מהו המבנה של שטח פנים?

כשפורסים גליל סגור על משטח, מקבלים שלוש צורות נפרדות. מלבן המעטפת בשטח 2\pi rh, ושני עיגולי בסיס - כל אחד בשטח \pi r^2. כדי לכסות את כל פני הגליל, צריך לחבר את שלושת השטחים: S=2\pi rh+2\pi r^2. הנוסחה S=2\pi r(h+r) היא הצורה המוצא-גורם-משותף של אותה הנוסחה. שתיהן שקולות. הראשונה ברורה יותר במשמעות, השנייה לעיתים נוחה יותר לחישוב.

שטח מעטפת ושטח פנים

כיסוי הגליל מבחוץ - מעטפת לבד או יחד עם בסיסים

$math/022-cylinder$ מה נלמד כאן?

שטח מעטפת ושטח פנים עוסקים בכיסוי מבחוץ של גליל. ההבדל הקריטי הוא בין שטח המעטפת (החלק הצדדי בלבד) לבין שטח הפנים (כולל הבסיסים). השאלה אם כוללים בסיסים, ואם כן כמה מהם, תלויה במבנה הפיזי של הגליל - פחית סגורה, פחית פתוחה, צינור, כוס, או דלי.

שטח מעטפת

M = 2 π r h

. זהו שטח המלבן בפריסה - היקף בסיס כפול גובה.

שטח שני בסיסים

2 B = 2 π r^{2}

. כל בסיס הוא עיגול בשטח

π r^{2}

, ויש שניים.

שטח פנים מלא

S = 2 π r h + 2 π r^{2}

. סך הכל מעטפת ושני בסיסים, כשהגליל סגור משני הצדדים.

מקרים מיוחדים

פחית פתוחה (

1

בסיס), צינור (ללא בסיסים), כוס (בסיס תחתון בלבד). לכל מקרה נוסחה משלו.

טוען סימולציה...

הבנה מרכזית

שטח מעטפת ושטח פנים עוסקים בכיסוי מבחוץ. צריך לדעת אם מכסים רק את הצד או גם את שני הבסיסים. במציאות, זה תלוי במה שהגליל מייצג: פחית סגורה זקוקה לכל פני הגליל, פחית פתוחה רק למעטפת ובסיס תחתון, צינור רק למעטפת.

המבנה של שטח פנים

כשפורסים גליל סגור על משטח, מקבלים שלוש צורות נפרדות.

מלבן המעטפת בשטח $2 π r h$ , ושני עיגולי בסיס - כל אחד בשטח $π r^{2}$ . כדי לכסות את כל פני הגליל, צריך לחבר את שלושת השטחים: $S = 2 π r h + 2 π r^{2}$ .

הנוסחה $S = 2 π r (h + r)$ היא הצורה המוצא-גורם-משותף של אותה הנוסחה. שתיהן שקולות. הראשונה ברורה יותר במשמעות, השנייה לעיתים נוחה יותר לחישוב.

שטח מעטפת

M = 2 π r h

שטח פנים מלא (גליל סגור)

S = 2 π r h + 2 π r^{2} = 2 π r (h + r)

סוגי כיסויים בגליל

סוג	תיאור	נוסחה
מעטפת בלבד	כיסוי הצד; אין בסיסים (תווית, צינור)	$M = 2 π r h$
גליל סגור (שטח פנים מלא)	מעטפת ושני בסיסים (קופסה, פחית סגורה)	$S = 2 π r h + 2 π r^{2}$
גליל פתוח מלמעלה	מעטפת ובסיס אחד (כוס, דלי)	$M + B = 2 π r h + π r^{2}$
צינור (פתוח משני הקצוות)	מעטפת בלבד; לא בסיסים	$M = 2 π r h$

* שאלה לפני נוסחה: כמה בסיסים יש בפועל? התשובה תלויה במשימה הפיזית.

שיטת עבודה

שלושה שלבים בכל בעיית שטח: לזהות מה מכוסה, להציב בנוסחה הנכונה, ולבדוק יחידות. שטח תמיד נמדד בסמ"ר, מ"ר, וכדומה - לא בסמ"ק (זה נפח).

ארבעה שלבים בכל שאלת שטח

מזהים מה מכוסה

כתבו במילים: 'אני מכסה את $X$ '.

פחית סגורה - כל פני הגליל.

פחית פתוחה / כוס - מעטפת ובסיס אחד.

צינור או תווית - מעטפת בלבד.

$math/006-circle$

בודקים רדיוס מול קוטר

אם נתון קוטר $d$ , מחלקים ב- $2$ .

ב- $π r^{2}$ חייב רדיוס.

ב- $2 π r h$ אפשר גם $π d h$ .

$math/030-equation$

מציבים ומחשבים

מחשבים מעטפת בנפרד מבסיס.

מחברים בסוף.

משאירים $π$ כסמל אם לא ביקשו קירוב.

בודקים יחידות וסבירות

שטח בסמ"ר ולא בסמ"ק.

שטח פנים גדול משטח מעטפת בגליל סגור.

אם $r$ קטן ו- $h$ גדול, המעטפת תופסת את החלק הארי.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות מציגות את המשמעות של הנוסחה לפני החישוב, ועובדות עם מקרים שונים: גליל סגור, פחית פתוחה, צינור, ומציאת ממד מתוך שטח.

דוגמה $1$ : שטח פנים מלא

שלב 1 מתוך 3

r = 4, h = 9

מעטפת.

