גרסת הדפסה | החוברת

שורשים, אומדן, סיווג מספרים והכנה לפיתגורס

מפת הפרק

הרעיון הגדול של הפרק

הפרק מרחיב את עולם המספרים דרך שאלה אחת: איך חוזרים ממספר שהוא ריבוע אל המספר שיצר אותו. כשחזרה כזאת אינה נותנת מספר שלם או שבר פשוט, אנחנו צריכים גם אומדן וגם שפה חדשה של מספרים אי-רציונליים.

זו אינה יחידת חישוב קצרה בלבד. היא בונה את הכלים שבהם משתמשים אחר כך בפיתגורס, במדידות, בהשוואת גדלים ובכתיבת תשובות מדויקות. כל מודול בפרק תרם נדבך אחד לבניין שלם.

אם תקראו את הפרק כסיפור, הוא נראה כך: מתחילים בשאלה תמימה (איך מוצאים צלע משטח), מגלים פעולה חדשה (שורש), נתקלים במצב שבו הפעולה לא יוצאת שלמה (אומדן), מבחינים בקיומם של מספרים שאינם שברים פשוטים (אי-רציונליים), פוגשים את הדוגמה הראשונה הידועה של אי-רציונלי (

2

), ולבסוף מכינים את הכלי לפרק הבא (פיתגורס).

מה השורש שואל?

מחפשים את המספר הלא-שלילי שבריבוע נותן את המספר שמתחת לשורש. זאת ההגדרה - וכל פעולה אחרת לא נותנת תשובה לשורש.

האם השורש שלם?

בודקים אם המספר שמתחת לשורש הוא ריבוע שלם כמו

49

64

או

121

. אם כן - השורש שלם. אם לא - אומדן.

איפה הוא נמצא?

אם אין שורש שלם, מוצאים שני ריבועים סמוכים וממקמים את השורש ביניהם. עוד צעד: לאיזה שלם הוא קרוב יותר.

איך מסווגים?

שואלים אם אפשר לכתוב את המספר כשבר של שלמים, או אם מדובר בשורש של מספר שאינו ריבוע שלם. בכל תשובה מוסיפים נימוק.

כללי יסוד עם פירוש

לא מספיק לזכור נוסחה. בכל שורה כאן יש גם משמעות מילולית שצריך לדעת לומר בקול בזמן פתרון.

השורש הראשי

a = b ⟺ b^{2} = a, b \geq 0

השורה אומרת: אם

b

הוא השורש הראשי של

a

, אז

b

הוא לא-שלילי והריבוע שלו הוא

a

. לכן

25 = 5

, לא

\pm 5

אומדן בעזרת ריבועים סמוכים

a^{2} < n < b^{2} \Rightarrow a < n < b

השורה אומרת: אם המספר שמתחת לשורש נמצא בין שני ריבועים, השורש עצמו נמצא בין שני הבסיסים שלהם. הכלל מתבסס על מונוטוניות פונקציית הריבוע במספרים אי-שליליים.

מספר רציונלי

\frac{p}{q}, p, q \in Z, q \neq = 0

השורה אומרת: מספר רציונלי ניתן לכתיבה כשבר של שני שלמים. לכן כל מספר שלם, כל שבר, כל עשרוני סופי וכל עשרוני מחזורי הם רציונליים.

הכנה לפיתגורס

c = a^{2} + b^{2}

השורה אומרת: כדי לקבל אורך מתוך ריבועי אורכים, מחברים ואז מוציאים שורש. זה הצעד שיופיע בכל בעיית פיתגורס בפרק הבא.

מילון מושגי הפרק

המושגים האלה מופיעים שוב ושוב במבחן ובמטלות. כדאי לדעת לתת לכל אחד הגדרה קצרה ודוגמה.

