המשפט ההפוך של פיתגורס

בדיקה אם משולש ישר זווית מתוך אורכי הצלעות

$math/044-geometry$ מה נלמד כאן?

המשפט ההפוך מאפשר לבדוק לפי אורכי צלעות בלבד האם משולש הוא ישר זווית. הוא גם עוזר למיין משולשים: חדי זווית, ישרי זווית או קהי זווית. במשפט הרגיל מתחילים עם זווית ישרה ומחשבים צלע. במשפט ההפוך מתחילים עם צלעות ומסיקים על הזוויות.

מיון צלעות

נבחר את הצלע הגדולה כמועמדת ליתר. רק היא יכולה להיות

c

בנוסחה. הסדר חיוני - לא כל צלע יכולה להיות יתר.

אי-שוויון משולש

נבדוק תחילה שהאורכים יכולים בכלל ליצור משולש. אם

a + b \leq c

, לא נוצר משולש כלל ואין מה לסווג.

השוואת ריבועים

נשווה בין

a^{2} + b^{2}

לבין

c^{2}

בשלוש דרכים: שווה, גדול או קטן. כל אפשרות נותנת סוג משולש שונה.

סיווג משולש

נסיק אם המשולש ישר זווית, חד זווית או קהה זווית - על סמך התוצאה של ההשוואה.

טוען סימולציה...

הבנה מרכזית

במשפט הרגיל יודעים מראש שהמשולש ישר זווית ומחשבים צלע. במשפט ההפוך המצב הפוך: יודעים את הצלעות ורוצים להסיק על הזוויות. זהו כלי גאומטרי חשוב, כי לא תמיד אפשר למדוד זווית - אבל אפשר לחשב או למדוד אורכים.

מה בודקים בדיוק?

אחרי שמסמנים את הצלע הגדולה $c$ , משווים את ריבועה לסכום ריבועי שתי הצלעות האחרות.

התוצאה של ההשוואה קובעת את סוג המשולש: שוויון נותן משולש ישר זווית. אם הסכום קטן מריבוע הצלע הגדולה, המשולש קהה זווית - הזווית מול הצלע הגדולה גדולה מ- $9 0^{\circ}$ . אם הסכום גדול מריבוע הצלע הגדולה, המשולש חד זווית - כל הזוויות קטנות מ- $9 0^{\circ}$ .

ההשוואה היא בין ריבועים, לא בין אורכים. זה דומה למשפט הקוסינוסים: ככל שהזווית מול הצלע הגדולה רחבה יותר, כך הריבוע שלה גדול יותר ביחס לסכום הריבועים האחרים.

מבחן פיתגורס ההפוך

a^{2} + b^{2} ? c^{2} (c הצלע הגדולה)

בדיקה לפי שלוש צלעות

המשולש שצלעותיו $7, 24, 25$ הוא ישר זווית, כי $49 + 576 = 625 = 2 5^{2}$ .

פירוש ההשוואה - שלוש אפשרויות

סוג משולש	תנאי	משמעות זוויות
ישר זווית	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$	יש זווית של בדיוק $9 0^{\circ}$ מול הצלע הגדולה
חד זווית	$a^{2} + b^{2} > c^{2}$	כל הזוויות קטנות מ- $9 0^{\circ}$
קהה זווית	$a^{2} + b^{2} < c^{2}$	יש זווית אחת גדולה מ- $9 0^{\circ}$ מול הצלע הגדולה

* הצלע $c$ היא הצלע הגדולה בלבד, ובמקרה של ישר זווית היא היתר. הזווית המעניינת היא תמיד מול הצלע הגדולה.

$math/049-venn diagram$ אי-שוויון משולש

לפני שמסיקים על סוג המשולש, צריך לוודא שהאורכים בכלל יוצרים משולש. אי-שוויון המשולש קובע שסכום שתי הצלעות הקטנות חייב להיות גדול מהצלע הגדולה.

אי-שוויון המשולש

במשולש כלשהו, סכום שתי צלעות חייב להיות גדול מהצלע השלישית. אם $c$ הצלע הגדולה: $a + b > c$ . אם השוויון מתקיים ( $a + b = c$ ), המשולש 'מתשטח' לקו ישר. אם $a + b < c$ , אין משולש כלל.

דוגמה: אורכים $2, 3, 6$ . $2 + 3 = 5 < 6$ , ולכן אי אפשר לבנות משולש בכלל. אין טעם להחיל את המשפט ההפוך.

שיטת עבודה

לא מתחילים מהנוסחה עד שמסדרים את הצלעות ובודקים אי-שוויון משולש. אחרת עלולים לשים את היתר במקום שגוי ולקבל מסקנה שגויה, או לסווג אורכים שאינם משולש כלל.

ארבעה שלבי הסיווג

$math/007-triangle$

בודקים אם זה בכלל משולש

סכום שתי הצלעות הקטנות חייב להיות גדול מהגדולה.

אם לא, אין משולש - מסיימים כאן.

במקרים גבוליים ( $a + b = c$ ), המשולש מתשטח.

מסמנים את הגדולה

הצלע הגדולה היא המועמדת לתפקיד $c$ בנוסחה.

