סיכום פרק 8

שורשים, אומדן, סיווג מספרים והכנה לפיתגורס

מפת הפרק

$math/008-square root$ הרעיון הגדול של הפרק

הפרק מרחיב את עולם המספרים דרך שאלה אחת: איך חוזרים ממספר שהוא ריבוע אל המספר שיצר אותו. כשחזרה כזאת אינה נותנת מספר שלם או שבר פשוט, אנחנו צריכים גם אומדן וגם שפה חדשה של מספרים אי-רציונליים.

זו אינה יחידת חישוב קצרה בלבד. היא בונה את הכלים שבהם משתמשים אחר כך בפיתגורס, במדידות, בהשוואת גדלים ובכתיבת תשובות מדויקות. כל מודול בפרק תרם נדבך אחד לבניין שלם.

אם תקראו את הפרק כסיפור, הוא נראה כך: מתחילים בשאלה תמימה (איך מוצאים צלע משטח), מגלים פעולה חדשה (שורש), נתקלים במצב שבו הפעולה לא יוצאת שלמה (אומדן), מבחינים בקיומם של מספרים שאינם שברים פשוטים (אי-רציונליים), פוגשים את הדוגמה הראשונה הידועה של אי-רציונלי ( $2$ ), ולבסוף מכינים את הכלי לפרק הבא (פיתגורס).

$math/008-square root$

מה השורש שואל?

מחפשים את המספר הלא-שלילי שבריבוע נותן את המספר שמתחת לשורש. זאת ההגדרה - וכל פעולה אחרת לא נותנת תשובה לשורש.

האם השורש שלם?

בודקים אם המספר שמתחת לשורש הוא ריבוע שלם כמו $49$ , $64$ או $121$ . אם כן - השורש שלם. אם לא - אומדן.

איפה הוא נמצא?

אם אין שורש שלם, מוצאים שני ריבועים סמוכים וממקמים את השורש ביניהם. עוד צעד: לאיזה שלם הוא קרוב יותר.

$math/049-venn diagram$

איך מסווגים?

שואלים אם אפשר לכתוב את המספר כשבר של שלמים, או אם מדובר בשורש של מספר שאינו ריבוע שלם. בכל תשובה מוסיפים נימוק.

כללי יסוד עם פירוש

לא מספיק לזכור נוסחה. בכל שורה כאן יש גם משמעות מילולית שצריך לדעת לומר בקול בזמן פתרון.

השורש הראשי

a = b ⟺ b^{2} = a, b \geq 0

השורה אומרת: אם $b$ הוא השורש הראשי של $a$ , אז $b$ הוא לא-שלילי והריבוע שלו הוא $a$ . לכן $25 = 5$ , לא $\pm 5$ .

אומדן בעזרת ריבועים סמוכים

a^{2} < n < b^{2} \Rightarrow a < n < b

השורה אומרת: אם המספר שמתחת לשורש נמצא בין שני ריבועים, השורש עצמו נמצא בין שני הבסיסים שלהם. הכלל מתבסס על מונוטוניות פונקציית הריבוע במספרים אי-שליליים.

מספר רציונלי

\frac{p}{q}, p, q \in Z, q \neq = 0

השורה אומרת: מספר רציונלי ניתן לכתיבה כשבר של שני שלמים. לכן כל מספר שלם, כל שבר, כל עשרוני סופי וכל עשרוני מחזורי הם רציונליים.

הכנה לפיתגורס

c = a^{2} + b^{2}

השורה אומרת: כדי לקבל אורך מתוך ריבועי אורכים, מחברים ואז מוציאים שורש. זה הצעד שיופיע בכל בעיית פיתגורס בפרק הבא.

$math/020-math book$ מילון מושגי הפרק

המושגים האלה מופיעים שוב ושוב במבחן ובמטלות. כדאי לדעת לתת לכל אחד הגדרה קצרה ודוגמה.