מושגי הפרק

מושג	הגדרה קצרה	דוגמה
שורש ריבועי $a$	המספר הלא-שלילי שריבועו $a$	$49 = 7$
שורש ראשי	הערך הלא-שלילי של השורש	$49 = 7$ , לא $- 7$
ריבוע שלם	מספר שלם שהוא ריבוע של מספר שלם	$1, 4, 9, 16, 25, 36$
אומדן	מציאת קטע שבו השורש נמצא	$7 < 50 < 8$
ערך מדויק	התשובה ללא קירוב	$50$ (לא $7.07)$
קירוב	ערך עשרוני קרוב לערך המדויק	$50 \approx 7.07$
מספר רציונלי	ניתן לכתיבה כשבר של שלמים	$\frac{3}{4}, 0. 3, 16$
מספר אי-רציונלי	אינו ניתן לכתיבה כשבר של שלמים	$2, 10, π$
עשרוני סופי	עשרוני בעל מספר סופי של ספרות אחרי הנקודה	$0.625$
עשרוני מחזורי	עשרוני אינסופי שחוזר במחזור	$0. 12$
שלשת פיתגוריות	שלושה שלמים המקיימים $a^{2} + b^{2} = c^{2}$	$3, 4, 5$

אם תזכרו את המושגים האלה ואת הדוגמה לכל אחד, השאלות התיאורטיות במבחן יהיו קלות.

ריבועים מושלמים שכדאי להכיר

הזיכרון של הריבועים המושלמים הוא הכלי שמאפשר חישוב מהיר של שורשים שלמים, אומדן שורשים שאינם שלמים, וזיהוי של שלשות פיתגוריות.

טבלת ריבועים מושלמים עד $2 0^{2}$

$n$	$n^{2}$	$n$	$n^{2}$
$1$	$1$	$11$	$121$
$2$	$4$	$12$	$144$
$3$	$9$	$13$	$169$
$4$	$16$	$14$	$196$
$5$	$25$	$15$	$225$
$6$	$36$	$16$	$256$
$7$	$49$	$17$	$289$
$8$	$64$	$18$	$324$
$9$	$81$	$19$	$361$
$10$	$100$	$20$	$400$

מספיק לזכור עד $1 5^{2} = 225$ בעל פה. מ- $16$ עד $20$ כדאי לדעת לחשב במהירות.

טבלת סיווג מהירה

הטבלה אינה תחליף לנימוק. היא מזכירה איזו בדיקה מפעילים בכל ייצוג.

בדיקת סיווג לפי ייצוג

ייצוג	סיווג	נימוק קצר
$81$	רציונלי	שווה $9$ , ולכן $\frac{9}{1}$
$82$	אי-רציונלי	$82$ אינו ריבוע שלם
$0.375$	רציונלי	עשרוני סופי
$0. 18$	רציונלי	עשרוני מחזורי
$2$	אי-רציונלי	אורך מדויק שאינו נכתב כשבר של שלמים
$- 7$	רציונלי	מספר שלם, $- 7 = \frac{- 7}{1}$
$0$	רציונלי	אפס תמיד רציונלי
$0.25$	רציונלי	$0.25 = 0.5 = \frac{1}{2}$

בכיתה ח משתמשים בכלל: שורש של מספר שלם שאינו ריבוע שלם הוא אי-רציונלי. שורש של עשרוני יכול להיות רציונלי במקרים מיוחדים.

שלשות פיתגוריות לזכור

השלשות הבאות יופיעו בבעיות פיתגורס. אם תזכרו אותן, החישוב יהיה מיידי.

שלשות פיתגוריות בסיסיות

שלשה	ניצבים	יתר
$3, 4, 5$	$3, 4$	$5$
$5, 12, 13$	$5, 12$	$13$
$8, 15, 17$	$8, 15$	$17$
$7, 24, 25$	$7, 24$	$25$
$9, 40, 41$	$9, 40$	$41$

כל כפולה של שלשה היא גם שלשה: $6, 8, 10$ זה פעמיים $3, 4, 5$ .

דוגמה מסכמת מלאה

הדוגמה הבאה מחברת את כל הפרק: שורש, אומדן, סיווג והכנה לחישוב אורך בפיתגורס.

סיווג ואומדן של ביטוי פיתגורסי

חשבובמדויק, אומדווסווגואת m 5^{2} + 8^{2} / m .

