גרסת הדפסה | החוברת

גובה מים, זמן וקצב מילוי - קשרים גראפיים

מה נלמד כאן?

כאשר ממלאים גליל ישר במים בקצב נפח קבוע, גובה המים עולה בקצב קבוע. זה אומר שגרף הגובה כפונקציה של הזמן הוא קו ישר. שיפוע הקו (התלילות) תלוי בשטח הבסיס: בסיס גדול נותן שיפוע קטן (עליה איטית), בסיס קטן נותן שיפוע גדול (עליה מהירה).

קצב נפח לעומת קצב גובה: קצב נפח $q$ - כמה סמ"ק נכנסים בדקה. קצב גובה $\frac{q}{B}$ - כמה ס"מ הגובה עולה בדקה.
פונקציה ליניארית: $h (t) = \frac{q}{π r ^{2}} t$ . הגובה גדל באופן ליניארי בזמן, עם שיפוע שתלוי בשטח הבסיס.
השוואת מכלים: אותו קצב נפח, מכלים שונים: גרפים בעלי שיפועים שונים. בסיס גדול = גרף שטוח יותר.
פירוש גרפים: מתוך גרף נתון אפשר לקרוא קצב מילוי, זמן מילוי וגדלים נוספים.

הבנה מרכזית

כאשר גליל ישר מתמלא בקצב נפח קבוע, גובה המים עולה בקצב קבוע ולכן הגרף הוא קו ישר. הסיבה: בגליל ישר, שטח הבסיס קבוע - אין שינוי בכל גובה. לכן כל סמ"ק שנכנס מתפרש לאותו עלייה בגובה.

מהיכן מגיע השיפוע?

אם בכל דקה נכנסים $q$ סמ"ק של מים, הגובה עולה ב- $q / B$ ס"מ.

ככל שהבסיס $B$ גדול יותר, השיפוע $q / B$ קטן יותר. גליל רחב מתמלא בגובה לאט. גליל צר מתמלא בגובה מהר.

גובה כפונקציה של זמן

h (t) = \frac{q}{π r ^{2}} t

קצב גובה

קצב גובה = \frac{q}{B} = \frac{קצב נפח}{שטח בסיס}

גדלים בבעיית מילוי

גודל	סימון	יחידות	משמעות
שטח בסיס	$B = π r^{2}$	סמ"ר	כמה נפח נדרש לכל ס"מ גובה
קצב נפח	$q$	סמ"ק לדקה	כמה סמ"ק נכנסים בדקה
קצב גובה (שיפוע)	$q / B$	ס"מ לדקה	שיפוע הגרף $h (t)$
זמן מילוי מלא	$V / q$	דקות	זמן עד שהמכל מתמלא לחלוטין
נפח	$V = B h$	סמ"ק	מילוי כללי

המשמעות קובעת אם זו שאלת אורך, שטח, נפח או זמן.

שיטת עבודה

בבעיית מילוי, צריך לזהות אילו גדלים נתונים: רדיוס/בסיס, גובה, קצב נפח, קצב גובה, זמן. השאלה לרוב מבקשת אחד מהגדלים בהם נשאר חסר.

ארבעה שלבי פתרון

מזהים גדלים נתונים וחסרים

רדיוס או שטח בסיס $B$ .
קצב מילוי - בנפח (סמ"ק/דקה) או בגובה (ס"מ/דקה).
זמן או גובה הסופי.

ממירים בין קצב נפח לקצב גובה

אם נתון קצב נפח $q$ : קצב גובה = $q / B$ .
אם נתון קצב גובה $v_{h}$ : קצב נפח = $v_{h} \cdot B$ .
תמיד שני קצבים שונים, לא לערבב.

מציאת זמן או גובה

$h (t) = v_{h} \cdot t$ .
אם נתון גובה ומחפשים זמן: $t = h / v_{h}$ .
אם נתון זמן ומחפשים גובה: $h = v_{h} \cdot t$ .

בודקים יחידות וסבירות

סמ"ק/דקה ממירים לס"מ/דקה ע"י חילוק בשטח הבסיס (סמ"ר).
אם השאלה במ"ק - להמיר.
תוצאה הגיונית: זמן חיובי, גובה לא יותר מגובה הגליל.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות מציגות חישובי קצב, השוואת גלילים ופירוש גרפים.

דוגמה $1$ : קצב עליית גובה

q = 20 π, r = 2

שטח בסיס.
$B = π r^{2} = 4 π$
מחלקים קצב נפח בשטח בסיס.
$v_{h} = \frac{20 π}{4 π} = 5$

תשובה:

m 5 / m ס"מלדקה

דוגמה $2$ : השוואת שני גלילים

גליל א’ r = 2, גליל ב’ r = 4, אותו קצב נפח q

שטח בסיס א'.
$B_{a} = 4 π$
שטח בסיס ב'.
$B_{b} = 16 π$
קצב גובה א'.
$v_{a} = q / (4 π)$
קצב גובה ב'.
$v_{b} = q / (16 π)$
יחס בין הקצבים.
$v_{a} / v_{b} = 16 π / (4 π) = 4$

תשובה:

גליל א^{'} מתמלאבגובהפי m 4 / m מהריותרמגליל ב^{'} .

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

$q = 40 π, r = 2$

$B = 4 π$ , קצב גובה $10$ ס"מ/דקה.

$q = 40 π, r = 4$

$B = 16 π$ , קצב גובה $2.5$ ס"מ/דקה. רדיוס פי $2$ ← קצב פי $1/4$ .

