למה צריך שורש ריבועי

מהשטח חוזרים אל הצלע, ומהריבוע חוזרים אל המספר שיצר אותו

טוען סימולציה...

הבעיה שמולידה שורש

כשיודעים ששטח של ריבוע הוא

36

סמ"ר, לא יודעים מיד מה אורך הצלע. צריך לשאול שאלה הפוכה: איזה מספר לא-שלילי, כשהוא מוכפל בעצמו, נותן

36

? התשובה היא

6

, ולכן הצלע היא

6

ס"מ. הפעולה שעוזרת לעבור משטח אל צלע נקראת שורש ריבועי.

מתחילים משטח

שטח ריבוע מתקבל מצלע כפול עצמה:

s \cdot s = s^{2}

. כך עוברים מצלע אל שטח.

שואלים שאלה הפוכה

אם השטח ידוע, מחפשים את המספר שכפל עצמי שלו מחזיר אותנו אליו. זה בדיוק מה ששורש ריבועי עושה.

בודקים יחידות

שטח נמדד ביחידות ריבועיות כמו סמ"ר, אבל צלע נמדדת ביחידות אורך כמו ס"מ. השורש מקפל בתוכו גם שינוי יחידות.

מצליבים תחומים

אותו רעיון יחזור בפיתגורס, במשוואות עם

x^{2}

ובהשוואת מספרים גדולים. הפרק הזה מניח את היסוד.

$math/026-reason$ הרעיון המרכזי

שורש ריבועי הוא פעולה הפוכה להעלאה בריבוע. במקום להתחיל במספר ולחשב את הריבוע שלו, מתחילים בתוצאה ושואלים איזה מספר יצר אותה בכפל עצמי. שתי הפעולות מבטלות זו את זו: ריבוע ואז שורש מחזירים את המספר המקורי, וגם להפך.

$math/008-square root$ שורש ריבועי כפעולה הפוכה

הסימון $a$ נקרא שורש ריבועי של $a$ . הוא מחפש את המספר הלא-שלילי $b$ שעבורו $b^{2} = a$ .

ההגדרה חשובה כי היא נותנת דרך בדיקה ברורה. אם טוענים ש- $81 = 9$ , לא בודקים בעזרת חילוק או חיבור, אלא בעזרת ריבוע: $9^{2} = 81$ . אם הריבוע של התשובה מחזיר את המספר שמתחת לשורש, התשובה נכונה.

$a = b ⟺ b^{2} = a, b \geq 0$

בכיתה ח עובדים במספרים הממשיים הלא-שליליים שמתחת לשורש, ועם תוצאה לא-שלילית. לכן $49 = 7$ , למרות שגם $(- 7)^{2} = 49$ , ולכן בכל פעם שכותבים שורש מתכוונים לערך הלא-שלילי בלבד.

הגדרת השורש הראשי

a = b ⟺ b^{2} = a, b \geq 0, a \geq 0

$math/028-symbols$ שימו לב להבדל בין משוואה לבין ביטוי

המשוואה $x^{2} = 49$ שואלת אילו מספרים בריבוע נותנים $49$ . יש לה שני פתרונות: $x = 7$ ו- $x = - 7$ , כי גם $7^{2} = 49$ וגם $(- 7)^{2} = 49$ .

אבל הביטוי $49$ שואל על השורש הראשי בלבד, כלומר על הערך הלא-שלילי. לכן $49 = 7$ ולא $\pm 7$ . ההבחנה הזאת תעלה שוב ושוב בהמשך הפרק ובמבחנים, וטעות בה שווה נקודה במבחן.

כלל אצבע פשוט: סימן השורש מציין מספר אחד בלבד, חיובי או אפס. סימן הריבוע ב- $x^{2}$ בתוך משוואה לא מצמצם לפתרון אחד.

מהשטח לצלע

בריבוע קל לראות למה צריך שורש. אם הצלע היא $s$ , השטח הוא $s^{2}$ . כשנותנים את השטח ומבקשים את הצלע, אנחנו עושים את הדרך ההפוכה. הקשר הדו-כיווני בין השטח לצלע הוא הביטוי הגאומטרי הטהור ביותר של שורש ריבועי.

שטח ריבוע וחזרה לצלע

A = s^{2}, s = A

ריבוע ששטחו $36$ סמ"ר

השטח הוא $36$ סמ"ר, ולכן אורך הצלע הוא $36 = 6$ ס"מ.

תמונה הממחישה שורש ריבועי כמעבר משטח ריבוע לאורך הצלע — כאשר שטח הריבוע ידוע, שורש ריבועי מחזיר אותנו לאורך הצלע.