קודם מחשבים את הריבועים. זו השורה שבה עוברים מאורכים לריבועי אורכים.
$5^{2} + 8^{2} = 25 + 64 = 89$
הערך המדויק הוא שורש הסכום. לא משאירים $89$ כתשובת אורך.
$5^{2} + 8^{2} = 89$
כדי לאמוד, משווים לריבועים סמוכים.
$9^{2} = 81 < 89 < 100 = 1 0^{2}$
לכן השורש נמצא בין $9$ ל- $10$ . מכיוון ש- $89$ קרוב יותר ל- $81$ , הוא קרוב יותר ל- $9$ .
$9 < 89 < 10$
$89$ אינו ריבוע שלם, ולכן השורש אינו רציונלי במסגרת הפרק.
$89 \in / Q$

תשובה:

89, 9 < 89 < 10, אי-רציונלי

טעויות שחייבים לדעת לתקן

רוב הטעויות בפרק נובעות מניסיון לקצר לפני שמבינים מה השאלה שואלת. כאן מתקנים את המחשבה, לא רק את התשובה.

אבחון טעויות

לחלק את השטח ב-2

אם שטח ריבוע הוא $100$ , הצלע אינה $50$ . מחפשים מספר שבריבוע נותן $100$ , ולכן הצלע $10$ .

בדיקה: $5 0^{2} = 2500 \neq = 100$ , אבל $1 0^{2} = 100$

לפרק שורש של סכום

$9 + 16$ אינו שווה ל- $9 + 16$ . קודם מחשבים את הסכום ורק אחר כך מוציאים שורש.

$25 = 5$ , אבל $3 + 4 = 7$

לחשוב שאינסופי פירושו אי-רציונלי

עשרוני אינסופי מחזורי כמו $0. 3$ הוא רציונלי. השאלה היא האם יש מחזור, לא רק האם יש אינסוף ספרות.

$0. 3 = \frac{1}{3}$ , אבל $2 = 1.414 \dots$ אי-רציונלי

להחליף דיוק בקירוב

$1.41$ עוזר להרגיש את הגודל של $2$ , אבל אינו הערך המדויק. כשצריך דיוק, משאירים $2$ .

$1.4 1^{2} = 1.9881 \neq = 2 = (2)^{2}$

הכנה למבחן: מה כדאי לדעת בעל פה

אם יש לכם רק עשר דקות לפני המבחן, התמקדו ברשימה הזאת. כל פריט בה צץ במבחנים פרק 8 לעיתים תכופות.

רשימת זיכרון למבחן

ריבועים מ- $1$ עד $15$

$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ .
$121, 144, 169, 196, 225$ .
אם זוכרים אותם, חישוב שורש שלם הופך מיידי.

הגדרת שורש ראשי

$a = b$ פירושו $b \geq 0$ ו- $b^{2} = a$ .
לכן $49 = 7$ , לא $\pm 7$ .
במשוואה $x^{2} = 49$ יש שני פתרונות, בביטוי $49$ יש אחד.

כלל האומדן

אם $a^{2} < n < b^{2}$ אז $a < n < b$ .
להשוות מרחקים: $n - a^{2}$ מול $b^{2} - n$ .
השלם הקרוב יותר הוא זה עם המרחק הקטן יותר.

סיווג לפי נימוק

רציונלי: שבר של שלמים, או עשרוני סופי, או מחזורי, או שורש של ריבוע שלם.
אי-רציונלי: עשרוני אינסופי לא מחזורי, או שורש של מספר שאינו ריבוע שלם.
תמיד מוסיפים נימוק בתשובה.

שלשות פיתגוריות

$3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ .
כפולות שלהן: $6, 8, 10$ ; $9, 12, 15$ ; וכו'.
זיהוי מהיר חוסך זמן בבעיות פיתגורס.

סדר תשובה מלאה

ערך מדויק (עם שורש אם צריך).
אומדן (אם השורש לא שלם).
יחידה (ס"מ, מטר, וכו').
סיווג ונימוק (אם השאלה דורשת).

משחק חזרה לפרק

המשחק שלפניכם מאתגר אתכם בשאלות מכל המודולים בפרק. כל קטגוריה כוללת שאלות בחמש רמות קושי. צאו עם חברים, תרגלו, ותראו כמה מהר אתם מזהים שלשות, מאמדים שורשים ומסווגים מספרים.

שאלות מסכמות

החידון המסכם בודק לא רק זיכרון, אלא גם החלטה: האם לחשב, לאמוד, לסווג או לשמור ערך מדויק. שאלות מכל חמשת המודולים.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו השורש הראשי של $121$ ?

