גרסת הדפסה | החוברת

כיסוי הגליל מבחוץ - מעטפת לבד או יחד עם בסיסים

מה נלמד כאן?

שטח מעטפת ושטח פנים עוסקים בכיסוי מבחוץ של גליל. ההבדל הקריטי הוא בין שטח המעטפת (החלק הצדדי בלבד) לבין שטח הפנים (כולל הבסיסים). השאלה אם כוללים בסיסים, ואם כן כמה מהם, תלויה במבנה הפיזי של הגליל - פחית סגורה, פחית פתוחה, צינור, כוס, או דלי.

שטח מעטפת: $M = 2 π r h$ . זהו שטח המלבן בפריסה - היקף בסיס כפול גובה.
שטח שני בסיסים: $2 B = 2 π r^{2}$ . כל בסיס הוא עיגול בשטח $π r^{2}$ , ויש שניים.
שטח פנים מלא: $S = 2 π r h + 2 π r^{2}$ . סך הכל מעטפת ושני בסיסים, כשהגליל סגור משני הצדדים.
מקרים מיוחדים: פחית פתוחה ( $1$ בסיס), צינור (ללא בסיסים), כוס (בסיס תחתון בלבד). לכל מקרה נוסחה משלו.

הבנה מרכזית

שטח מעטפת ושטח פנים עוסקים בכיסוי מבחוץ. צריך לדעת אם מכסים רק את הצד או גם את שני הבסיסים. במציאות, זה תלוי במה שהגליל מייצג: פחית סגורה זקוקה לכל פני הגליל, פחית פתוחה רק למעטפת ובסיס תחתון, צינור רק למעטפת.

המבנה של שטח פנים

כשפורסים גליל סגור על משטח, מקבלים שלוש צורות נפרדות.

הנוסחה $S = 2 π r (h + r)$ היא הצורה המוצא-גורם-משותף של אותה הנוסחה. שתיהן שקולות. הראשונה ברורה יותר במשמעות, השנייה לעיתים נוחה יותר לחישוב.

שטח מעטפת

M = 2 π r h

שטח פנים מלא (גליל סגור)

S = 2 π r h + 2 π r^{2} = 2 π r (h + r)

סוגי כיסויים בגליל

סוג	תיאור	נוסחה
מעטפת בלבד	כיסוי הצד; אין בסיסים (תווית, צינור)	$M = 2 π r h$
גליל סגור (שטח פנים מלא)	מעטפת ושני בסיסים (קופסה, פחית סגורה)	$S = 2 π r h + 2 π r^{2}$
גליל פתוח מלמעלה	מעטפת ובסיס אחד (כוס, דלי)	$M + B = 2 π r h + π r^{2}$
צינור (פתוח משני הקצוות)	מעטפת בלבד; לא בסיסים	$M = 2 π r h$

שאלה לפני נוסחה: כמה בסיסים יש בפועל? התשובה תלויה במשימה הפיזית.

שיטת עבודה

שלושה שלבים בכל בעיית שטח: לזהות מה מכוסה, להציב בנוסחה הנכונה, ולבדוק יחידות. שטח תמיד נמדד בסמ"ר, מ"ר, וכדומה - לא בסמ"ק (זה נפח).

ארבעה שלבים בכל שאלת שטח

מזהים מה מכוסה

כתבו במילים: 'אני מכסה את $X$ '.
פחית סגורה - כל פני הגליל.
פחית פתוחה / כוס - מעטפת ובסיס אחד.
צינור או תווית - מעטפת בלבד.

בודקים רדיוס מול קוטר

אם נתון קוטר $d$ , מחלקים ב- $2$ .
ב- $π r^{2}$ חייב רדיוס.
ב- $2 π r h$ אפשר גם $π d h$ .

מציבים ומחשבים

מחשבים מעטפת בנפרד מבסיס.
מחברים בסוף.
משאירים $π$ כסמל אם לא ביקשו קירוב.

בודקים יחידות וסבירות

שטח בסמ"ר ולא בסמ"ק.
שטח פנים גדול משטח מעטפת בגליל סגור.
אם $r$ קטן ו- $h$ גדול, המעטפת תופסת את החלק הארי.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות מציגות את המשמעות של הנוסחה לפני החישוב, ועובדות עם מקרים שונים: גליל סגור, פחית פתוחה, צינור, ומציאת ממד מתוך שטח.

דוגמה $1$ : שטח פנים מלא

r = 4, h = 9

מעטפת.
$M = 2 π \cdot 4 \cdot 9 = 72 π$
שני בסיסים.
$2 B = 2 π \cdot 4^{2} = 32 π$
סך הכול.
$S = 72 π + 32 π = 104 π$

תשובה:

m 104 π / m סמ"ר

דוגמה $2$ : מעטפת בלבד

r = 5, h = 8

משתמשים רק בהיקף בסיס כפול גובה.
$M = 2 π \cdot 5 \cdot 8 = 80 π$

תשובה:

m 80 π / m סמ"ר

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

גליל סגור $r = 2, h = 5$

מעטפת $20 π$ , שני בסיסים $8 π$ , סך הכל $28 π$ סמ"ר.

