גרסת הדפסה | החוברת

בדיקה אם משולש ישר זווית מתוך אורכי הצלעות

מה נלמד כאן?

המשפט ההפוך מאפשר לבדוק לפי אורכי צלעות בלבד האם משולש הוא ישר זווית. הוא גם עוזר למיין משולשים: חדי זווית, ישרי זווית או קהי זווית. במשפט הרגיל מתחילים עם זווית ישרה ומחשבים צלע. במשפט ההפוך מתחילים עם צלעות ומסיקים על הזוויות.

מיון צלעות: נבחר את הצלע הגדולה כמועמדת ליתר. רק היא יכולה להיות $c$ בנוסחה. הסדר חיוני - לא כל צלע יכולה להיות יתר.
אי-שוויון משולש: נבדוק תחילה שהאורכים יכולים בכלל ליצור משולש. אם $a + b \leq c$ , לא נוצר משולש כלל ואין מה לסווג.
השוואת ריבועים: נשווה בין $a^{2} + b^{2}$ לבין $c^{2}$ בשלוש דרכים: שווה, גדול או קטן. כל אפשרות נותנת סוג משולש שונה.
סיווג משולש: נסיק אם המשולש ישר זווית, חד זווית או קהה זווית - על סמך התוצאה של ההשוואה.

הבנה מרכזית

במשפט הרגיל יודעים מראש שהמשולש ישר זווית ומחשבים צלע. במשפט ההפוך המצב הפוך: יודעים את הצלעות ורוצים להסיק על הזוויות. זהו כלי גאומטרי חשוב, כי לא תמיד אפשר למדוד זווית - אבל אפשר לחשב או למדוד אורכים.

מה בודקים בדיוק?

אחרי שמסמנים את הצלע הגדולה $c$ , משווים את ריבועה לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות.

ההשוואה היא בין ריבועים, לא בין אורכים. זה דומה למשפט הקוסינוסים: ככל שהזווית מול הצלע הגדולה רחבה יותר, כך הריבוע שלה גדול יותר ביחס לסכום הריבועים האחרים.

מבחן פיתגורס ההפוך

a^{2} + b^{2} ? c^{2} (c הצלע הגדולה)

בדיקה לפי שלוש צלעות

המשולש שצלעותיו

7, 24, 25

הוא ישר זווית, כי

49 + 576 = 625 = 2 5^{2}

פירוש ההשוואה - שלוש אפשרויות

סוג משולש	תנאי	משמעות זוויות
ישר זווית	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$	יש זווית של בדיוק $9 0^{\circ}$ מול הצלע הגדולה
חד זווית	$a^{2} + b^{2} > c^{2}$	כל הזוויות קטנות מ- $9 0^{\circ}$
קהה זווית	$a^{2} + b^{2} < c^{2}$	יש זווית אחת גדולה מ- $9 0^{\circ}$ מול הצלע הגדולה

הצלע $c$ היא הצלע הגדולה בלבד, ובמקרה של ישר זווית היא היתר. הזווית המעניינת היא תמיד מול הצלע הגדולה.

אי-שוויון משולש

לפני שמסיקים על סוג המשולש, צריך לוודא שהאורכים בכלל יוצרים משולש. אי-שוויון המשולש קובע שסכום שתי הצלעות הקטנות חייב להיות גדול מהצלע הגדולה.

שיטת עבודה

לא מתחילים מהנוסחה עד שמסדרים את הצלעות ובודקים אי-שוויון משולש. אחרת עלולים לשים את היתר במקום שגוי ולקבל מסקנה שגויה, או לסווג אורכים שאינם משולש כלל.

ארבעה שלבי הסיווג

בודקים אם זה בכלל משולש

סכום שתי הצלעות הקטנות חייב להיות גדול מהגדולה.
אם לא, אין משולש - מסיימים כאן.
במקרים גבוליים ( $a + b = c$ ), המשולש מתשטח.

מסמנים את הגדולה

הצלע הגדולה היא המועמדת לתפקיד $c$ בנוסחה.
רק אותה מציבים כ- $c$ .
שתי הצלעות הקטנות הן $a$ ו- $b$ .

משווים ריבועים

מחשבים $a^{2} + b^{2}$ בנפרד מ- $c^{2}$ .
משווים: שוויון, גדול או קטן.
התוצאה קובעת את הסיווג.

כותבים מסקנה ונימוק

כותבים: 'המשולש ישר/חד/קהה זווית'.
מנמקים בעזרת ההשוואה.
במבחן אסור לדלג על הנימוק.

דוגמאות פתורות

המשפט ההפוך הוא כלי נימוק. בכל דוגמה המסקנה נובעת מההשוואה, לא מהרושם של הציור או מהקרבה המספרית.

דוגמה $1$ : בדיקת $7, 24, 25$

7, 24, 25

אי-שוויון משולש: $7 + 24 = 31 > 25$ , יש משולש.
$7 + 24 > 25$
הגדול הוא $25$ .
$c = 25$
סכום ריבועי הקטנים.
$7^{2} + 2 4^{2} = 49 + 576 = 625$
ריבוע הגדול.
$2 5^{2} = 625$
השוויון מתקיים.
$625 = 625$

תשובה:

המשולשישרזווית.

