גרסת הדפסה | החוברת

פיתגורס, מרחב וגליל - הכל במקום אחד

הרעיון הגדול של הפרק

פיתגורס הוא כלי למדידת מרחקים כאשר מופיע משולש ישר זווית. הוא מתחיל בתוך משולש פשוט במישור, ממשיך לאלכסון תיבה במרחב, ומגיע אפילו עד לבדיקה אם משולש הוא ישר זווית בכלל. בגליל, הפריסה והנוסחאות עוזרות להבחין בין כיסוי מבחוץ (שטח) לבין מילוי מבפנים (נפח). הפרק כולו על שלושה גדלים: אורך, שטח, נפח - ואיך לזהות איזה מהם השאלה מבקשת.

אחרי הפרק הזה תכירו: שש שלשות פיתגוריות חשובות, ארבע נוסחאות עיקריות לגליל, את המשפט ההפוך לסיווג משולשים, את ההבדל בין אלכסון פאה לאלכסון גוף, ואת ההשפעות הריבועיות של שינוי רדיוס. כל אלה כלים שיוצקים בסיס לכיתה ט.

מפת מושגים

פיתגורס

a^{2} + b^{2} = c^{2}

במשולש ישר זווית. הקשר בין שטחי הריבועים שעל הצלעות.

משפט הפוך

בדיקה אם שלושה אורכים יוצרים משולש ישר זווית. שווה=

9 0^{\circ}

, גדול=חד, קטן=קהה.

שלשות

שש שלשות חשובות:

3, 4, 5

5, 12, 13

8, 15, 17

7, 24, 25

9, 40, 41

20, 21, 29

מישור

אלכסונים, מרחק בין נקודות, גובה במשולש שווה-שוקיים, צלע במעוין.

מרחב

אלכסון פאה ואלכסון גוף בתיבה.

d = a^{2} + b^{2} + h^{2}

שטחי גליל

מעטפת, בסיסים ושטח פנים.

M = 2 π r h

S = 2 π r (h + r)

נפח גליל

V = π r^{2} h

. שטח בסיס כפול גובה. ב-ליטרים: לחלק ב-

1000

שינוי ממדים

רדיוס פי

k

← נפח פי

k^{2}

. גובה פי

m

← נפח פי

m

. גורמים מוכפלים.

גרפי מילוי

h (t) = \frac{q}{π r ^{2}} t

. גרף קו ישר. שיפוע = קצב גובה.

איך בוחרים את הכלי הנכון?

בפרק הזה רוב הטעויות אינן מתחילות בחישוב, אלא בהחלטה מה בכלל מחפשים.

לכן לפני כל הצבה כתבו במילים: אני מחפש אורך, שטח, נפח, או זמן/קצב. הזיהוי הזה הוא חצי מהפתרון.

ארבע משפחות של גדלים

אורך \neq = שטח \neq = נפח \neq = קצב

כל הנוסחאות במקום אחד

נוסחאות מרכזיות של הפרק

נושא	נוסחה	שימוש
פיתגורס	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$	משולש ישר זווית
חישוב יתר	$c = a^{2} + b^{2}$	שני ניצבים נתונים
חישוב ניצב	$b = c^{2} - a^{2}$	יתר וניצב נתונים
מרחק בין נקודות	$d = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$	מערכת קואורדינטות
אלכסון מלבן	$d = a^{2} + b^{2}$	מלבן אורך-רוחב
אלכסון ריבוע	$d = s 2$	ריבוע צלע $s$
אלכסון פאה בתיבה	$f = a^{2} + b^{2}$	אלכסון על פאה אחת
אלכסון גוף בתיבה	$d = a^{2} + b^{2} + h^{2}$	אלכסון דרך פנים התיבה
אלכסון גוף בקובייה	$d = s 3$	קובייה צלע $s$
שטח מעטפת גליל	$M = 2 π r h$	כיסוי צד בלבד
שטח פנים גליל	$S = 2 π r (h + r) = 2 π r h + 2 π r^{2}$	כל פני הגליל
נפח גליל	$V = π r^{2} h$	מילוי וקיבולת
קצב גובה במכל	$v_{h} = \frac{q}{π r ^{2}}$	מקצב נפח קבוע

בחרו נוסחה לפי משמעות השאלה, לא לפי המילים האחרונות בלבד.

שלוש שאלות שמונעות בלבול

שאלות לפני כל הצבה

האם יש משולש ישר זווית?

אם כן, חפשו מי היתר ומי הניצבים. רק אז הציבו ב- $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

אלכסון מלבן, סולם, מרחק בין נקודות, אלכסון תיבה - כולם פיתגורס.

האם עוטפים מבחוץ?

אם צריך צבע, נייר, מדבקה או חומר לציפוי, מדובר בשטח מעטפת או בשטח פנים.

תווית על קופסת שימורים היא מעטפת בלבד; קופסה סגורה דורשת גם בסיסים.

האם ממלאים מבפנים?

אם השאלה עוסקת במים, קיבולת, נפח או זמן מילוי, השתמשו ב- $V = π r^{2} h$ .

מכל גלילי, כוס מדידה, או גרף גובה מים מול זמן.

בחירת הכלי היא חצי מהפתרון. אחרי הבחירה, החישוב הרבה יותר קצר.