מושגי הפרק

מושג	הגדרה קצרה	דוגמה
שורש ריבועי $a$	המספר הלא-שלילי שריבועו $a$	$49 = 7$
שורש ראשי	הערך הלא-שלילי של השורש	$49 = 7$ , לא $- 7$
ריבוע שלם	מספר שלם שהוא ריבוע של מספר שלם	$1, 4, 9, 16, 25, 36$
אומדן	מציאת קטע שבו השורש נמצא	$7 < 50 < 8$
ערך מדויק	התשובה ללא קירוב	$50$ (לא $7.07)$
קירוב	ערך עשרוני קרוב לערך המדויק	$50 \approx 7.07$
מספר רציונלי	ניתן לכתיבה כשבר של שלמים	$\frac{3}{4}, 0. \overline{3}, 16$
מספר אי-רציונלי	אינו ניתן לכתיבה כשבר של שלמים	$2, 10, π$
עשרוני סופי	עשרוני בעל מספר סופי של ספרות אחרי הנקודה	$0.625$
עשרוני מחזורי	עשרוני אינסופי שחוזר במחזור	$0. \overline{12}$
שלשת פיתגוריות	שלושה שלמים המקיימים $a^{2} + b^{2} = c^{2}$	$3, 4, 5$

* אם תזכרו את המושגים האלה ואת הדוגמה לכל אחד, השאלות התיאורטיות במבחן יהיו קלות.

$math/004-square$ ריבועים מושלמים שכדאי להכיר

הזיכרון של הריבועים המושלמים הוא הכלי שמאפשר חישוב מהיר של שורשים שלמים, אומדן שורשים שאינם שלמים, וזיהוי של שלשות פיתגוריות.

טבלת ריבועים מושלמים עד {m}20^2{/m}

$n$	$n^{2}$	$n$	$n^{2}$
$1$	$1$	$11$	$121$
$2$	$4$	$12$	$144$
$3$	$9$	$13$	$169$
$4$	$16$	$14$	$196$
$5$	$25$	$15$	$225$
$6$	$36$	$16$	$256$
$7$	$49$	$17$	$289$
$8$	$64$	$18$	$324$
$9$	$81$	$19$	$361$
$10$	$100$	$20$	$400$

* מספיק לזכור עד $1 5^{2} = 225$ בעל פה. מ- $16$ עד $20$ כדאי לדעת לחשב במהירות.

טבלת סיווג מהירה

הטבלה אינה תחליף לנימוק. היא מזכירה איזו בדיקה מפעילים בכל ייצוג.

בדיקת סיווג לפי ייצוג

ייצוג	סיווג	נימוק קצר
$81$	רציונלי	שווה $9$ , ולכן $\frac{9}{1}$
$82$	אי-רציונלי	$82$ אינו ריבוע שלם
$0.375$	רציונלי	עשרוני סופי
$0. \overline{18}$	רציונלי	עשרוני מחזורי
$2$	אי-רציונלי	אורך מדויק שאינו נכתב כשבר של שלמים
$- 7$	רציונלי	מספר שלם, $- 7 = \frac{- 7}{1}$
$0$	רציונלי	אפס תמיד רציונלי
$0.25$	רציונלי	$0.25 = 0.5 = \frac{1}{2}$

* בכיתה ח משתמשים בכלל: שורש של מספר שלם שאינו ריבוע שלם הוא אי-רציונלי. שורש של עשרוני יכול להיות רציונלי במקרים מיוחדים.

$math/009-pythagoras$ שלשות פיתגוריות לזכור

השלשות הבאות יופיעו בבעיות פיתגורס. אם תזכרו אותן, החישוב יהיה מיידי.

שלשות פיתגוריות בסיסיות

שלשה	ניצבים	יתר
$3, 4, 5$	$3, 4$	$5$
$5, 12, 13$	$5, 12$	$13$
$8, 15, 17$	$8, 15$	$17$
$7, 24, 25$	$7, 24$	$25$
$9, 40, 41$	$9, 40$	$41$

* כל כפולה של שלשה היא גם שלשה: $6, 8, 10$ זה פעמיים $3, 4, 5$ .

$math/027-notepad$ דוגמה מסכמת מלאה

הדוגמה הבאה מחברת את כל הפרק: שורש, אומדן, סיווג והכנה לחישוב אורך בפיתגורס.

סיווג ואומדן של ביטוי פיתגורסי

שלב 1 מתוך 5

חשבו במדויק, אומדו וסווגו את

5^{2} + 8^{2}

קודם מחשבים את הריבועים. זו השורה שבה עוברים מאורכים לריבועי אורכים.