דוגמה $2$ : מיון $4, 5, 6$

4, 5, 6

אי-שוויון משולש: $4 + 5 = 9 > 6$ .
$4 + 5 > 6$
הגדול הוא $6$ .
$c = 6$
סכום ריבועי הקטנות.
$4^{2} + 5^{2} = 16 + 25 = 41$
ריבוע הגדולה.
$6^{2} = 36$
הסכום גדול מהריבוע.
$41 > 36$

תשובה:

המשולשחדזווית.הזוויתמולהצלע m 6 / m קטנהמ - m 9 0^{\circ} / m .

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

$6, 8, 10$

$36 + 64 = 100 = 1 0^{2}$ , ולכן ישר זווית. כפולה של $3, 4, 5$ .

$5, 12, 13$

$25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$ , ישר זווית.

$3, 4, 6$

$9 + 16 = 25 < 36$ , לכן קהה זווית.

$5, 5, 5$

$25 + 25 = 50 > 25$ , חד זווית. למעשה זהו משולש שווה צלעות עם זוויות של $6 0^{\circ}$ .

$1, 2, 3$

$1 + 2 = 3$ , ולכן זה לא משולש - הצלעות מתשטחות לקו.

$5, 7, 9$

$25 + 49 = 74 < 81$ , ולכן קהה זווית.

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

לא בודקים את הגדולה

הטעות: להציב צלע לא גדולה כיתר $c$ . התיקון: קודם ממיינים, ורק אז מציבים.

ב- $7, 24, 25$ , רק $25$ יכול להיות מועמד ליתר.

שוכחים אי-שוויון משולש

הטעות: לסווג אורכים שאינם יוצרים משולש. התיקון: לבדוק שסכום שתי הקטנות גדול מהגדולה.

$2 + 3 < 6$ , לכן אין משולש לסווג. אם דילגו על השלב הזה, מקבלים סיווג שאין לו משמעות.

סיווג חד/קהה הפוך

הטעות: לבלבל בין $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ל- $< c^{2}$ . התיקון: סכום קטן מהריבוע פירושו זווית רחבה (קהה), סכום גדול פירושו זווית צרה (חדה).

מנמוניק: 'הריבוע הגדול דחק את הזווית להיות קהה'.

מסיקים מקרבה

הטעות: לראות $6, 8, 11$ ולחשוב 'קרוב ל- $6, 8, 10$ , אז ישר זווית'. התיקון: חישוב מדויק ולא קרבה.

ההפרש בין $10$ ל- $11$ בריבועים הוא $21$ , לא קטן. המשולש קהה זווית.

בנייה ובדיקת זווית

בנאים מודדים שלוש מרחקים בקיר ובודקים אם הם יוצרים שלשה כמו

3, 4, 5

. אם כן, הפינה ישרה זווית מדויקת. שיטה זו ידועה כ'שיטת השלוש-ארבע-חמש'.

אישור משולשים בעיצוב

מעצבים שמרכיבים משולשים כדגם או כתבנית מודדים את שלוש הצלעות ומוודאים שהמשולש מהסוג שתכננו - חד, קהה או ישר זווית.

מדידה אסטרונומית

אסטרונומים מודדים מרחקים בין כוכבים ובוחנים אם הם יוצרים משולש מסוג מסוים, מבלי שיש להם דרך ישירה למדוד זוויות בשמיים.

ניתוח גאומטרי בעקבות צילום

אנליסטים מודדים אורכים בתמונה ובודקים אם משולש שמופיע בה הוא ישר זווית - שימושי בארכיטקטורה, ארכיאולוגיה וניתוח אבטחה.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה עושים ראשון במשפט ההפוך?

מסמנים את הצלע הגדולה
מחברים את כל האורכים
מוציאים שורש
מחשבים נפח

2.מה מסיקים אם $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ?

המשולש ישר זווית
המשולש קהה
אין משולש
זה גליל

3.מה מסיקים אם $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ ?

המשולש קהה זווית
חד זווית
ישר זווית
שווה צלעות

4.מה מסיקים אם $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ?

המשולש חד זווית
קהה זווית
ישר זווית
אין משולש תמיד

5.האם $7, 24, 25$ ישר זווית?

כן
לא
אין משולש
אי אפשר לדעת

6.מה עם $2, 3, 6$ ?

אין משולש
ישר זווית
חד זווית
קהה זווית

7.מהי הצלע $c$ בבדיקה?

הצלע הגדולה
הצלע הקטנה
צלע אקראית
הגובה

8.איזו בדיקה קובעת אם המשולש ישר?

השוואת ריבועים
השוואת היקפים
כפל כל הצלעות
חיבור אורכים בלבד

9. $6, 8, 11$ הוא:

קהה זווית
ישר זווית
חד זווית
אין משולש

10. $4, 5, 6$ הוא:

חד זווית
ישר זווית
קהה זווית
אין משולש

11.סווגו את המשולש $5, 7, 9$ .

קהה זווית
ישר זווית
חד זווית
אין משולש

12. $3, 4, 5.5$ הוא:

קהה זווית
ישר זווית
חד זווית
אין משולש

13.אורכים $1, 2, 5$ - מה אפשר לומר?

אין משולש - $1 + 2 < 5$
קהה זווית
חד זווית
ישר זווית

14.במשולש שצלעותיו $5, 5, 7$ (שווה-שוקיים):

חד זווית - $25 + 25 = 50 > 49$
ישר זווית
קהה זווית
אין משולש