פחית פתוחה $r = 3, h = 10$

מעטפת $60 π$ , בסיס אחד $9 π$ , סך הכל $69 π$ סמ"ר.

צינור $r = 2, h = 20$

רק מעטפת: $80 π$ סמ"ר. אין בסיסים.

קוטר במקום רדיוס

אם $d = 10, h = 8$ : $r = 5$ , מעטפת $80 π$ .

יחידה

שטח בסמ"ר תמיד. אם יצא בסמ"ק - יש טעות (זה נפח).

שטח פנים = מעטפת + שני בסיסים

אם מבקשים שטח חומר עבור גליל סגור - חייבים את כל השלושה.

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

שכחת בסיסים

הטעות: לחשב רק מעטפת כשמבקשים שטח פנים. התיקון: לקרוא את השאלה היטב - 'שטח פנים' או 'גליל סגור' מציינים גם בסיסים.

פחית סגורה דורשת $M + 2 B$ , לא רק $M$ .

בסיסים מיותרים

הטעות: להוסיף שני בסיסים לפחית פתוחה או לצינור. התיקון: לבדוק כמה בסיסים יש בפועל.

כוס מים פתוחה: $M + B$ (בסיס אחד), לא $M + 2 B$ .

רדיוס מול קוטר

הטעות: להציב קוטר במקום רדיוס בנוסחה $π r^{2}$ . התיקון: ב- $r^{2}$ חייבים רדיוס.

אם $d = 10$ : שטח בסיס $25 π$ , לא $100 π$ .

שטח לעומת נפח

הטעות: להחליף בין נוסחת שטח ( $2 π r h$ ) ונפח ( $π r^{2} h$ ). התיקון: שטח מבסיס בריבוע = שטח, לא נפח.

מעטפת היא שטח (סמ"ר), נפח גם משתמש ב- $h$ אבל גם ב- $r^{2}$ .

תמיד שאלו: כמה בסיסים יש? אם פחות מ- $2$ , השתמשו בנוסחה מתאימה ולא בנוסחת שטח פנים מלא.

תווית של בקבוק

תווית סובבת בקבוק או פחית - מקרה של מעטפת בלבד. השטח הוא

2 π r h

, ויש לוודא שהמלבן הראשוני שמדפיסים יספיק להקיף את הבקבוק.

צבע לקופסת שימורים

קופסת שימורים סגורה: שטח פנים מלא

2 π r h + 2 π r^{2}

. כדי לדעת כמות צבע נדרשת, מכפילים את שטח הפנים בעובי השכבה ובמספר היחידות.

כוס למשקה

כוס פתוחה מלמעלה: שטח החומר הוא

M + B

(מעטפת + בסיס תחתון). זה גם נכון לדלי, סיר ולמכלי משקה.

צינור או גליל קרטון

צינור פתוח משני הקצוות: רק מעטפת. זה גם נכון לגליל קרטון לסיכת נייר טואלט - אין בסיסים.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מה ההבדל בין שטח לנפח?

שטח מודד כיסוי, נפח מודד מילוי
שניהם אותו דבר
נפח נמדד בסמ"ר
שטח נמדד בליטרים בלבד

2.מהו רדיוס אם הקוטר $12$ ?

$6$
$12$
$24$
$π$

3.מהו היקף בסיס גליל ברדיוס $4$ ?

$8 π$
$16 π$
$4 π$
$16$

4.איזו יחידה מתאימה לשטח?

סמ"ר
ס"מ
סמ"ק
ליטרים

5.איזו יחידה מתאימה לנפח?

סמ"ק
ס"מ
סמ"ר
מעלות

6.מה עושים אם נתון קוטר וצריך להשתמש ב- $r$ ?

מחלקים את הקוטר ב- $2$
מכפילים ב- $2$
משאירים כמו שהוא
מעלים בריבוע מיד

7.מה נכון לגבי $π$ בתשובה?

אפשר להשאיר אותו אם לא ביקשו קירוב
חייבים למחוק אותו
הוא תמיד שווה $3$
הוא יחידת נפח

8.כיסוי קופסה גלילית שייך ל:

שטח פנים
נפח
אלכסון גוף
משפט הפוך

9.מילוי מכל גלילי שייך ל:

נפח
שטח מעטפת
היקף בלבד
אלכסון

10.מהי בדיקת סבירות טובה?

לבדוק שהיחידה מתאימה לגודל המבוקש
להתעלם מיחידות
לעגל תמיד ל- $3$
לחבר את כל הנתונים

11.שטח מעטפת של גליל $r = 3, h = 10$ :

$60 π$ סמ"ר
$30 π$ סמ"ר
$90 π$ סמ"ר
$60 π$ סמ"ק

12.שטח פנים של גליל סגור $r = 2, h = 5$ :

$28 π$ סמ"ר
$20 π$ סמ"ר
$40 π$ סמ"ר
$24 π$ סמ"ר

13.פחית פתוחה מלמעלה $r = 5, h = 8$ . שטח החומר:

$105 π$ סמ"ר
$80 π$ סמ"ר
$130 π$ סמ"ר
$25 π$ סמ"ר

14.שטח מעטפת $96 π$ , רדיוס $4$ . הגובה:

$12$
$24$
$6$
$96$