$11$
$\pm 11$
$60.5$
$- 11$

2.שטח ריבוע $144$ סמ"ר. מה הצלע?

$12$ ס"מ
$72$ ס"מ
$36$ ס"מ
$144$ ס"מ

3.בין אילו שלמים נמצא $50$ ?

$7$ ו- $8$
$5$ ו- $6$
$25$ ו- $26$
$8$ ו- $9$

4.האם $0. 7$ רציונלי?

כן, מחזורי, שווה $\frac{7}{9}$
לא, אינסופי
תלוי בקירוב
אי-רציונלי

5.מה הערך המדויק של $6^{2} + 8^{2}$ ?

$10$
$14$
$14$
$100$

6. $16 + 9$ - האם שווה ל- $16 + 9$ ?

לא, הראשון $5$ והשני $7$
כן, תמיד
תלוי במספרים
השני יותר קטן

7. $2$ מייצג...

אורך אלכסון של ריבוע יחידה, אי-רציונלי
מספר שלם
$\frac{22}{7}$
מספר שלילי

8.המירו $0.625$ לשבר מצומצם.

$\frac{5}{8}$
$\frac{625}{1000}$
$\frac{6}{10}$
אי-רציונלי

9.אם $c^{2} = 100$ , מהו $c$ ?

$10$
$50$
$100$
$10000$

10.סווגו: $16, 17, 0. 45$ .

רציונלי, אי-רציונלי, רציונלי
כולם רציונליים
כולם אי-רציונליים
אי-רציונלי, רציונלי, אי-רציונלי

11.מהו $0$ ?

$0$
אינו מוגדר
$1$
$\infty$

12.במשולש ישר זווית עם ניצבים $5$ ו- $12$ , מהו היתר?

$13$
$17$
$17$
$169$

13.האם $0.36$ רציונלי?

כן, שווה $0.6 = \frac{3}{5}$
לא, כי תחת השורש לא שלם
אי-רציונלי
אינו מוגדר

14.מה גדול יותר, $40$ או $6.5$ ?

$6.5 > 40$
$40 > 6.5$
שווים
אי אפשר להשוות

15.אורך אלכסון של ריבוע $5 \times 5$ ?

$52 \approx 7.07$
$10$
$25$
$50 = 10$

16.מי גילה היסטורית את אי-הרציונליות של $2$ ?

הפיתגוראים, ביוון העתיקה
ניוטון
מתמטיקאים מודרניים
אינשטיין

17.אם השאלה מבקשת ערך מדויק לאורך, ולקבלנו $c^{2} = 74$ , מה כתוב?

$c = 74$
$c = 74$
$c = \frac{74}{2}$
$c \approx 8.6$

18.ניצב חסר במשולש עם יתר $25$ וניצב $24$ ?

$7$
$1$
$49$ (צורה לא מצומצמת)
$49$

19. $π$ - רציונלי או אי-רציונלי?

אי-רציונלי, אינסופי לא מחזורי
רציונלי, שווה $\frac{22}{7}$
תלוי בקירוב
מספר שלם

20.אומדן $180 \approx ?$

$13$
$90$
$14$
$180 = 180$

21.מה ההבחנה בין משוואה $x^{2} = 49$ לבין הביטוי $49$ ?

במשוואה: שני פתרונות $\pm 7$ ; בביטוי: רק $7$
אין הבדל
במשוואה: $7$ ; בביטוי: $\pm 7$
תלוי במספר

22.אם הולכים $9$ מטר מזרחה ו- $40$ מטר צפונה, מה המרחק הישיר?

$41$ מטר
$49$ מטר
$49 = 7$ מטר
$1681$ מטר

23.כמה ריבועים מושלמים יש בין $1$ ל- $50$ (כולל)?

$7$ : $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$
$5$
$10$
$25$

24.בדיקה מהירה: $100 \cdot 4 = ?$

$20$
$400 = 400$
$10 + 2 = 12$
$100 + 4 = 14$

25.התשובה המלאה לבעיית פיתגורס כוללת...

ערך מדויק, אומדן (אם רלוונטי), יחידה
רק מספר
רק יחידה
רק קירוב