גרסת הדפסה | החוברת

בסיסים, מעטפת ומלבן הפריסה

מה נלמד כאן?

גליל ישר הוא גוף מרחבי בסיסי בגאומטריה, המופיע בעיצוב, באריזה, באדריכלות ובטבע. בשיעור זה נכיר את החלקים שלו, נבין מה קורה כשפורסים אותו על משטח, ונבנה כלי שיעזור לנו לחשב נפח, שטחים וקצבי מילוי בשיעורים הבאים.

אנטומיה של גליל: נזהה את שני הבסיסים העגולים, את המעטפת הצדדית, ואת הגובה. נבחין בין רדיוס $r$ לבין קוטר $d = 2 r$ .
פריסה של מעטפת: כשפורסים את הצד של גליל, מקבלים מלבן. אורכו הוא היקף הבסיס, גובהו הוא גובה הגליל.
נוסחאות יסוד: נכיר את הנוסחאות הבסיסיות: היקף בסיס $P = 2 π r$ , ומידות מלבן הפריסה $2 π r \times h$ .
יחידות וסבירות: נבדיל בין ס"מ (אורך), סמ"ר (שטח) וסמ"ק (נפח). יחידה לא מתאימה תמיד מציינת בעיה.

הבנה מרכזית

גליל ישר מורכב משני בסיסים עגולים חופפים (זהים) המונחים זה מעל זה, וממעטפת צדדית שמחברת אותם. כאשר פורסים את המעטפת על משטח שטוח, מקבלים מלבן: אורכו של המלבן שווה להיקף הבסיס, וגובהו שווה לגובה הגליל.

למה הפריסה היא מלבן?

אם חותכים את המעטפת לאורך אחד המקצועות ופורסים אותה על משטח, מתקבל מלבן.

לכן מידות המלבן הן $2 π r \times h$ - היקף בסיס בכיוון אחד, גובה בכיוון השני.

היקף בסיס

P = 2 π r = π d

מידות מלבן הפריסה

מלבן = 2 π r \times h

חתך צד של גליל ישר

בגליל ישר הגובה

h

מאונך לבסיסים, והרדיוס

r

שייך לעיגול הבסיס. הקוטר הוא

2 r

מילון מושגים

לפני שמתחילים לחשב, חשוב להכיר במדויק את המושגים שמופיעים בגליל ובציוריו.

חלקי הגליל

בסיס

אחד משני העיגולים הזהים שבקצות הגליל. בגליל ישר הם חופפים ומקבילים. שטח כל בסיס הוא $π r^{2}$ .

מעטפת

הצד הצדדי של הגליל - המשטח העקום שמחבר את שני הבסיסים. כשפורסים, המעטפת הופכת למלבן.

גובה

המרחק האנכי בין שני הבסיסים. בגליל ישר זה גם אורך כל מקצוע על המעטפת. מסמן ב- $h$ .

רדיוס

מחצית הקוטר של עיגול הבסיס. מסמן ב- $r$ . הוא המרחק ממרכז הבסיס לכל נקודה על שפת הבסיס.

קוטר

אורך הקו שעובר דרך מרכז הבסיס מקצה לקצה. $d = 2 r$ . הוא הרוחב המרבי של עיגול הבסיס.

היקף בסיס

האורך של שפת הבסיס. $P = 2 π r = π d$ . זהו האורך של מלבן הפריסה.

שיטת עבודה

בגליל חשוב לשאול אם עוסקים בפריסה, בכיסוי מבחוץ, במילוי מבפנים או בקצב שינוי. בשיעור הזה נתמקד בפריסה ובמשמעות הגדלים.

ארבעה שלבים בכל בעיית גליל

מזהים גודל מבוקש

אורך, שטח, נפח או קצב.
היחידות עוזרות לזהות.
לפני הצבה - כותבים במילים מה מחפשים.

רדיוס או קוטר?

אם נתון רדיוס $r$ , מציבים אותו ישירות.
אם נתון קוטר $d$ , מחלקים ב- $2$ כדי לקבל רדיוס.
בנוסחאות עם $r^{2}$ צריך רדיוס; אסור להציב קוטר.

מציבים בנוסחה הנכונה

שמירה על $π$ בתשובה (אלא אם בוקש קירוב).
מקדמים מספריים מציבים קודם, $π$ בסוף.
ברדיוס בריבוע משתמשים רק כשצריך שטח בסיס או נפח.

