גרפים של מילוי גליל

גובה מים, זמן וקצב מילוי - קשרים גראפיים

$math/048-graphs$ מה נלמד כאן?

כאשר ממלאים גליל ישר במים בקצב נפח קבוע, גובה המים עולה בקצב קבוע. זה אומר שגרף הגובה כפונקציה של הזמן הוא קו ישר. שיפוע הקו (התלילות) תלוי בשטח הבסיס: בסיס גדול נותן שיפוע קטן (עליה איטית), בסיס קטן נותן שיפוע גדול (עליה מהירה).

קצב נפח לעומת קצב גובה

קצב נפח

q

- כמה סמ"ק נכנסים בדקה. קצב גובה

\frac{q}{B}

- כמה ס"מ הגובה עולה בדקה.

פונקציה ליניארית

h (t) = \frac{q}{π r ^{2}} t

. הגובה גדל באופן ליניארי בזמן, עם שיפוע שתלוי בשטח הבסיס.

השוואת מכלים

אותו קצב נפח, מכלים שונים: גרפים בעלי שיפועים שונים. בסיס גדול = גרף שטוח יותר.

פירוש גרפים

מתוך גרף נתון אפשר לקרוא קצב מילוי, זמן מילוי וגדלים נוספים.

טוען סימולציה...

הבנה מרכזית

כאשר גליל ישר מתמלא בקצב נפח קבוע, גובה המים עולה בקצב קבוע ולכן הגרף הוא קו ישר. הסיבה: בגליל ישר, שטח הבסיס קבוע - אין שינוי בכל גובה. לכן כל סמ"ק שנכנס מתפרש לאותו עלייה בגובה.

מהיכן מגיע השיפוע?

אם בכל דקה נכנסים $q$ סמ"ק של מים, הגובה עולה ב- $q / B$ ס"מ.

$B = π r^{2}$ הוא שטח הבסיס. כל סמ"ק תופס $1/ B$ מהגובה. לאחר $t$ דקות, הגובה הוא $q \cdot t / B$ . זוהי פונקציה ליניארית: הגובה תלוי ליניארית בזמן, עם שיפוע $q / B$ ונקודת מוצא בראשית הצירים.

ככל שהבסיס $B$ גדול יותר, השיפוע $q / B$ קטן יותר. גליל רחב מתמלא בגובה לאט. גליל צר מתמלא בגובה מהר.

גובה כפונקציה של זמן

h (t) = \frac{q}{π r ^{2}} t

קצב גובה

קצב גובה = \frac{q}{B} = \frac{קצב נפח}{שטח בסיס}

גדלים בבעיית מילוי

גודל	סימון	יחידות	משמעות
שטח בסיס	$B = π r^{2}$	סמ"ר	כמה נפח נדרש לכל ס"מ גובה
קצב נפח	$q$	סמ"ק לדקה	כמה סמ"ק נכנסים בדקה
קצב גובה (שיפוע)	$q / B$	ס"מ לדקה	שיפוע הגרף $h (t)$
זמן מילוי מלא	$V / q$	דקות	זמן עד שהמכל מתמלא לחלוטין
נפח	$V = B h$	סמ"ק	מילוי כללי

* המשמעות קובעת אם זו שאלת אורך, שטח, נפח או זמן.

שיטת עבודה

בבעיית מילוי, צריך לזהות אילו גדלים נתונים: רדיוס/בסיס, גובה, קצב נפח, קצב גובה, זמן. השאלה לרוב מבקשת אחד מהגדלים בהם נשאר חסר.

ארבעה שלבי פתרון

מזהים גדלים נתונים וחסרים

רדיוס או שטח בסיס $B$ .

קצב מילוי - בנפח (סמ"ק/דקה) או בגובה (ס"מ/דקה).

זמן או גובה הסופי.

$math/030-equation$

ממירים בין קצב נפח לקצב גובה

אם נתון קצב נפח $q$ : קצב גובה = $q / B$ .

אם נתון קצב גובה $v_{h}$ : קצב נפח = $v_{h} \cdot B$ .

תמיד שני קצבים שונים, לא לערבב.

$math/039-measurement$

מציאת זמן או גובה

$h (t) = v_{h} \cdot t$ .

אם נתון גובה ומחפשים זמן: $t = h / v_{h}$ .

אם נתון זמן ומחפשים גובה: $h = v_{h} \cdot t$ .

בודקים יחידות וסבירות

סמ"ק/דקה ממירים לס"מ/דקה ע"י חילוק בשטח הבסיס (סמ"ר).

אם השאלה במ"ק - להמיר.