M = 2 π \cdot 4 \cdot 9 = 72 π

דוגמה $2$ : מעטפת בלבד

שלב 1 מתוך 1

r = 5, h = 8

משתמשים רק בהיקף בסיס כפול גובה.

M = 2 π \cdot 5 \cdot 8 = 80 π

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

גליל סגור $r = 2, h = 5$

מעטפת $20 π$ , שני בסיסים $8 π$ , סך הכל $28 π$ סמ"ר.

פחית פתוחה $r = 3, h = 10$

מעטפת $60 π$ , בסיס אחד $9 π$ , סך הכל $69 π$ סמ"ר.

צינור $r = 2, h = 20$

רק מעטפת: $80 π$ סמ"ר. אין בסיסים.

קוטר במקום רדיוס

אם $d = 10, h = 8$ : $r = 5$ , מעטפת $80 π$ .

יחידה

שטח בסמ"ר תמיד. אם יצא בסמ"ק - יש טעות (זה נפח).

שטח פנים = מעטפת + שני בסיסים

אם מבקשים שטח חומר עבור גליל סגור - חייבים את כל השלושה.

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

שכחת בסיסים

הטעות: לחשב רק מעטפת כשמבקשים שטח פנים. התיקון: לקרוא את השאלה היטב - 'שטח פנים' או 'גליל סגור' מציינים גם בסיסים.

דוגמה: פחית סגורה דורשת $M + 2 B$ , לא רק $M$ .

בסיסים מיותרים

הטעות: להוסיף שני בסיסים לפחית פתוחה או לצינור. התיקון: לבדוק כמה בסיסים יש בפועל.

דוגמה: כוס מים פתוחה: $M + B$ (בסיס אחד), לא $M + 2 B$ .

רדיוס מול קוטר

הטעות: להציב קוטר במקום רדיוס בנוסחה $π r^{2}$ . התיקון: ב- $r^{2}$ חייבים רדיוס.

דוגמה: אם $d = 10$ : שטח בסיס $25 π$ , לא $100 π$ .

שטח לעומת נפח

הטעות: להחליף בין נוסחת שטח ( $2 π r h$ ) ונפח ( $π r^{2} h$ ). התיקון: שטח מבסיס בריבוע = שטח, לא נפח.

דוגמה: מעטפת היא שטח (סמ"ר), נפח גם משתמש ב- $h$ אבל גם ב- $r^{2}$ .

תמיד שאלו: כמה בסיסים יש? אם פחות מ- $2$ , השתמשו בנוסחה מתאימה ולא בנוסחת שטח פנים מלא.

בדיקת סבירות

בדקו יחידות: שטח בסמ"ר. אם הופיע סמ"ק זה נפח, לא שטח. שטח פנים תמיד גדול משטח מעטפת בגליל עם בסיסים. אם רדיוס קטן וגובה גדול, רוב השטח הוא במעטפת.

כתבו במילים: 'אני מכסה את ___'.
ספרו את הבסיסים: $0$ , $1$ או $2$ .
השתמשו בנוסחה המתאימה.
השאירו $π$ סמלי.
ודאו שיחידת התוצאה היא יחידת שטח.

תווית של בקבוק

תווית סובבת בקבוק או פחית - מקרה של מעטפת בלבד. השטח הוא $2 π r h$ , ויש לוודא שהמלבן הראשוני שמדפיסים יספיק להקיף את הבקבוק.

צבע לקופסת שימורים

קופסת שימורים סגורה: שטח פנים מלא $2 π r h + 2 π r^{2}$ . כדי לדעת כמות צבע נדרשת, מכפילים את שטח הפנים בעובי השכבה ובמספר היחידות.

כוס למשקה

כוס פתוחה מלמעלה: שטח החומר הוא $M + B$ (מעטפת + בסיס תחתון). זה גם נכון לדלי, סיר ולמכלי משקה.

צינור או גליל קרטון

צינור פתוח משני הקצוות: רק מעטפת. זה גם נכון לגליל קרטון לסיכת נייר טואלט - אין בסיסים.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

שאלה 1 מתוך 14

מה עושים אם נתון קוטר וצריך להשתמש ב- $r$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שטח מעטפת ושטח פנים כבר מוכן.

פתחו תרגול

שטח מעטפת ושטח פנים

מה נלמד כאן?

הבנה מרכזית

המבנה של שטח פנים

סוגי כיסויים בגליל

שיטת עבודה

ארבעה שלבים בכל שאלת שטח

מזהים מה מכוסה

בודקים רדיוס מול קוטר

מציבים ומחשבים

בודקים יחידות וסבירות

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: שטח פנים מלא

דוגמה 2: מעטפת בלבד

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

גליל סגור r=2,h=5

פחית פתוחה r=3,h=10

צינור r=2,h=20

קוטר במקום רדיוס

יחידה

שטח פנים = מעטפת + שני בסיסים

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

שכחת בסיסים

בסיסים מיותרים

רדיוס מול קוטר

שטח לעומת נפח

בדיקת סבירות

תווית של בקבוק

צבע לקופסת שימורים

כוס למשקה

צינור או גליל קרטון

בדקו את עצמכם

מה עושים אם נתון קוטר וצריך להשתמש ב-r?

שטח מעטפת ושטח פנים

מעבר לדף התרגול של המודול

$math/022-cylinder$ מה נלמד כאן?

דוגמה $1$ : שטח פנים מלא

דוגמה $2$ : מעטפת בלבד

גליל סגור $r = 2, h = 5$

פחית פתוחה $r = 3, h = 10$

צינור $r = 2, h = 20$

מה עושים אם נתון קוטר וצריך להשתמש ב- $r$ ?