בודקים יחידות וסבירות

אורך בס"מ; שטח בסמ"ר; נפח בסמ"ק או ליטרים.
$1$ ליטר = $1000$ סמ"ק.
אם היחידה לא מתאימה, חזרו לשלב הראשון.

נוסחאות ומשמעות

גודל	נוסחה	משמעות גאומטרית
היקף בסיס	$2 π r$	אורך מלבן המעטפת בפריסה
קוטר	$d = 2 r$	רוחב העיגול דרך המרכז
מלבן מעטפת	$2 π r \times h$	הפריסה הצדדית
שטח בסיס	$π r^{2}$	שטח עיגול אחד
שטח שני בסיסים	$2 π r^{2}$	סך שטחי שני הבסיסים

המשמעות קובעת אם זו שאלת אורך, שטח או נפח. החליפו את המשמעות עם הנוסחה הנכונה.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות מציגות את המשמעות של הנוסחה לפני החישוב, ומראות איך לעבוד עם רדיוס או קוטר.

דוגמה $1$ : פריסת גליל

r = 3, h = 8

אורך מלבן המעטפת הוא היקף הבסיס.
$P = 2 π r = 2 π \cdot 3 = 6 π$
גובה המלבן הוא גובה הגליל.
$h = 8$
מידות המלבן.
$6 π \times 8$

תשובה:

מלבן m 6 π \times 8 / m ושניעיגוליםברדיוס m 3 / m .

דוגמה $2$ : קוטר ידוע

d = 10, h = 7

מחשבים רדיוס: $r = d /2$ .
$r = 5$
אורך מלבן המעטפת = היקף בסיס. שני אופנים שקולים.
$P = 2 π r = 10 π או P = π d = 10 π$

תשובה:

מלבן m 10 π \times 7 / m .

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

רדיוס וקוטר

אם $d = 12$ , אז $r = 6$ . אם $r = 4$ , אז $d = 8$ .

היקף בסיס

$2 π r$ משמש לאורך המעטפת בפריסה. עבור $r = 5$ : $10 π$ .

שטח בסיס

$π r^{2}$ משמש לחישוב נפח ושטח פנים. אסור לבלבל עם היקף!

גובה

הגובה $h$ מופיע פעם אחת בנפח ובמעטפת, ולא בשטח בסיס.

המרת קוטר

אם בעיה נתונה בקוטר, אפשר להישאר עם קוטר ולהשתמש ב- $π d$ , או להמיר לרדיוס.

פריסה מלאה

פריסת גליל סגור: שני עיגולים (בסיסים) ומלבן (מעטפת). פריסת גליל פתוח: עיגול אחד ומלבן.

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

רדיוס וקוטר

הטעות: להציב קוטר במקום רדיוס בנוסחאות עם $r^{2}$ . התיקון: אם נתון קוטר, מחלקים ב- $2$ .

אם $d = 10$ , אז $r = 5$ . שטח בסיס $25 π$ , לא $100 π$ .

שטח מול היקף

הטעות: להחליף בין $2 π r$ (היקף, אורך) ל- $π r^{2}$ (שטח בסיס). התיקון: יחידות אורך לעומת יחידות שטח.

אם $r = 4$ : היקף $8 π$ ס"מ, שטח בסיס $16 π$ סמ"ר.

פריסה כעיגול

הטעות: לדמיין את המעטפת כעיגול. התיקון: המעטפת בפריסה היא מלבן, לא עיגול. העיגול הוא הבסיס.

כשפורסים גליל - מקבלים מלבן (מעטפת) ושני עיגולים (בסיסים).

החלפת $π$ מוקדם מדי

הטעות: להציב $π = 3.14$ בתחילת החישוב ולקבל קירוב במקום מדויק. התיקון: להשאיר $π$ סמלי עד הסוף.

$r = 14 π / (2 π) = 7 - π$ מתבטל. אם נציב $3.14$ , נצטרך לחלק וזה פחות מדויק.

לפני הצבה כתבו במילים איזה גודל מחפשים, ובאיזו יחידה התשובה צריכה להיות.

פחית שתייה

פחית שתייה סטנדרטית: קוטר

\approx 6.6

ס"מ, גובה

\approx 12

ס"מ. התווית סביב היא מלבן ברוחב היקף הבסיס

2 π r \approx 20.7

ס"מ.

