = 4$	מופיע בשלשת פיתגורס $3, 4, 5$
$5$	$5^{2} = 25$	$25 = 5$	ריבוע אופייני בבעיות
$6$	$6^{2} = 36$	$36 = 6$	כפל ריבוע: $6 = 2 \cdot 3$
$7$	$7^{2} = 49$	$49 = 7$	ראשוני, אין קיצורים
$8$	$8^{2} = 64$	$64 = 8$	חזקה של $2$
$9$	$9^{2} = 81$	$81 = 9$	חזקה של $3$
$10$	$1 0^{2} = 100$	$100 = 10$	מספר עגול
$11$	$1 1^{2} = 121$	$121 = 11$	ראשוני
$12$	$1 2^{2} = 144$	$144 = 12$	מופיע בשלשה $5, 12, 13$
$13$	$1 3^{2} = 169$	$169 = 13$	מופיע בשלשה $5, 12, 13$
$14$	$1 4^{2} = 196$	$196 = 14$	$14 = 2 \cdot 7$
$15$	$1 5^{2} = 225$	$225 = 15$	מספר עגול שכיח

כדאי לזכור עד $1 5^{2}$ בעל פה. בהמשך נשתמש ברשימה הזאת כדי לאמוד שורשים שאינם שלמים.

דוגמה מודרכת ראשונה

בפתרון הבא כל שורה עושה פעולה אחת: מזהים את נוסחת השטח, מציבים את השטח, ואז משתמשים בשורש כדי לחזור לאורך הצלע. כל שלב מתועד עם הסבר שמסביר את ההיגיון מאחורי המעבר.

מציאת צלע משטח $49$ סמ"ר

A = 49

שטח ריבוע מתקבל מצלע בריבוע. זו הנוסחה היסודית.
$A = s^{2}$
מציבים את השטח הנתון במקום $A$ .
$s^{2} = 49$
לוקחים שורש ראשי כי מחפשים אורך צלע, ואורך תמיד לא-שלילי.
$s = 49 = 7$
מסיימים עם יחידת אורך, לא עם יחידת שטח.
$s = 7 ס"מ$

תשובה:

s = 7 ס"מ

איך בודקים תשובה לשורש

שורש הוא לא קסם ולא ניחוש. כל תשובה לשורש צריכה לעבור בדיקה אחת קצרה: האם ריבוע התשובה מחזיר את המספר שבתוך השורש? בדיקה זו תופסת כמעט כל טעות חישוב, ושווה את חמש שניות הזמן שהיא לוקחת.

שלוש בדיקות מהירות

$64$

התשובה היא $8$ . הבדיקה: $8^{2} = 64$ . נכון, חוזר למספר המקורי.

$81$

התשובה היא $9$ . לא מחלקים ב- $2$ , אלא בודקים $9^{2} = 81$ .

$121$

התשובה היא $11$ . כדאי לזכור ריבועים עד $1 5^{2}$ כדי שהבדיקה תהיה מיידית.

המקרים המיוחדים: שורש של $0$ ו- $1$

שני שורשים מיוחדים שכדאי להכיר היטב. הם נראים מובנים מאליהם, אבל מופיעים שוב ושוב בשאלות בעלות נימוק, ומבחנים אוהבים לבדוק אם התלמיד באמת זוכר אותם.

שורשים מיוחדים

$0 = 0$

אם $b \geq 0$ ו- $b^{2} = 0$ , אז $b = 0$ . זה השורש היחיד שאינו חיובי, אלא אפס בדיוק.

$1 = 1$

המספר $1$ בריבוע נותן $1$ , ולכן השורש הראשי שלו הוא $1$ . זה גם המקרה היחיד שבו השורש שווה למספר עצמו.

יחידות מידה: ס"מ, סמ"ר ויחידות אחרות

כשהשטח נמדד בסמ"ר, הצלע נמדדת בס"מ. כשהשטח נמדד במ"ר, הצלע נמדדת במטרים. השורש משנה גם את היחידה: מיחידת שטח אל יחידת אורך. לכן חשוב לכתוב את היחידה בכל תשובה.

התאמת יחידות בשורש שטח

יחידת שטח	יחידת אורך מתאימה	דוגמה
סמ"ר (סנטימטר רבוע)	ס"מ (סנטימטר)	$A = 25$ סמ"ר $\Rightarrow s = 5$ ס"מ
מ"ר (מטר רבוע)	מטר	$A = 64$ מ"ר $\Rightarrow s = 8$ מטר
מ"מ רבוע	מ"מ	$A = 100$ מ"מ רבוע $\Rightarrow s = 10$ מ"מ
דונם	מטר (אם הריבוע $1$ דונם)	$1$ דונם $= 1000$ מ"ר, ולכן צלע $1000$ מטר

אם השאלה לא נותנת יחידות, גם התשובה תיכתב בלי יחידות, אבל המספר עצמו עדיין נכון.