$math/004-square$ ריבועים מושלמים שכדאי להכיר

ריבוע מושלם הוא תוצאה של מספר שלם בריבוע: $1, 4, 9, 16, \dots$ . שליטה ברשימה הזאת מקצרת חישובים, מאפשרת זיהוי מהיר של שורשים שלמים, ומשמשת כבסיס לאומדן של שורשים שאינם שלמים. אם $n$ ריבוע מושלם, אז $n$ שלם. אם לא, $n$ נמצא בין שני שלמים.

טבלת ריבועים מושלמים עד {m}15^2{/m}

המספר	הריבוע	השורש	הערה
$1$	$1^{2} = 1$	$1 = 1$	המקרה הבסיסי
$2$	$2^{2} = 4$	$4 = 2$	הריבוע הזוגי הראשון
$3$	$3^{2} = 9$	$9 = 3$	מופיע בשלשת פיתגורס $3, 4, 5$
$4$	$4^{2} = 16$	$16 = 4$	מופיע בשלשת פיתגורס $3, 4, 5$
$5$	$5^{2} = 25$	$25 = 5$	ריבוע אופייני בבעיות
$6$	$6^{2} = 36$	$36 = 6$	כפל ריבוע: $6 = 2 \cdot 3$
$7$	$7^{2} = 49$	$49 = 7$	ראשוני, אין קיצורים
$8$	$8^{2} = 64$	$64 = 8$	חזקה של $2$
$9$	$9^{2} = 81$	$81 = 9$	חזקה של $3$
$10$	$1 0^{2} = 100$	$100 = 10$	מספר עגול
$11$	$1 1^{2} = 121$	$121 = 11$	ראשוני
$12$	$1 2^{2} = 144$	$144 = 12$	מופיע בשלשה $5, 12, 13$
$13$	$1 3^{2} = 169$	$169 = 13$	מופיע בשלשה $5, 12, 13$
$14$	$1 4^{2} = 196$	$196 = 14$	$14 = 2 \cdot 7$
$15$	$1 5^{2} = 225$	$225 = 15$	מספר עגול שכיח

* כדאי לזכור עד $1 5^{2}$ בעל פה. בהמשך נשתמש ברשימה הזאת כדי לאמוד שורשים שאינם שלמים.

איך לזכור את הטבלה

הטבלה לא ארוכה, אבל היא נראית מאיימת לתלמידים שלא ראו אותה לפני המבחן. כמה טריקים שעוזרים.

סמנו לעצמכם שלוש שכבות: $1^{2}$ עד $5^{2}$ , $6^{2}$ עד $1 0^{2}$ , ו- $1 1^{2}$ עד $1 5^{2}$ .
בכל בוקר חזרו על שכבה אחת בעל פה במקום ללמוד את כולה ביום אחד.
השתמשו ביחס: $1 1^{2} = 121$ זה $1 0^{2}$ ועוד $21$ , $1 2^{2} = 144$ זה $1 1^{2}$ ועוד $23$ , $1 3^{2} = 169$ זה $1 2^{2}$ ועוד $25$ . כל פעם מוסיפים אי-זוגי גדול יותר.
לפני בדיקה, רשמו את הטבלה במהירות בצד דף הטיוטה. זה ייקח דקה ויחסוך לכם זמן בכל שאלה אחר כך.

$math/041-tutorial$ דוגמה מודרכת ראשונה

בפתרון הבא כל שורה עושה פעולה אחת: מזהים את נוסחת השטח, מציבים את השטח, ואז משתמשים בשורש כדי לחזור לאורך הצלע. כל שלב מתועד עם הסבר שמסביר את ההיגיון מאחורי המעבר.

מציאת צלע משטח $49$ סמ"ר

שלב 1 מתוך 4

A = 49

איזו נוסחה מחברת בין שטח ריבוע לצלע שלו?

איך בודקים תשובה לשורש

שורש הוא לא קסם ולא ניחוש. כל תשובה לשורש צריכה לעבור בדיקה אחת קצרה: האם ריבוע התשובה מחזיר את המספר שבתוך השורש? בדיקה זו תופסת כמעט כל טעות חישוב, ושווה את חמש שניות הזמן שהיא לוקחת.

שלוש בדיקות מהירות

$64$

התשובה היא $8$ . הבדיקה: $8^{2} = 64$ . נכון, חוזר למספר המקורי.

$81$

התשובה היא $9$ . לא מחלקים ב- $2$ , אלא בודקים $9^{2} = 81$ .

$121$

התשובה היא $11$ . כדאי לזכור ריבועים עד $1 5^{2}$ כדי שהבדיקה תהיה מיידית.

