גליל ישר ופריסה

בסיסים, מעטפת ומלבן הפריסה

$math/022-cylinder$ מה נלמד כאן?

גליל ישר הוא גוף מרחבי בסיסי בגאומטריה, המופיע בעיצוב, באריזה, באדריכלות ובטבע. בשיעור זה נכיר את החלקים שלו, נבין מה קורה כשפורסים אותו על משטח, ונבנה כלי שיעזור לנו לחשב נפח, שטחים וקצבי מילוי בשיעורים הבאים.

אנטומיה של גליל

נזהה את שני הבסיסים העגולים, את המעטפת הצדדית, ואת הגובה. נבחין בין רדיוס

r

לבין קוטר

d = 2 r

פריסה של מעטפת

כשפורסים את הצד של גליל, מקבלים מלבן. אורכו הוא היקף הבסיס, גובהו הוא גובה הגליל.

נוסחאות יסוד

נכיר את הנוסחאות הבסיסיות: היקף בסיס

P = 2 π r

, ומידות מלבן הפריסה

2 π r \times h

יחידות וסבירות

נבדיל בין ס"מ (אורך), סמ"ר (שטח) וסמ"ק (נפח). יחידה לא מתאימה תמיד מציינת בעיה.

טוען סימולציה...

גליל ישר לעומת גליל אלכסוני

גליל ישר הוא גליל שהציר שלו (הקו המחבר את מרכזי שני הבסיסים) מאונך לבסיסים. כל המקצועות (קווים מקבילים על המעטפת) שווים באורכם ובמשך כל אחד מהם הוא בדיוק הגובה $h$ של הגליל. בכיתה ח לומדים אך ורק גלילים ישרים.

גליל אלכסוני קיים גם הוא, אבל הוא אינו חלק מתוכנית הלימודים. בו הציר אינו מאונך לבסיסים, ולכן צריך להבדיל בין הגובה (המאונך) לבין אורך המקצוע (האלכסוני). אנחנו מתעלמים ממנו.

הבנה מרכזית

גליל ישר מורכב משני בסיסים עגולים חופפים (זהים) המונחים זה מעל זה, וממעטפת צדדית שמחברת אותם. כאשר פורסים את המעטפת על משטח שטוח, מקבלים מלבן: אורכו של המלבן שווה להיקף הבסיס, וגובהו שווה לגובה הגליל.

למה הפריסה היא מלבן?

אם חותכים את המעטפת לאורך אחד המקצועות ופורסים אותה על משטח, מתקבל מלבן.

המעטפת היא משטח עקום, אך הוא נוצר מ'גלגול' של מלבן. בקצוות הימני והשמאלי של המלבן הם מחברים זה לזה כשהמלבן מתגלגל סביב הציר. הצלע של המלבן שמחוברת לשני הבסיסים הופכת להיות גובה, והצלע השנייה (זו שאינה מחוברת לבסיסים) הופכת להיות היקף הבסיס.

לכן מידות המלבן הן $2 π r \times h$ - היקף בסיס בכיוון אחד, גובה בכיוון השני.

היקף בסיס

P = 2 π r = π d

מידות מלבן הפריסה

מלבן = 2 π r \times h

חתך צד של גליל ישר

בגליל ישר הגובה $h$ מאונך לבסיסים, והרדיוס $r$ שייך לעיגול הבסיס. הקוטר הוא $2 r$ .

$math/020-math book$ מילון מושגים

לפני שמתחילים לחשב, חשוב להכיר במדויק את המושגים שמופיעים בגליל ובציוריו.

חלקי הגליל

$math/006-circle$

בסיס

אחד משני העיגולים הזהים שבקצות הגליל. בגליל ישר הם חופפים ומקבילים. שטח כל בסיס הוא $π r^{2}$ .

מעטפת

הצד הצדדי של הגליל - המשטח העקום שמחבר את שני הבסיסים. כשפורסים, המעטפת הופכת למלבן.

גובה

המרחק האנכי בין שני הבסיסים. בגליל ישר זה גם אורך כל מקצוע על המעטפת. מסמן ב- $h$ .