טעויות נפוצות וטיפול בהן

שורשים נראים קצרים, ולכן קל לעשות בהם קיצורים לא נכונים. במקום לזכור רשימת איסורים, נחזור תמיד לשאלה: איזה מספר בריבוע נותן את המספר הנתון? אם הבדיקה הזאת לא עובדת, התשובה לא נכונה, נקודה.

לא מחלקים, מחפשים כפל עצמי

הטעות

$36 = 18$ , כי חילקנו את $36$ ב- $2$ .

הבדיקה חושפת את הבעיה: $1 8^{2} = 324$ , לא $36$ .

התיקון

$36 = 6$ , כי $6^{2} = 36$ . השורש שואל על כפל עצמי, לא על חילוק ב- $2$ .

אם הריבוע של התשובה מחזיר את המספר, התשובה מתאימה.

הסדר: תשובה ← העלאה בריבוע ← מחזירים למספר המקורי? אם כן, צדקנו.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה פירוש $36$ ?

המספר הלא-שלילי שבריבוע נותן $36$
חצי של $36$
כל מספר שמכפיל את $36$
מספר שלילי בלבד

2.שטח ריבוע הוא $64$ סמ"ר. מה אורך הצלע?

$8$ ס"מ
$32$ ס"מ
$16$ ס"מ
$64$ ס"מ

3.איזו בדיקה מאשרת ש- $81 = 9$ ?

$9^{2} = 81$
$81 \div 2 = 40.5$
$9 + 9 = 18$
$81 - 9 = 72$

4.מה הטעות בחישוב שורש על ידי חילוק ב- $2$ ?

שורש הוא כפל עצמי, לא חצי מהמספר
אין טעות, זו תמיד הדרך
זה עובד רק במספרים גדולים
שורש תמיד שלילי

5.למה $49$ אינו $- 7$ ?

הסימון מציין את השורש הראשי הלא-שלילי
כי $- 7$ אינו מספר
כי $7^{2}$ אינו $49$
כי שורשים תמיד זוגיים

6.איזו משוואה מתאימה לצלע של ריבוע ששטחו $121$ ?

$s = 121$
$s = 12 1^{2}$
$s = 121 \div 2$
$s = 4 \cdot 121$

7.באיזו יחידה תופיע צלע של ריבוע אם השטח נתון בסמ"ר?

סנטימטר
סנטימטר רבוע
ליטר
אחוז

8.מהו $144$ ?

$12$
$72$
$14$
$- 12$

9.מהם פתרונות המשוואה $x^{2} = 25$ ?

$x = 5$ או $x = - 5$
$x = 5$ בלבד
$x = 12.5$ בלבד
אין פתרונות

10.מה נכון לגבי הביטוי $25$ ?

הוא שווה $5$ , כי זה השורש הראשי
הוא שווה גם $5$ וגם $- 5$
הוא שווה $12.5$
אי אפשר לחשב אותו

11.שטח ריבוע הוא $225$ סמ"ר. מה הצלע ומה ההיקף?

צלע $15$ ס"מ, היקף $60$ ס"מ
צלע $60$ ס"מ, היקף $225$ ס"מ
צלע $112.5$ ס"מ, היקף $450$ ס"מ
צלע $225$ ס"מ, היקף $900$ ס"מ

12.מה לא נכון בשוויון $16 + 9 = 16 + 9$ ?

שורש של סכום אינו מתפרק בדרך כלל לסכום שורשים
הוא דווקא נכון תמיד
$16$ אינו $4$
$9$ אינו $3$

13.מהו $1$ ?

$1$
$0$
$\pm 1$
אינו מוגדר

14.אורך צלע ריבוע הוא $11$ ס"מ. מהו השטח?

$121$ סמ"ר
$11$ סמ"ר
$44$ סמ"ר
$22$ סמ"ר

15.האם השוויון $4 \cdot 9 = 4 \cdot 9$ נכון?

כן, שורש של מכפלה שווה למכפלת שורשים
לא, שורש לעולם אינו מתפרק
תלוי במספרים
רק אם המספרים זוגיים

16.שטח חצר ריבועית הוא $169$ מ"ר. מהו אורך הצלע?

$13$ מטר
$13$ מ"ר
$169$ מטר
$169$ מ"ר

17.איזו טענה שגויה?

$a + b = a + b$ תמיד
$0 = 0$
$1 = 1$
$a$ לא-שלילי

18.מצאו את אורך הצלע של ריבוע ששטחו $400$ סמ"ר.

$20$ ס"מ
$200$ ס"מ
$100$ ס"מ
$40$ ס"מ