המקרים המיוחדים: שורש של $0$ ו- $1$

שני שורשים מיוחדים שכדאי להכיר היטב. הם נראים מובנים מאליהם, אבל מופיעים שוב ושוב בשאלות בעלות נימוק, ומבחנים אוהבים לבדוק אם התלמיד באמת זוכר אותם.

שורשים מיוחדים

$0 = 0$

אם $b \geq 0$ ו- $b^{2} = 0$ , אז $b = 0$ . זה השורש היחיד שאינו חיובי, אלא אפס בדיוק.

$1 = 1$

המספר $1$ בריבוע נותן $1$ , ולכן השורש הראשי שלו הוא $1$ . זה גם המקרה היחיד שבו השורש שווה למספר עצמו.

ומה לגבי שורש של מספר שלילי?

בכיתה ח אומרים: לא קיים. אם $b$ מספר ממשי, אז $b^{2} \geq 0$ תמיד. אין מספר ממשי שריבועו $- 9$ , ולכן הביטוי $- 9$ אינו מוגדר במסגרת הפרק.

אם תיתקלו במבחן בביטוי כזה, התשובה הנכונה היא שאין שורש ממשי. בלימודים גבוהים יותר תכירו מספרים מרוכבים שמטפלים גם במקרים האלה, אבל לא בפרק הזה.

$math/039-measurement$ יחידות מידה: ס"מ, סמ"ר ויחידות אחרות

כשהשטח נמדד בסמ"ר, הצלע נמדדת בס"מ. כשהשטח נמדד במ"ר, הצלע נמדדת במטרים. השורש משנה גם את היחידה: מיחידת שטח אל יחידת אורך. לכן חשוב לכתוב את היחידה בכל תשובה.

התאמת יחידות בשורש שטח

יחידת שטח	יחידת אורך מתאימה	דוגמה
סמ"ר (סנטימטר רבוע)	ס"מ (סנטימטר)	$A = 25$ סמ"ר $\Rightarrow s = 5$ ס"מ
מ"ר (מטר רבוע)	מטר	$A = 64$ מ"ר $\Rightarrow s = 8$ מטר
מ"מ רבוע	מ"מ	$A = 100$ מ"מ רבוע $\Rightarrow s = 10$ מ"מ
דונם	מטר (אם הריבוע $1$ דונם)	$1$ דונם $= 1000$ מ"ר, ולכן צלע $1000$ מטר

* אם השאלה לא נותנת יחידות, גם התשובה תיכתב בלי יחידות, אבל המספר עצמו עדיין נכון.

אל תשכחו את היחידה

תשובה ללא יחידה במבחן יכולה להיות מנוקדת בחצי נקודה. במיוחד בשאלות שטח-לצלע, שבהן השאלה מערבת בין שני סוגי יחידות, חשוב לרשום את היחידה הנכונה.

זהו את היחידה של השטח בנתונים.
תרגמו אותה ליחידת אורך מתאימה.
בודקים שהיחידה החדשה מתאימה לשאלה: היקף, צלע, גובה - כולן ביחידות אורך.

טעויות נפוצות וטיפול בהן

שורשים נראים קצרים, ולכן קל לעשות בהם קיצורים לא נכונים. במקום לזכור רשימת איסורים, נחזור תמיד לשאלה: איזה מספר בריבוע נותן את המספר הנתון? אם הבדיקה הזאת לא עובדת, התשובה לא נכונה, נקודה.

לא מחלקים, מחפשים כפל עצמי

הטעות

$36 = 18$ , כי חילקנו את $36$ ב- $2$ .

דוגמה: הבדיקה חושפת את הבעיה: $1 8^{2} = 324$ , לא $36$ .

התיקון

$36 = 6$ , כי $6^{2} = 36$ . השורש שואל על כפל עצמי, לא על חילוק ב- $2$ .

דוגמה: אם הריבוע של התשובה מחזיר את המספר, התשובה מתאימה.

הסדר: תשובה ← העלאה בריבוע ← מחזירים למספר המקורי? אם כן, צדקנו.

שאלה 1 מתוך 18

באיזו יחידה תופיע צלע של ריבוע אם השטח נתון בסמ"ר?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של למה צריך שורש ריבועי כבר מוכן.

פתחו תרגול

למה צריך שורש ריבועי

הבעיה שמולידה שורש

הרעיון המרכזי

שורש ריבועי כפעולה הפוכה

שימו לב להבדל בין משוואה לבין ביטוי

מהשטח לצלע

ריבועים מושלמים שכדאי להכיר

טבלת ריבועים מושלמים עד {m}15^2{/m}

איך לזכור את הטבלה

דוגמה מודרכת ראשונה

מציאת צלע משטח 49 סמ"ר

איך בודקים תשובה לשורש

שלוש בדיקות מהירות

64​

81​

121​

המקרים המיוחדים: שורש של 0 ו-1