זמן מילוי

אם $V = 200 π, q = 50 π$ : זמן $= V / q = 4$ דקות.

גרף שטוח לעומת תלול

גרף תלול = רדיוס קטן (קצב גובה גדול).

גרף קו ישר

בגליל ישר תמיד קו ישר. אם הגרף עקום - הצורה לא גליל ישר.

מהקצב נפח לקצב גובה

פשוט חלוקה ב- $B$ . אבל לא ב- $r$ !

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

ערבוב בין שני קצבים

הטעות: לחשוב שקצב נפח וקצב גובה הם אותו דבר. התיקון: שני גדלים שונים, ביחידות שונות.

$q = 20 π$ סמ"ק/דקה זה לא $20 π$ ס"מ/דקה.

חלוקה ברדיוס במקום בשטח

הטעות: לחלק קצב נפח ברדיוס. התיקון: מחלקים בשטח בסיס $π r^{2}$ , לא ב- $r$ .

אם $q = 20 π, r = 2$ : קצב גובה $= 20 π / (4 π) = 5$ , לא $10$ ולא $20 π /2$ .

התעלמות משטח הבסיס

הטעות: להניח שכל גליל מתמלא באותו קצב גובה. התיקון: גלילים בעלי בסיס שונה מתמלאים בקצבי גובה שונים.

אותו $q$ בשני גלילים שונים = שני קצבי גובה שונים.

טעות בחישוב שיפוע מגרף

הטעות: לחשב שיפוע כתוצאה $y$ ולא כיחס. התיקון: שיפוע = שינוי $y$ חלקי שינוי $x$ .

אם הגרף עובר ב- $(0, 0)$ וב- $(4, 8)$ , השיפוע $= 8/4 = 2$ , לא $8$ .

הקפידו: שני סוגי קצב, שתי יחידות שונות, חילוק תמיד בשטח בסיס - לא ברדיוס.

מאגר מים בעיר

מאגר מים עירוני מקבל זרימת מים בקצב מסוים. גרף הגובה מאפשר לעקוב אחר רמת המאגר ולהתריע מבעוד מועד על מחסור במים או על סכנת הצפה.

צינור הזנה לתעשייה

במפעלי כימיה, ממלאים מכלים גליליים בחומרים בקצב מבוקר. החישובים מבטיחים שהמכל לא יעבור על גובה בטיחותי.

השקיה בחקלאות

מערכות השקיה ממלאות בריכות גליליות לפי תכנון. ידיעת הקצב והנפח מאפשרת לתכנן את הזמן הדרוש למילוי.

ניסויי מעבדה

במבחנות גליליות במעבדה, גובה הנוזל עולה בקצב קבוע אם הזרימה קבועה. תלמידים מודדים גובה לאורך זמן ומשרטטים גרף לוודא ליניאריות.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה ההבדל בין שטח לנפח?

שטח מודד כיסוי, נפח מודד מילוי
שניהם אותו דבר
נפח נמדד בסמ"ר
שטח נמדד בליטרים בלבד

2.מהו רדיוס אם הקוטר $12$ ?

$6$
$12$
$24$
$π$

3.מהו היקף בסיס גליל ברדיוס $4$ ?

$8 π$
$16 π$
$4 π$
$16$

4.איזו יחידה מתאימה לשטח?

סמ"ר
ס"מ
סמ"ק
ליטרים

5.איזו יחידה מתאימה לנפח?

סמ"ק
ס"מ
סמ"ר
מעלות

6.מה עושים אם נתון קוטר וצריך להשתמש ב- $r$ ?

מחלקים את הקוטר ב- $2$
מכפילים ב- $2$
משאירים כמו שהוא
מעלים בריבוע מיד

7.מה נכון לגבי $π$ בתשובה?

אפשר להשאיר אותו אם לא ביקשו קירוב
חייבים למחוק אותו
הוא תמיד שווה $3$
הוא יחידת נפח

8.כיסוי קופסה גלילית שייך ל:

שטח פנים
נפח
אלכסון גוף
משפט הפוך

9.מילוי מכל גלילי שייך ל:

נפח
שטח מעטפת
היקף בלבד
אלכסון

10.מהי בדיקת סבירות טובה?

לבדוק שהיחידה מתאימה לגודל המבוקש
להתעלם מיחידות
לעגל תמיד ל- $3$
לחבר את כל הנתונים

11.שטח בסיס $50$ סמ"ר, קצב נפח $100$ סמ"ק/דקה. קצב גובה:

$2$ ס"מ/דקה
$50$ ס"מ/דקה
$100$ ס"מ/דקה
$5000$ ס"מ/דקה

12.גליל $r = 3, h = 20$ , קצב נפח $9 π$ סמ"ק/דקה. זמן מילוי מלא:

$20$ דקות
$9$ דקות
$180 π$ דקות
$3$ דקות

13.גרף ליניארי עובר מ- $(0, 0)$ ל- $(5, 15)$ (זמן בדקות, גובה בס"מ). הקצב:

$3$ ס"מ/דקה
$15$ ס"מ/דקה
$5$ ס"מ/דקה
$20$ ס"מ/דקה

14.שני גלילים מתמלאים באותו קצב נפח. רדיוסי $r_{a} = 2, r_{b} = 4$ . איזה גליל מתמלא בגובה מהר יותר ופי כמה?

א' פי $4$ מהר יותר
ב' פי $2$ מהר יותר
א' פי $2$ מהר יותר
באותה מהירות