$math/017-ruler$

רדיוס

מחצית הקוטר של עיגול הבסיס. מסמן ב- $r$ . הוא המרחק ממרכז הבסיס לכל נקודה על שפת הבסיס.

קוטר

אורך הקו שעובר דרך מרכז הבסיס מקצה לקצה. $d = 2 r$ . הוא הרוחב המרבי של עיגול הבסיס.

היקף בסיס

האורך של שפת הבסיס. $P = 2 π r = π d$ . זהו האורך של מלבן הפריסה.

שיטת עבודה

בגליל חשוב לשאול אם עוסקים בפריסה, בכיסוי מבחוץ, במילוי מבפנים או בקצב שינוי. בשיעור הזה נתמקד בפריסה ובמשמעות הגדלים.

ארבעה שלבים בכל בעיית גליל

מזהים גודל מבוקש

אורך, שטח, נפח או קצב.

היחידות עוזרות לזהות.

לפני הצבה - כותבים במילים מה מחפשים.

רדיוס או קוטר?

אם נתון רדיוס $r$ , מציבים אותו ישירות.

אם נתון קוטר $d$ , מחלקים ב- $2$ כדי לקבל רדיוס.

בנוסחאות עם $r^{2}$ צריך רדיוס; אסור להציב קוטר.

$math/030-equation$

מציבים בנוסחה הנכונה

שמירה על $π$ בתשובה (אלא אם בוקש קירוב).

מקדמים מספריים מציבים קודם, $π$ בסוף.

ברדיוס בריבוע משתמשים רק כשצריך שטח בסיס או נפח.

בודקים יחידות וסבירות

אורך בס"מ; שטח בסמ"ר; נפח בסמ"ק או ליטרים.

$1$ ליטר = $1000$ סמ"ק.

אם היחידה לא מתאימה, חזרו לשלב הראשון.

נוסחאות ומשמעות

גודל	נוסחה	משמעות גאומטרית
היקף בסיס	$2 π r$	אורך מלבן המעטפת בפריסה
קוטר	$d = 2 r$	רוחב העיגול דרך המרכז
מלבן מעטפת	$2 π r \times h$	הפריסה הצדדית
שטח בסיס	$π r^{2}$	שטח עיגול אחד
שטח שני בסיסים	$2 π r^{2}$	סך שטחי שני הבסיסים

* המשמעות קובעת אם זו שאלת אורך, שטח או נפח. החליפו את המשמעות עם הנוסחה הנכונה.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות מציגות את המשמעות של הנוסחה לפני החישוב, ומראות איך לעבוד עם רדיוס או קוטר.

דוגמה $1$ : פריסת גליל

שלב 1 מתוך 3

r = 3, h = 8

אורך מלבן המעטפת הוא היקף הבסיס.

P = 2 π r = 2 π \cdot 3 = 6 π

$math/039-measurement$ דוגמה $2$ : קוטר ידוע

שלב 1 מתוך 2

d = 10, h = 7

מחשבים רדיוס: $r = d /2$ .

r = 5

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

רדיוס וקוטר

אם $d = 12$ , אז $r = 6$ . אם $r = 4$ , אז $d = 8$ .

היקף בסיס

$2 π r$ משמש לאורך המעטפת בפריסה. עבור $r = 5$ : $10 π$ .

שטח בסיס

$π r^{2}$ משמש לחישוב נפח ושטח פנים. אסור לבלבל עם היקף!

גובה

הגובה $h$ מופיע פעם אחת בנפח ובמעטפת, ולא בשטח בסיס.

המרת קוטר

אם בעיה נתונה בקוטר, אפשר להישאר עם קוטר ולהשתמש ב- $π d$ , או להמיר לרדיוס.

פריסה מלאה

פריסת גליל סגור: שני עיגולים (בסיסים) ומלבן (מעטפת). פריסת גליל פתוח: עיגול אחד ומלבן.

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

רדיוס וקוטר

הטעות: להציב קוטר במקום רדיוס בנוסחאות עם $r^{2}$ . התיקון: אם נתון קוטר, מחלקים ב- $2$ .

דוגמה: אם $d = 10$ , אז $r = 5$ . שטח בסיס $25 π$ , לא $100 π$ .