תוצאה הגיונית: זמן חיובי, גובה לא יותר מגובה הגליל.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות מציגות חישובי קצב, השוואת גלילים ופירוש גרפים.

דוגמה $1$ : קצב עליית גובה

שלב 1 מתוך 2

q = 20 π, r = 2

שטח בסיס.

B = π r^{2} = 4 π

$math/049-venn diagram$ דוגמה $2$ : השוואת שני גלילים

שלב 1 מתוך 5

גליל א’ r = 2, גליל ב’ r = 4, אותו קצב נפח q

שטח בסיס א'.

B_{a} = 4 π

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

$q = 40 π, r = 2$

$B = 4 π$ , קצב גובה $10$ ס"מ/דקה.

$q = 40 π, r = 4$

$B = 16 π$ , קצב גובה $2.5$ ס"מ/דקה. רדיוס פי $2$ ← קצב פי $1/4$ .

זמן מילוי

אם $V = 200 π, q = 50 π$ : זמן $= V / q = 4$ דקות.

גרף שטוח לעומת תלול

גרף תלול = רדיוס קטן (קצב גובה גדול).

גרף קו ישר

בגליל ישר תמיד קו ישר. אם הגרף עקום - הצורה לא גליל ישר.

מהקצב נפח לקצב גובה

פשוט חלוקה ב- $B$ . אבל לא ב- $r$ !

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

ערבוב בין שני קצבים

הטעות: לחשוב שקצב נפח וקצב גובה הם אותו דבר. התיקון: שני גדלים שונים, ביחידות שונות.

דוגמה: $q = 20 π$ סמ"ק/דקה זה לא $20 π$ ס"מ/דקה.

חלוקה ברדיוס במקום בשטח

הטעות: לחלק קצב נפח ברדיוס. התיקון: מחלקים בשטח בסיס $π r^{2}$ , לא ב- $r$ .

דוגמה: אם $q = 20 π, r = 2$ : קצב גובה $= 20 π / (4 π) = 5$ , לא $10$ ולא $20 π /2$ .

התעלמות משטח הבסיס

הטעות: להניח שכל גליל מתמלא באותו קצב גובה. התיקון: גלילים בעלי בסיס שונה מתמלאים בקצבי גובה שונים.

דוגמה: אותו $q$ בשני גלילים שונים = שני קצבי גובה שונים.

טעות בחישוב שיפוע מגרף

הטעות: לחשב שיפוע כתוצאה $y$ ולא כיחס. התיקון: שיפוע = שינוי $y$ חלקי שינוי $x$ .

דוגמה: אם הגרף עובר ב- $(0, 0)$ וב- $(4, 8)$ , השיפוע $= 8/4 = 2$ , לא $8$ .

הקפידו: שני סוגי קצב, שתי יחידות שונות, חילוק תמיד בשטח בסיס - לא ברדיוס.

בדיקת סבירות

בדקו יחידות בכל שלב. קצב נפח בסמ"ק/דקה. קצב גובה בס"מ/דקה. זמן בדקות. בכל בעיה: כשהבסיס גדול, קצב הגובה קטן. שיפוע גרף = קצב גובה.

זהו האם נתון קצב נפח או קצב גובה.
השתמשו בקשר $v_{h} = q / B$ להמיר ביניהם.
השאירו $π$ סמלי.
ודאו שיחידת התשובה תואמת את השאלה.
תשובה הגיונית: זמן חיובי, גובה בין $0$ לגובה הגליל.

מאגר מים בעיר

מאגר מים עירוני מקבל זרימת מים בקצב מסוים. גרף הגובה מאפשר לעקוב אחר רמת המאגר ולהתריע מבעוד מועד על מחסור במים או על סכנת הצפה.

צינור הזנה לתעשייה

במפעלי כימיה, ממלאים מכלים גליליים בחומרים בקצב מבוקר. החישובים מבטיחים שהמכל לא יעבור על גובה בטיחותי.

השקיה בחקלאות

מערכות השקיה ממלאות בריכות גליליות לפי תכנון. ידיעת הקצב והנפח מאפשרת לתכנן את הזמן הדרוש למילוי.

ניסויי מעבדה

במבחנות גליליות במעבדה, גובה הנוזל עולה בקצב קבוע אם הזרימה קבועה. תלמידים מודדים גובה לאורך זמן ומשרטטים גרף לוודא ליניאריות.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

שאלה 1 מתוך 14

שני גלילים מתמלאים באותו קצב נפח. רדיוסי $r_{a} = 2, r_{b} = 4$ . איזה גליל מתמלא בגובה מהר יותר ופי כמה?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של גרפים של מילוי גליל כבר מוכן.

פתחו תרגול