גרסת הדפסה | החוברת

למה ריבועי הניצבים שווים לריבוע היתר

מה נלמד כאן?

משפט פיתגורס הוא אחד הכלים המרכזיים בגאומטריה ובמתמטיקה כולה. הוא מחבר בין שלוש הצלעות של משולש ישר זווית בקשר אחד פשוט וקבוע, וממנו נגזרים חישובי מרחקים, אלכסונים ואפילו ניווט באמצעות לוויינים. בשיעור זה נלמד לא רק את הנוסחה, אלא גם מה היא באמת אומרת ומדוע היא מתקיימת.

אנטומיה של משולש ישר זווית: נזהה ניצבים ויתר בכל כיוון של ציור ובכל סיבוב, כולל מצבים שבהם היתר אינו מצויר באלכסון.
משמעות שטחית של הנוסחה: נבין שהמשפט אינו עוסק בסכום אורכים אלא בסכום שטחי ריבועים שנבנים על הצלעות.
שתי הוכחות חזותיות: נכיר הוכחה בשיטת הסידור מחדש, והוכחה בשיטת ריבוע גדול עם ארבעה משולשים. שתיהן ויזואליות וניתנות לאימות ידני.
כתיבה ובדיקה: נכתוב את $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ עם נימוק, נבדוק סבירות לפני שמסתפקים בתשובה, ונזהה מתי המשפט בכלל ניתן ליישום.

פתיחה: מתי הופיעו הקשרים האלה?

כבר לפני יותר מ-

3500

שנה, מהנדסים בבבל ובמצרים הקדומה השתמשו בקשרים בין צלעות של משולשים מסוימים כדי לבנות פירמידות, מקדשים ושדות חקלאיים. הם הכירו במיוחד את המשולש שצלעותיו

3, 4, 5

, וידעו שהוא יוצר זווית ישרה. הפילוסוף-מתמטיקאי היווני פיתגורס, שחי במאה ה-

6

לפנה"ס, הראשון שניסח את הקשר הכללי וקישר אותו להוכחה גאומטרית.

כיום אותו קשר מאפשר ל-

GP S

לחשב מרחקים, לאדריכלים לתכנן בניינים ישרי זווית, ולמתמטיקאים לבסס את כל מערכת הקואורדינטות. כל הפרק הזה נשען על הקשר הזה, וגם פרקים שיגיעו אחריו.

הבנה מרכזית

במשולש ישר זווית, שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה הן הניצבים. הצלע שמול הזווית הישרה היא היתר, והיא הצלע הארוכה ביותר. משפט פיתגורס מתאר קשר קבוע בין ריבועי האורכים: סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, ולא לסכום הניצבים עצמם.

מה המשפט באמת אומר?

קל לחשוב שהמשפט אומר לחבר את אורכי הניצבים. זה לא נכון.

לכן כותבים $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , כאשר $c$ הוא היתר. הביטוי $a^{2}$ הוא שטח הריבוע שצלעו $a$ , והוא תמיד גדול מ- $a$ עצמו (אם $a > 1) .$

משפט פיתגורס

a^{2} + b^{2} = c^{2}

משולש ישר זווית עם ריבועי צלעות

היתר

c

נמצא תמיד מול הזווית הישרה, גם אם הציור מסובב או הפוך.

מילון מושגים

לפני שמתחילים לחשב, חשוב להכיר במדויק את המושגים שמופיעים בנוסחה ובציור. כל אחד מהם הוא מונח טכני עם הגדרה מדויקת.

מושגי יסוד

ניצב

כל אחת משתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה במשולש ישר זווית. במשולש ישר זווית יש בדיוק שני ניצבים, והם תמיד קצרים מהיתר.

יתר

הצלע שמול הזווית הישרה. זו הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר זווית. בנוסחה היא מסומנת $c$ ומופיעה אחרי סימן השוויון.

זווית ישרה

זווית של $9 0^{\circ}$ , שבה שתי הצלעות מאונכות זו לזו. במשולש ישר זווית יש בדיוק זווית ישרה אחת. אם אין זווית ישרה, אי אפשר ליישם את משפט פיתגורס ישירות.

ריבוע על צלע

ריבוע ששטחו $a^{2}$ , הנבנה כך שצלע אחת שלו היא הצלע $a$ של המשולש. זהו אובייקט גאומטרי, לא רק ביטוי אלגברי.

שתי הוכחות חזותיות

המשפט אינו צריך להישאר רשימת אותיות. שתי הוכחות חזותיות עוקבות מאפשרות לאמת אותו ביד, על נייר משבצות, ולראות בדיוק למה הוא נכון.

הוכחה ראשונה: סידור מחדש בריבוע גדול

מציירים ריבוע שצלעו $a + b$ , ובתוכו מסדרים ארבעה עותקים זהים של המשולש ישר הזווית.

בשני הסידורים, הריבוע הגדול זהה והשטח שנותר זהה. לכן $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . ההוכחה לא נסמכת על נוסחה - רק על שטחים שעוברים ממקום למקום.

הוכחה שנייה: ארבעה משולשים בריבוע מסובב

מציירים ריבוע שצלעו $c$ , ובתוכו מסדרים ארבעה משולשים זהים כך שהיתרים שלהם הם צלעות הריבוע.

סכום הכול: $2 ab + a^{2} - 2 ab + b^{2} = a^{2} + b^{2}$ . אבל גם השטח הוא $c^{2}$ , ולכן $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . כך מקבלים את אותה תוצאה בדרך אלגברית-גאומטרית קצרה.

אימות ההוכחה במשולש $3, 4, 5$

a = 3, b = 4, c = 5

בונים בדמיון ריבוע גדול שצלעו $a + b = 7$ .
$שטח כולל = 7^{2} = 49$
בסידור הראשון יש ארבעה משולשים ושני ריבועים. ארבעה משולשים: $4 \cdot \frac{3 \cdot 4}{2} = 24$ . שני ריבועים: $3^{2} + 4^{2} = 25$ .
$24 + 25 = 49$
בסידור השני יש ארבעה משולשים ועוד ריבוע אחד שצלעו $c$ . ארבעה משולשים: $24$ . הריבוע הגדול: $c^{2}$ .
$24 + c^{2} = 49$
פותרים ל- $c^{2}$ .
$c^{2} = 25, c = 5$

תשובה:

m 3^{2} + 4^{2} = 5^{2} / m, התקבלבדיוק.

שיטת עבודה

לפני שמחשבים, עוצרים לשתי שאלות: האם זה משולש ישר זווית, ומי היתר. רק אחרי כן הנוסחה מקבלת משמעות. שאלה ראשונה מבטיחה שמשפט פיתגורס בכלל חל. שאלה שנייה מבטיחה שלא נציב ניצב במקום של היתר.

ארבעה שלבים לפתרון נכון

מאתרים זווית ישרה

מחפשים סימון $9 0^{\circ}$ , ריבוע קטן בקודקוד, או נתון מילולי כמו 'ישר זווית', 'מאונך', 'אנכי לרצפה'.
אם אין זווית ישרה ידועה ואין דרך להסיק עליה, אי אפשר להשתמש במשפט בלי נימוק נוסף.
לעיתים בשאלת אוריינות הזווית הישרה נובעת מההקשר: קיר אנכי לרצפה, מטר אנכי לקרקע.

מסמנים יתר

היתר נמצא מול הזווית הישרה - לא מול הזווית הקטנה ולא מול הזווית הגדולה.
הוא הצלע שתיכנס לביטוי $c^{2}$ בנוסחה.
במשולש ישר זווית הוא תמיד הצלע הארוכה ביותר. אם הוא קצר מצלע אחרת, יש טעות בזיהוי.

משווים ריבועים

לא מחברים אורכים, ולא מחברים שטחים שונים.
מחברים את שטחי הריבועים שעל הניצבים ומקבלים שטח אחד שווה לריבוע על היתר.
אחרי הצבה, מבצעים את הריבועים בנפרד ורק אז מחברים.

בודקים סבירות ויחידות

התוצאה צריכה להיות ארוכה מכל ניצב אבל קצרה מסכום הניצבים.
אם נתונים בס"מ, גם התשובה בס"מ. שטח לא יכול להיות תשובה לחיפוש אורך.
תשובה שגדולה ממש מהמספרים שבשאלה היא לרוב סימן לטעות בריבועים.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות הבאות עוברות מהפשוט אל המורכב. בכל אחת רואים איך הקשר בין האורך לבין שטח הריבוע שעליו מוביל לתשובה. שימו לב איך כל שלב מסביר למה הנוסחה נראית כך.

דוגמה $1$ : המשולש הקלאסי $3, 4, 5$

a = 3, b = 4, c = 5

מחשבים את שטחי הריבועים שעל שני הניצבים בנפרד.
$3^{2} = 9, 4^{2} = 16$
מחברים את השטחים, לא את האורכים.
$9 + 16 = 25$
שטח הריבוע שעל היתר הוא $5^{2}$ .
$5^{2} = 25$
השטחים שווים, ולכן השוויון נכון.
$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$

תשובה:

m 3^{2} + 4^{2} = 5^{2} / m

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

$5, 12, 13$

$25 + 144 = 169$ , ולכן $5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}$ . שלשה מוכרת ושימושית.

$8, 15, 17$

$64 + 225 = 289$ , ולכן $8^{2} + 1 5^{2} = 1 7^{2}$ . שלשה נוספת שכדאי לזכור.

ציור בלי סימון

אם הציור נראה ישר זווית אבל אין סימון או נתון מפורש, אין עדיין הצדקה להשתמש במשפט.

היתר אינו תלוי בכיוון

היתר הוא הצלע שמול $9 0^{\circ}$ , גם אם הציור מסובב או הפוך. הוא לא חייב להיות מצויר באלכסון על הדף.

ריבועי שטחים, לא אורכים

הביטוי $a^{2}$ מייצג שטח ריבוע שצלעו $a$ . הוא לא $a + a$ ולא $2 a$ .

חוקיות של פיתגורס

המשפט חל רק על משולש ישר זווית. במשולש חד-זווית או קהה-זווית הקשר אינו שוויון, אלא אי-שוויון.

טעויות נפוצות ובדיקות

הטעויות הבאות חוזרות בכל מבחן ומשרתות בדיוק את אותו מקור: דילוג על שלב הקריאה והמחשבה לפני ההצבה. הכרת הטעות מראש מונעת אותה.

ארבע טעויות עיקריות

חיבור אורכים

הטעות: לחשב $a + b$ כתשובה. התיקון: פיתגורס מחבר $a^{2} + b^{2}$ ואז מוציא שורש כדי לקבל אורך.

$3 + 4 = 7$ , אבל היתר הוא $5$ , ההפרש הוא $2$ .

יתר לא מסומן

הטעות: לבחור את הצלע שנראית ארוכה בציור. התיקון: היתר נמצא מול הזווית הישרה, גם אם הציור מסובב.

ציור מסובב אינו משנה את תפקידי הצלעות. הזווית הישרה היא הקובעת.

שכחת השורש

הטעות: לעצור ב- $c^{2} = 100$ ולכתוב $100$ כתשובה. התיקון: $c = 100 = 10$ .

ריבוע אורך אינו אורך. $c^{2}$ הוא שטח, $c$ הוא אורך.

שימוש במשולש לא ישר זווית

הטעות: להציב מספרים בנוסחה גם אם המשולש אינו ישר זווית. התיקון: לבדוק קודם, ואם יש ספק לא להשתמש.

במשולש שצלעותיו $5, 6, 7$ , אין זווית ישרה: $25 + 36 = 61 \neq = 49$ .

הדרך הבטוחה היא לומר בקול: שני הניצבים יוצרים את הזווית הישרה, היתר מולה, ומחברים ריבועי אורכים.

סולם נשען על קיר

המרחק של תחתית הסולם מהקיר (

a

) והגובה שאליו הסולם מגיע (

b

) הם ניצבים. אורך הסולם עצמו הוא היתר

c

אלכסון מסך טלוויזיה

כשמכריזים על מסך

55

אינץ', מודדים את האלכסון. הרוחב והגובה של המסך הם ניצבים, האלכסון הוא היתר.

$GP S$ ומרחק במפה

כשמחשבים מרחק בין שתי נקודות במפה, ההפרשים בין הצירים הם ניצבים, והמרחק האווירי הוא היתר.

בנייה ובדיקת זווית ישרה

בנאים משתמשים בשלשת

3, 4, 5

לוודא שקיר ופינה יוצרים זווית ישרה. אם המידות תואמות, הזווית מדויקת.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר מילולי. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה הרלוונטית, לבדיקת הסבירות ולמילון המושגים, ונסו שוב.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו היתר במשולש ישר זווית?

הצלע שמול הזווית הישרה
אחד הניצבים
הצלע הקצרה ביותר
גובה הגליל

2.מה אומר משפט פיתגורס?

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ במשולש ישר זווית
$a + b = c$ בכל משולש
היקף עיגול הוא $π r^{2}$
כל משולש הוא ישר זווית

3.במשולש $3, 4, 5$ , מה נכון?

$3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$
$3 + 4 = 5$
$5^{2} + 4^{2} = 3^{2}$
$3 \cdot 4 = 5$

4.מה צריך לבדוק לפני שימוש במשפט?

שיש משולש ישר זווית
שהציור יפה
שהמספרים שלמים
שהשאלה עוסקת בגליל

5.מה מסמל $a^{2}$ בהסבר החזותי?

שטח ריבוע שצלעו $a$
אורך הצלע $a$
היקף המשולש
נפח של קובייה

6.איזו טעות נפוצה המשפט מונע?

חיבור אורכים במקום חיבור ריבועים
הכפלת רדיוס
חישוב היקף מעגל
המרת ליטרים

7.אם $c$ הוא היתר, איפה הוא מופיע בנוסחה?

באגף של $c^{2}$
עם אחד הניצבים בלבד
במקום $a$ תמיד
מחוץ לנוסחה

8.האם ציור שנראה ישר זווית מספיק?

לא, צריך נתון או נימוק
כן, ציור תמיד מדויק
כן, אם הצלע אלכסונית
כן, אם המספרים גדולים

9.מה נכון לגבי היתר?

הוא ארוך מכל ניצב
הוא תמיד סכום הניצבים
הוא תמיד מספר שלם
הוא תמיד גובה

10.איזה ניסוח הוא המדויק ביותר?

סכום שטחי הריבועים שעל הניצבים שווה לשטח הריבוע שעל היתר
סכום הניצבים שווה ליתר
כל צלע בריבוע שווה לאחרת
היתר שווה לשטח המשולש

11.במשולש ישר זווית, הניצבים $9$ ו- $40$ . מה היתר?

$41$
$49$
$39$
$50$

12.איזו טענה לא נכונה לגבי משולש ישר זווית?

סכום הניצבים שווה ליתר
היתר הוא הצלע הארוכה ביותר
הזווית הישרה היא $9 0^{\circ}$
סכום הזוויות החדות הוא $9 0^{\circ}$

13.במשולש ישר זווית עם ניצבים $1$ ו- $1$ , מה היתר המדויק?

$2$
$2$
$1$
$1 = 1$

14.סולם באורך $13$ מ' נשען על קיר. הוא מגיע לגובה $12$ מ' בקיר. כמה רחוק הוא מהקיר?

$5$ מ'
$1$ מ'
$313$ מ'
$13 - 12 = 1$ מ'

15.במשפט פיתגורס, $a^{2}$ הוא:

שטח של ריבוע שצלעו $a$
פעמיים אורך $a$
אורך אחר של $a$
מספר חצי מ- $a$