צינור מים

צינור הוא גליל פתוח (בלי בסיסים). הקוטר הפנימי קובע את כמות המים שעוברת, הקוטר החיצוני קובע את העובי. שניהם משמשים בחישובי לחץ וזרימה.

גליל קרטון לסוללה

סוללה

AA

: קוטר

1.4

ס"מ, גובה

5

ס"מ. בייצור, מחשבים את מידות הציפוי החיצוני (

2 π r \times h

) כמלבן.

ספרים גליליים בספרייה

מגילות עתיקות וספרים מגוללים: כשמגילה מגוללת על עצמה, אורך הקלף הכולל תלוי בקוטר המגילה ובמספר הסיבובים. גם בעת גלגול שטיח, אורך השטיח כשהוא פתוח שווה בקירוב לסכום של

2 π r

עבור כל סיבוב, כאשר

r

משתנה לאט ככל שהשטיח נפתח.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה ההבדל בין שטח לנפח?

שטח מודד כיסוי, נפח מודד מילוי
שניהם אותו דבר
נפח נמדד בסמ"ר
שטח נמדד בליטרים בלבד

2.מהו רדיוס אם הקוטר $12$ ?

$6$
$12$
$24$
$π$

3.מהו היקף בסיס גליל ברדיוס $4$ ?

$8 π$
$16 π$
$4 π$
$16$

4.איזו יחידה מתאימה לשטח?

סמ"ר
ס"מ
סמ"ק
ליטרים

5.איזו יחידה מתאימה לנפח?

סמ"ק
ס"מ
סמ"ר
מעלות

6.מה עושים אם נתון קוטר וצריך להשתמש ב- $r$ ?

מחלקים את הקוטר ב- $2$
מכפילים ב- $2$
משאירים כמו שהוא
מעלים בריבוע מיד

7.מה נכון לגבי $π$ בתשובה?

אפשר להשאיר אותו אם לא ביקשו קירוב
חייבים למחוק אותו
הוא תמיד שווה $3$
הוא יחידת נפח

8.כיסוי קופסה גלילית שייך ל:

שטח פנים
נפח
אלכסון גוף
משפט הפוך

9.מילוי מכל גלילי שייך ל:

נפח
שטח מעטפת
היקף בלבד
אלכסון

10.מהי בדיקת סבירות טובה?

לבדוק שהיחידה מתאימה לגודל המבוקש
להתעלם מיחידות
לעגל תמיד ל- $3$
לחבר את כל הנתונים

11.מידות מלבן הפריסה של גליל עם $r = 3, h = 8$ :

$6 π \times 8$
$3 \times 8$
$9 π \times 8$
$24 π$

12.אם הקוטר של בסיס $d = 10$ , היקף הבסיס:

$10 π$
$25 π$
$5 π$
$20 π$

13.אורך מלבן פריסה $14 π$ . מה הרדיוס?

$7$
$14$
$7 π$
$14$

14.מה לא נכון לגבי גליל ישר?

המעטפת שלו בפריסה היא עיגול
שני הבסיסים חופפים
הגובה מאונך לבסיסים
הבסיסים הם עיגולים

מה נלמד כאן?

הבנה מרכזית

למה הפריסה היא מלבן?

חתך צד של גליל ישר

מילון מושגים

חלקי הגליל

בסיס

מעטפת

גובה

רדיוס

קוטר

היקף בסיס

שיטת עבודה

ארבעה שלבים בכל בעיית גליל

מזהים גודל מבוקש

רדיוס או קוטר?

מציבים בנוסחה הנכונה

בודקים יחידות וסבירות

נוסחאות ומשמעות

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: פריסת גליל

דוגמה 2: קוטר ידוע

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

רדיוס וקוטר

היקף בסיס

שטח בסיס

גובה

המרת קוטר

פריסה מלאה

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

רדיוס וקוטר

שטח מול היקף

פריסה כעיגול

החלפת π מוקדם מדי

פחית שתייה

צינור מים

גליל קרטון לסוללה

ספרים גליליים בספרייה

בדקו את עצמכם

דוגמה $1$ : פריסת גליל

דוגמה $2$ : קוטר ידוע

החלפת $π$ מוקדם מדי