רק אותה מציבים כ- $c$ .

שתי הצלעות הקטנות הן $a$ ו- $b$ .

$math/004-square$

משווים ריבועים

מחשבים $a^{2} + b^{2}$ בנפרד מ- $c^{2}$ .

משווים: שוויון, גדול או קטן.

התוצאה קובעת את הסיווג.

כותבים מסקנה ונימוק

כותבים: 'המשולש ישר/חד/קהה זווית'.

מנמקים בעזרת ההשוואה.

במבחן אסור לדלג על הנימוק.

דוגמאות פתורות

המשפט ההפוך הוא כלי נימוק. בכל דוגמה המסקנה נובעת מההשוואה, לא מהרושם של הציור או מהקרבה המספרית.

$math/009-pythagoras$ דוגמה $1$ : בדיקת $7, 24, 25$

שלב 1 מתוך 5

7, 24, 25

אי-שוויון משולש: $7 + 24 = 31 > 25$ , יש משולש.

7 + 24 > 25

$math/029-angle$ דוגמה $2$ : מיון $4, 5, 6$

שלב 1 מתוך 5

4, 5, 6

אי-שוויון משולש: $4 + 5 = 9 > 6$ .

4 + 5 > 6

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

$6, 8, 10$

$36 + 64 = 100 = 1 0^{2}$ , ולכן ישר זווית. כפולה של $3, 4, 5$ .

$5, 12, 13$

$25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$ , ישר זווית.

$3, 4, 6$

$9 + 16 = 25 < 36$ , לכן קהה זווית.

$5, 5, 5$

$25 + 25 = 50 > 25$ , חד זווית. למעשה זהו משולש שווה צלעות עם זוויות של $6 0^{\circ}$ .

$1, 2, 3$

$1 + 2 = 3$ , ולכן זה לא משולש - הצלעות מתשטחות לקו.

$5, 7, 9$

$25 + 49 = 74 < 81$ , ולכן קהה זווית.

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

לא בודקים את הגדולה

הטעות: להציב צלע לא גדולה כיתר $c$ . התיקון: קודם ממיינים, ורק אז מציבים.

דוגמה: ב- $7, 24, 25$ , רק $25$ יכול להיות מועמד ליתר.

שוכחים אי-שוויון משולש

הטעות: לסווג אורכים שאינם יוצרים משולש. התיקון: לבדוק שסכום שתי הקטנות גדול מהגדולה.

דוגמה: $2 + 3 < 6$ , לכן אין משולש לסווג. אם דילגו על השלב הזה, מקבלים סיווג שאין לו משמעות.

סיווג חד/קהה הפוך

הטעות: לבלבל בין $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ל- $< c^{2}$ . התיקון: סכום קטן מהריבוע פירושו זווית רחבה (קהה), סכום גדול פירושו זווית צרה (חדה).

דוגמה: מנמוניק: 'הריבוע הגדול דחק את הזווית להיות קהה'.

מסיקים מקרבה

הטעות: לראות $6, 8, 11$ ולחשוב 'קרוב ל- $6, 8, 10$ , אז ישר זווית'. התיקון: חישוב מדויק ולא קרבה.

דוגמה: ההפרש בין $10$ ל- $11$ בריבועים הוא $21$ , לא קטן. המשולש קהה זווית.

בדיקת סבירות

המשפט ההפוך עובד רק עבור שלושה אורכים שיכולים ליצור משולש. לאחר מכן משווים ריבועים ומסיקים מסקנה ברורה.

בדקו אי-שוויון משולש: סכום שתי הקטנות גדול מהגדולה.
סמנו את הצלע הגדולה כמועמד ליתר.
השוו את $a^{2} + b^{2}$ ל- $c^{2}$ .
כתבו מסקנה: ישר/חד/קהה זווית, עם נימוק.
נמקו: אם $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ - ישר; אם $>$ - חד; אם $<$ - קהה.

בנייה ובדיקת זווית

בנאים מודדים שלוש מרחקים בקיר ובודקים אם הם יוצרים שלשה כמו $3, 4, 5$ . אם כן, הפינה ישרה זווית מדויקת. שיטה זו ידועה כ'שיטת השלוש-ארבע-חמש'.

אישור משולשים בעיצוב

מעצבים שמרכיבים משולשים כדגם או כתבנית מודדים את שלוש הצלעות ומוודאים שהמשולש מהסוג שתכננו - חד, קהה או ישר זווית.

מדידה אסטרונומית

אסטרונומים מודדים מרחקים בין כוכבים ובוחנים אם הם יוצרים משולש מסוג מסוים, מבלי שיש להם דרך ישירה למדוד זוויות בשמיים.

ניתוח גאומטרי בעקבות צילום

אנליסטים מודדים אורכים בתמונה ובודקים אם משולש שמופיע בה הוא ישר זווית - שימושי בארכיטקטורה, ארכיאולוגיה וניתוח אבטחה.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

שאלה 1 מתוך 14

מה מסיקים אם $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של המשפט ההפוך כבר מוכן.

פתחו תרגול

המשפט ההפוך של פיתגורס

מה נלמד כאן?