5^{2} + 8^{2} = 25 + 64 = 89

טעויות שחייבים לדעת לתקן

רוב הטעויות בפרק נובעות מניסיון לקצר לפני שמבינים מה השאלה שואלת. כאן מתקנים את המחשבה, לא רק את התשובה.

אבחון טעויות

לחלק את השטח ב-2

אם שטח ריבוע הוא $100$ , הצלע אינה $50$ . מחפשים מספר שבריבוע נותן $100$ , ולכן הצלע $10$ .

דוגמה: בדיקה: $5 0^{2} = 2500 \neq = 100$ , אבל $1 0^{2} = 100$

לפרק שורש של סכום

$9 + 16$ אינו שווה ל- $9 + 16$ . קודם מחשבים את הסכום ורק אחר כך מוציאים שורש.

דוגמה: $25 = 5$ , אבל $3 + 4 = 7$

$math/037-infinity$ לחשוב שאינסופי פירושו אי-רציונלי

עשרוני אינסופי מחזורי כמו $0. \overline{3}$ הוא רציונלי. השאלה היא האם יש מחזור, לא רק האם יש אינסוף ספרות.

דוגמה: $0. \overline{3} = \frac{1}{3}$ , אבל $2 = 1.414 \dots$ אי-רציונלי

להחליף דיוק בקירוב

$1.41$ עוזר להרגיש את הגודל של $2$ , אבל אינו הערך המדויק. כשצריך דיוק, משאירים $2$ .

דוגמה: $1.4 1^{2} = 1.9881 \neq = 2 = (2)^{2}$

הכנה למבחן: מה כדאי לדעת בעל פה

אם יש לכם רק עשר דקות לפני המבחן, התמקדו ברשימה הזאת. כל פריט בה צץ במבחנים פרק 8 לעיתים תכופות.

רשימת זיכרון למבחן

ריבועים מ- $1$ עד $15$

$1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ .

$121, 144, 169, 196, 225$ .

אם זוכרים אותם, חישוב שורש שלם הופך מיידי.

$math/030-equation$

הגדרת שורש ראשי

$a = b$ פירושו $b \geq 0$ ו- $b^{2} = a$ .

לכן $49 = 7$ , לא $\pm 7$ .

במשוואה $x^{2} = 49$ יש שני פתרונות, בביטוי $49$ יש אחד.

$math/039-measurement$

כלל האומדן

אם $a^{2} < n < b^{2}$ אז $a < n < b$ .

להשוות מרחקים: $n - a^{2}$ מול $b^{2} - n$ .

השלם הקרוב יותר הוא זה עם המרחק הקטן יותר.

סיווג לפי נימוק

רציונלי: שבר של שלמים, או עשרוני סופי, או מחזורי, או שורש של ריבוע שלם.

אי-רציונלי: עשרוני אינסופי לא מחזורי, או שורש של מספר שאינו ריבוע שלם.

תמיד מוסיפים נימוק בתשובה.

שלשות פיתגוריות

$3, 4, 5$ ; $5, 12, 13$ ; $8, 15, 17$ ; $7, 24, 25$ .

כפולות שלהן: $6, 8, 10$ ; $9, 12, 15$ ; וכו'.

זיהוי מהיר חוסך זמן בבעיות פיתגורס.

סדר תשובה מלאה

ערך מדויק (עם שורש אם צריך).

אומדן (אם השורש לא שלם).

יחידה (ס"מ, מטר, וכו').

סיווג ונימוק (אם השאלה דורשת).

משחק חזרה לפרק

המשחק שלפניכם מאתגר אתכם בשאלות מכל המודולים בפרק. כל קטגוריה כוללת שאלות בחמש רמות קושי. צאו עם חברים, תרגלו, ותראו כמה מהר אתם מזהים שלשות, מאמדים שורשים ומסווגים מספרים.

טוען סימולציה...

שאלות מסכמות

החידון המסכם בודק לא רק זיכרון, אלא גם החלטה: האם לחשב, לאמוד, לסווג או לשמור ערך מדויק. שאלות מכל חמשת המודולים.

שאלה 1 מתוך 25

שטח ריבוע $144$ סמ"ר. מה הצלע?

תרגול מתקדם

מוכנים למבחן המסכם המלא?

עברו לחידון המורחב של הפרק לתרגול מקיף עם 111 שאלות מכל נושאי הלימוד.

למבחן המסכם