שטח מול היקף

הטעות: להחליף בין $2 π r$ (היקף, אורך) ל- $π r^{2}$ (שטח בסיס). התיקון: יחידות אורך לעומת יחידות שטח.

דוגמה: אם $r = 4$ : היקף $8 π$ ס"מ, שטח בסיס $16 π$ סמ"ר.

פריסה כעיגול

הטעות: לדמיין את המעטפת כעיגול. התיקון: המעטפת בפריסה היא מלבן, לא עיגול. העיגול הוא הבסיס.

דוגמה: כשפורסים גליל - מקבלים מלבן (מעטפת) ושני עיגולים (בסיסים).

החלפת $π$ מוקדם מדי

הטעות: להציב $π = 3.14$ בתחילת החישוב ולקבל קירוב במקום מדויק. התיקון: להשאיר $π$ סמלי עד הסוף.

דוגמה: $r = 14 π / (2 π) = 7 - π$ מתבטל. אם נציב $3.14$ , נצטרך לחלק וזה פחות מדויק.

לפני הצבה כתבו במילים איזה גודל מחפשים, ובאיזו יחידה התשובה צריכה להיות.

בדיקת סבירות

בדקו יחידות: אורך בס"מ, שטח בסמ"ר, נפח בסמ"ק. יחידה לא מתאימה מצביעה על נוסחה לא מתאימה.

זהו אם זו שאלת כיסוי או מילוי או מציאת ממד.
בדקו אם הנתון הוא רדיוס או קוטר.
השאירו $π$ כסמל אם לא ביקשו קירוב.
ודאו שהיחידה של התשובה תואמת את סוג הגודל המבוקש.

פחית שתייה

פחית שתייה סטנדרטית: קוטר $\approx 6.6$ ס"מ, גובה $\approx 12$ ס"מ. התווית סביב היא מלבן ברוחב היקף הבסיס $2 π r \approx 20.7$ ס"מ.

צינור מים

צינור הוא גליל פתוח (בלי בסיסים). הקוטר הפנימי קובע את כמות המים שעוברת, הקוטר החיצוני קובע את העובי. שניהם משמשים בחישובי לחץ וזרימה.

גליל קרטון לסוללה

סוללה $AA$ : קוטר $1.4$ ס"מ, גובה $5$ ס"מ. בייצור, מחשבים את מידות הציפוי החיצוני ( $2 π r \times h$ ) כמלבן.

ספרים גליליים בספרייה

מגילות עתיקות וספרים מגוללים: כשמגילה מגוללת על עצמה, אורך הקלף הכולל תלוי בקוטר המגילה ובמספר הסיבובים. גם בעת גלגול שטיח, אורך השטיח כשהוא פתוח שווה בקירוב לסכום של $2 π r$ עבור כל סיבוב, כאשר $r$ משתנה לאט ככל שהשטיח נפתח.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

שאלה 1 מתוך 14

אם הקוטר של בסיס $d = 10$ , היקף הבסיס:

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של גליל ישר ופריסה כבר מוכן.

פתחו תרגול

גליל ישר ופריסה

מה נלמד כאן?

גליל ישר לעומת גליל אלכסוני

הבנה מרכזית

למה הפריסה היא מלבן?

מילון מושגים

חלקי הגליל

בסיס

מעטפת

גובה

רדיוס

קוטר

היקף בסיס

שיטת עבודה

ארבעה שלבים בכל בעיית גליל

מזהים גודל מבוקש

רדיוס או קוטר?

מציבים בנוסחה הנכונה

בודקים יחידות וסבירות

נוסחאות ומשמעות

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: פריסת גליל

דוגמה 2: קוטר ידוע

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

רדיוס וקוטר

היקף בסיס

שטח בסיס

גובה

המרת קוטר

פריסה מלאה

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

רדיוס וקוטר

שטח מול היקף

פריסה כעיגול

החלפת π מוקדם מדי

בדיקת סבירות

פחית שתייה

צינור מים

גליל קרטון לסוללה

ספרים גליליים בספרייה

בדקו את עצמכם

אם הקוטר של בסיס d=10, היקף הבסיס: