מהו הוכחה שנייה: ארבעה משולשים בריבוע מסובב?

מציירים ריבוע שצלעו c, ובתוכו מסדרים ארבעה משולשים זהים כך שהיתרים שלהם הם צלעות הריבוע. השטח של הריבוע הגדול הוא c^2. אפשר לחשב אותו גם כסכום של שטחי ארבעה המשולשים יחד עם הריבוע הקטן הפנימי. שטח כל משולש הוא \frac, ולכן ארבעה משולשים נותנים 2ab. הריבוע הקטן באמצע הוא ריבוע שצלעו b-a, ולכן שטחו (b-a)^2=b^2-2ab+a^2. סכום הכול: 2ab+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2. אבל גם השטח הוא c^2, ולכן a^2+b^2=c^2. כך מקבלים את אותה תוצאה בדרך אלגברית-גאומטרית קצרה.

משפט פיתגורס והוכחה חזותית

למה ריבועי הניצבים שווים לריבוע היתר

$math/009-pythagoras$ מה נלמד כאן?

משפט פיתגורס הוא אחד הכלים המרכזיים בגאומטריה ובמתמטיקה כולה. הוא מחבר בין שלוש הצלעות של משולש ישר זווית בקשר אחד פשוט וקבוע, וממנו נגזרים חישובי מרחקים, אלכסונים ואפילו ניווט באמצעות לוויינים. בשיעור זה נלמד לא רק את הנוסחה, אלא גם מה היא באמת אומרת ומדוע היא מתקיימת.

אנטומיה של משולש ישר זווית

נזהה ניצבים ויתר בכל כיוון של ציור ובכל סיבוב, כולל מצבים שבהם היתר אינו מצויר באלכסון.

משמעות שטחית של הנוסחה

נבין שהמשפט אינו עוסק בסכום אורכים אלא בסכום שטחי ריבועים שנבנים על הצלעות.

שתי הוכחות חזותיות

נכיר הוכחה בשיטת הסידור מחדש, והוכחה בשיטת ריבוע גדול עם ארבעה משולשים. שתיהן ויזואליות וניתנות לאימות ידני.

כתיבה ובדיקה

נכתוב את

a^{2} + b^{2} = c^{2}

עם נימוק, נבדוק סבירות לפני שמסתפקים בתשובה, ונזהה מתי המשפט בכלל ניתן ליישום.

טוען סימולציה...

פתיחה: מתי הופיעו הקשרים האלה?

כבר לפני יותר מ- $3500$ שנה, מהנדסים בבבל ובמצרים הקדומה השתמשו בקשרים בין צלעות של משולשים מסוימים כדי לבנות פירמידות, מקדשים ושדות חקלאיים. הם הכירו במיוחד את המשולש שצלעותיו $3, 4, 5$ , וידעו שהוא יוצר זווית ישרה. הפילוסוף-מתמטיקאי היווני פיתגורס, שחי במאה ה- $6$ לפנה"ס, הראשון שניסח את הקשר הכללי וקישר אותו להוכחה גאומטרית.

כיום אותו קשר מאפשר ל- $GP S$ לחשב מרחקים, לאדריכלים לתכנן בניינים ישרי זווית, ולמתמטיקאים לבסס את כל מערכת הקואורדינטות. כל הפרק הזה נשען על הקשר הזה, וגם פרקים שיגיעו אחריו.

הבנה מרכזית

במשולש ישר זווית, שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה הן הניצבים. הצלע שמול הזווית הישרה היא היתר, והיא הצלע הארוכה ביותר. משפט פיתגורס מתאר קשר קבוע בין ריבועי האורכים: סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר, ולא לסכום הניצבים עצמם.

מה המשפט באמת אומר?

קל לחשוב שהמשפט אומר לחבר את אורכי הניצבים. זה לא נכון.

המשפט אומר שסכום שטחי הריבועים שנבנים על שני הניצבים שווה לשטח הריבוע שנבנה על היתר. הוא קושר בין שלושה שטחים, לא בין שלושה אורכים.

לכן כותבים $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , כאשר $c$ הוא היתר. הביטוי $a^{2}$ הוא שטח הריבוע שצלעו $a$ , והוא תמיד גדול מ- $a$ עצמו (אם $a > 1) .$

משפט פיתגורס

a^{2} + b^{2} = c^{2}

משולש ישר זווית עם ריבועי צלעות

היתר $c$ נמצא תמיד מול הזווית הישרה, גם אם הציור מסובב או הפוך.

$math/020-math book$ מילון מושגים

לפני שמתחילים לחשב, חשוב להכיר במדויק את המושגים שמופיעים בנוסחה ובציור. כל אחד מהם הוא מונח טכני עם הגדרה מדויקת.

מושגי יסוד

ניצב

כל אחת משתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה במשולש ישר זווית. במשולש ישר זווית יש בדיוק שני ניצבים, והם תמיד קצרים מהיתר.

יתר

הצלע שמול הזווית הישרה. זו הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר זווית. בנוסחה היא מסומנת $c$ ומופיעה אחרי סימן השוויון.

$math/029-angle$

זווית ישרה

זווית של $9 0^{\circ}$ , שבה שתי הצלעות מאונכות זו לזו. במשולש ישר זווית יש בדיוק זווית ישרה אחת. אם אין זווית ישרה, אי אפשר ליישם את משפט פיתגורס ישירות.

$math/004-square$

ריבוע על צלע

ריבוע ששטחו $a^{2}$ , הנבנה כך שצלע אחת שלו היא הצלע $a$ של המשולש. זהו אובייקט גאומטרי, לא רק ביטוי אלגברי.

שתי הוכחות חזותיות

המשפט אינו צריך להישאר רשימת אותיות. שתי הוכחות חזותיות עוקבות מאפשרות לאמת אותו ביד, על נייר משבצות, ולראות בדיוק למה הוא נכון.

הוכחה ראשונה: סידור מחדש בריבוע גדול

מציירים ריבוע שצלעו $a + b$ , ובתוכו מסדרים ארבעה עותקים זהים של המשולש ישר הזווית.

באופן הסידור הראשון, המשולשים מותירים בפנים שני ריבועים: אחד שצלעו $a$ ואחד שצלעו $b$ . השטח שנשאר הוא $a^{2} + b^{2}$ . בסידור השני, אותם ארבעה משולשים מותירים ריבוע אחד שצלעו $c$ , ולכן השטח שנשאר הוא $c^{2}$ .

בשני הסידורים, הריבוע הגדול זהה והשטח שנותר זהה. לכן $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . ההוכחה לא נסמכת על נוסחה - רק על שטחים שעוברים ממקום למקום.

$math/008-square root$ הוכחה שנייה: ארבעה משולשים בריבוע מסובב

מציירים ריבוע שצלעו $c$ , ובתוכו מסדרים ארבעה משולשים זהים כך שהיתרים שלהם הם צלעות הריבוע.

השטח של הריבוע הגדול הוא $c^{2}$ . אפשר לחשב אותו גם כסכום של שטחי ארבעה המשולשים יחד עם הריבוע הקטן הפנימי. שטח כל משולש הוא $\frac{ab}{2}$ , ולכן ארבעה משולשים נותנים $2 ab$ . הריבוע הקטן באמצע הוא ריבוע שצלעו $b - a$ , ולכן שטחו $(b - a)^{2} = b^{2} - 2 ab + a^{2}$ .

סכום הכול: $2 ab + a^{2} - 2 ab + b^{2} = a^{2} + b^{2}$ . אבל גם השטח הוא $c^{2}$ , ולכן $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . כך מקבלים את אותה תוצאה בדרך אלגברית-גאומטרית קצרה.

אימות ההוכחה במשולש $3, 4, 5$

שלב 1 מתוך 4

a = 3, b = 4, c = 5

בונים בדמיון ריבוע גדול שצלעו $a + b = 7$ .

שטח כולל = 7^{2} = 49

שיטת עבודה

לפני שמחשבים, עוצרים לשתי שאלות: האם זה משולש ישר זווית, ומי היתר. רק אחרי כן הנוסחה מקבלת משמעות. שאלה ראשונה מבטיחה שמשפט פיתגורס בכלל חל. שאלה שנייה מבטיחה שלא נציב ניצב במקום של היתר.

ארבעה שלבים לפתרון נכון

$math/029-angle$

מאתרים זווית ישרה

מחפשים סימון $9 0^{\circ}$ , ריבוע קטן בקודקוד, או נתון מילולי כמו 'ישר זווית', 'מאונך', 'אנכי לרצפה'.

אם אין זווית ישרה ידועה ואין דרך להסיק עליה, אי אפשר להשתמש במשפט בלי נימוק נוסף.

לעיתים בשאלת אוריינות הזווית הישרה נובעת מההקשר: קיר אנכי לרצפה, מטר אנכי לקרקע.

מסמנים יתר

היתר נמצא מול הזווית הישרה - לא מול הזווית הקטנה ולא מול הזווית הגדולה.

הוא הצלע שתיכנס לביטוי $c^{2}$ בנוסחה.

במשולש ישר זווית הוא תמיד הצלע הארוכה ביותר. אם הוא קצר מצלע אחרת, יש טעות בזיהוי.

$math/004-square$

משווים ריבועים

לא מחברים אורכים, ולא מחברים שטחים שונים.

מחברים את שטחי הריבועים שעל הניצבים ומקבלים שטח אחד שווה לריבוע על היתר.

אחרי הצבה, מבצעים את הריבועים בנפרד ורק אז מחברים.

בודקים סבירות ויחידות

התוצאה צריכה להיות ארוכה מכל ניצב אבל קצרה מסכום הניצבים.

אם נתונים בס"מ, גם התשובה בס"מ. שטח לא יכול להיות תשובה לחיפוש אורך.

תשובה שגדולה ממש מהמספרים שבשאלה היא לרוב סימן לטעות בריבועים.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות הבאות עוברות מהפשוט אל המורכב. בכל אחת רואים איך הקשר בין האורך לבין שטח הריבוע שעליו מוביל לתשובה. שימו לב איך כל שלב מסביר למה הנוסחה נראית כך.

$math/009-pythagoras$ דוגמה $1$ : המשולש הקלאסי $3, 4, 5$

שלב 1 מתוך 4

a = 3, b = 4, c = 5

מחשבים את שטחי הריבועים שעל שני הניצבים בנפרד.

3^{2} = 9, 4^{2} = 16

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

$5, 12, 13$

$25 + 144 = 169$ , ולכן $5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}$ . שלשה מוכרת ושימושית.

$8, 15, 17$

$64 + 225 = 289$ , ולכן $8^{2} + 1 5^{2} = 1 7^{2}$ . שלשה נוספת שכדאי לזכור.

ציור בלי סימון

אם הציור נראה ישר זווית אבל אין סימון או נתון מפורש, אין עדיין הצדקה להשתמש במשפט.

היתר אינו תלוי בכיוון

היתר הוא הצלע שמול $9 0^{\circ}$ , גם אם הציור מסובב או הפוך. הוא לא חייב להיות מצויר באלכסון על הדף.

ריבועי שטחים, לא אורכים

הביטוי $a^{2}$ מייצג שטח ריבוע שצלעו $a$ . הוא לא $a + a$ ולא $2 a$ .

חוקיות של פיתגורס

המשפט חל רק על משולש ישר זווית. במשולש חד-זווית או קהה-זווית הקשר אינו שוויון, אלא אי-שוויון.

טעויות נפוצות ובדיקות

הטעויות הבאות חוזרות בכל מבחן ומשרתות בדיוק את אותו מקור: דילוג על שלב הקריאה והמחשבה לפני ההצבה. הכרת הטעות מראש מונעת אותה.

ארבע טעויות עיקריות

חיבור אורכים

הטעות: לחשב $a + b$ כתשובה. התיקון: פיתגורס מחבר $a^{2} + b^{2}$ ואז מוציא שורש כדי לקבל אורך.

דוגמה: $3 + 4 = 7$ , אבל היתר הוא $5$ , ההפרש הוא $2$ .

יתר לא מסומן

הטעות: לבחור את הצלע שנראית ארוכה בציור. התיקון: היתר נמצא מול הזווית הישרה, גם אם הציור מסובב.

דוגמה: ציור מסובב אינו משנה את תפקידי הצלעות. הזווית הישרה היא הקובעת.

$math/008-square root$ שכחת השורש

הטעות: לעצור ב- $c^{2} = 100$ ולכתוב $100$ כתשובה. התיקון: $c = 100 = 10$ .

דוגמה: ריבוע אורך אינו אורך. $c^{2}$ הוא שטח, $c$ הוא אורך.

שימוש במשולש לא ישר זווית

הטעות: להציב מספרים בנוסחה גם אם המשולש אינו ישר זווית. התיקון: לבדוק קודם, ואם יש ספק לא להשתמש.

דוגמה: במשולש שצלעותיו $5, 6, 7$ , אין זווית ישרה: $25 + 36 = 61 \neq = 49$ .

הדרך הבטוחה היא לומר בקול: שני הניצבים יוצרים את הזווית הישרה, היתר מולה, ומחברים ריבועי אורכים.

בדיקת סבירות חובה

תשובה לפיתגורס צריכה להתאים למבנה המשולש. היתר ארוך מכל ניצב, אבל קצר מסכום הניצבים. כל תשובה שאינה עומדת בכך - שגויה.

בדקו שיש זווית ישרה במשולש שלפניכם.
ודאו שהיתר הוא הצלע שמול הזווית הישרה, ולא הצלע שנראית הכי ארוכה בציור.
השוו ריבועים ולא אורכים.
הוציאו שורש בסוף כדי להפוך $c^{2}$ ל- $c$ .
ודאו שהיתר ארוך מכל ניצב וקצר מסכום הניצבים.

מתי המשפט לא חל?

משפט פיתגורס תקף אך ורק כאשר ידוע שיש זווית ישרה. אם המשולש חד-זווית, קהה-זווית, או אינו משולש כלל, הקשר $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ אינו מתקיים.

במשולש חד-זווית, סכום ריבועי הצלעות הקטנות גדול מריבוע הגדולה: $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ .
במשולש קהה-זווית, הסכום קטן מריבוע הגדולה: $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ .
אם $a + b \leq c$ , המספרים בכלל לא יוצרים משולש.
המשפט ההפוך, שיילמד בהמשך הפרק, מראה איך מסיקים מהצלעות לזוויות.

סולם נשען על קיר

המרחק של תחתית הסולם מהקיר ( $a$ ) והגובה שאליו הסולם מגיע ( $b$ ) הם ניצבים. אורך הסולם עצמו הוא היתר $c$ .

אלכסון מסך טלוויזיה

כשמכריזים על מסך $55$ אינץ', מודדים את האלכסון. הרוחב והגובה של המסך הם ניצבים, האלכסון הוא היתר.

$GP S$ ומרחק במפה

כשמחשבים מרחק בין שתי נקודות במפה, ההפרשים בין הצירים הם ניצבים, והמרחק האווירי הוא היתר.

בנייה ובדיקת זווית ישרה

בנאים משתמשים בשלשת $3, 4, 5$ לוודא שקיר ופינה יוצרים זווית ישרה. אם המידות תואמות, הזווית מדויקת.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר מילולי. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה הרלוונטית, לבדיקת הסבירות ולמילון המושגים, ונסו שוב.

שאלה 1 מתוך 15

אם $c$ הוא היתר, איפה הוא מופיע בנוסחה?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של משפט פיתגורס והוכחה חזותית כבר מוכן.

פתחו תרגול