טעויות נפוצות לסקירה אחרונה

מאסטר ליסט - טעויות נפוצות מכל המודולים

חיבור אורכים במקום ריבועים

פיתגורס מחבר ריבועי אורכים, לא אורכים. $3 + 4 = 7$ הוא לא היתר של $3, 4$ - היתר הוא $5$ .

שכחת השורש

אחרי שמחברים ריבועים, צריך להוציא שורש כדי לקבל אורך. $c^{2} = 100$ זה לא $c = 100$ .

החלפה בין רדיוס לקוטר

ב- $π r^{2}$ חייבים רדיוס. אם נתון קוטר, מחלקים ב- $2$ קודם.

ערבוב יחידות

אורך בס"מ. שטח בסמ"ר. נפח בסמ"ק. אם היחידה לא מתאימה - יש טעות.

בסיסים מיותרים או חסרים בגליל

פחית סגורה - $2$ בסיסים. פחית פתוחה - $1$ . צינור - $0$ . שאלו לפני הנוסחה.

סדר ריבוע ושורש

במציאת רדיוס מנפח: $V = π r^{2} h$ ← $r^{2} = V / (π h)$ ← $r = r^{2}$ . אסור לדלג על שורש.

אלכסון פאה במקום אלכסון גוף

אלכסון גוף משתמש בכל שלושת הממדים. אלכסון פאה רק בשניים. אם השאלה על אלכסון תיבה ('דרך הפנים') זה גוף.

השפעה ליניארית במקום ריבועית

רדיוס פי $2$ ← נפח פי $4$ , לא $2$ . גובה פי $2$ ← נפח פי $2$ . ההשפעות שונות.

דרך עבודה במבחן

אסטרטגיה לכל שאלה במבחן

סמנו נתונים

כתבו ליד כל מספר אם הוא אורך, שטח, נפח, קצב או זמן.
בפיתגורס, סמנו את היתר לפני שמתחילים לחשב.
בגליל, סמנו אם הנתון רדיוס או קוטר.

בחרו נוסחה

אל תבחרו לפי מילת מפתח בלבד.
בדקו אם מבקשים צלע חסרה, מעטפת, שטח פנים, נפח או גרף מילוי.
כתבו את הנוסחה במלואה לפני ההצבה.

בדקו יחידות

אורך בס"מ, שטח בסמ"ר, נפח בסמ"ק.
אם היחידה לא מתאימה, כנראה שהנוסחה או הפרשנות שגויות.
בעיות אוריינות לרוב במ' או במ"ק - בדקו המרה.

תרגיל מסכם $1$ : שילוב פיתגורס וגליל

תיבה 6 \times 8 \times 10 וגליל r = 3, h = 10

אלכסון גוף התיבה.
$d = 6^{2} + 8^{2} + 1 0^{2} = 200 = 102$
נפח הגליל.
$V = π \cdot 3^{2} \cdot 10 = 90 π$
שטח מעטפת הגליל.
$M = 2 π \cdot 3 \cdot 10 = 60 π$
האם הגליל נכנס לתיבה? אלכסון פאה $6 \times 8$ הוא $10$ , מספיק לקוטר $6$ .
$10 > 6 \Rightarrow נכנס$

תשובה:

אלכסוןתיבה m 102 \approx 14.14 / m, נפחגליל m 90 π / m, מעטפת m 60 π / m, והגלילנכנסלתיבה.

תרגיל מסכם $2$ : גרף מילוי

גליל r = 4 ס"מ, h = 20 ס"מ, q = 8 π סמ"ק/דקה

שטח בסיס.
$B = 16 π$
קצב גובה.
$v_{h} = \frac{8 π}{16 π} = 0.5 ס"מ/דקה$
נפח כולל.
$V = 16 π \cdot 20 = 320 π$
זמן מילוי מלא.
$t = \frac{320 π}{8 π} = 40 דקות$

תשובה:

קצבהגובההוא m 0.5 / m ס"מ/דקה.הזמןעדמילוימלאהוא m 40 / m דקות.נפח : m 320 π / m סמ"ק.

משחק חזרה לפרק

במשחק הבא מחברים את מושגי הפרק בשאלות בדרגות קושי שונות: פיתגורס, מרחקים, תיבה, שטחי גליל ונפח. בחרו קטגוריה ורמת קושי, וצברו נקודות. השחקן הטוב ביותר הוא לא בהכרח המהיר ביותר - אלא הזהיר ביותר בבדיקת סבירות.

שאלון סיום

השאלון המסכם בודק בחירת נוסחה, חישוב, יחידות והסבר מילולי. הוא מציג שאלות מכל המודולים בפרק. אם טעיתם בשאלה - חזרו למודול המקורי, סקרו את שיטת העבודה ובדיקת הסבירות, וחזרו לשאלון.

חלק ב׳ · בדיקת ידע

מבחן מסכם

קראו כל שאלה בעיון. בשאלות בחירה סמנו תשובה אחת, ובשאלות פתוחות כתבו תשובה מלאה במקום המיועד.

1.מהו משפט פיתגורס?

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ במשולש ישר זווית
$a + b = c$ בכל משולש
נוסחת נפח גליל
כלל לחישוב אחוזים

2.יתר במשולש ישר זווית הוא:

הצלע שמול הזווית הישרה
אחד הבסיסים
הצלע הקצרה ביותר
גובה הגליל

3.ניצבים $9$ ו- $12$ . מה היתר?

$15$
$21$
$21$
$3$

4.יתר $17$ , ניצב $8$ . מה הניצב השני?

$15$
$25$
$9$
$353$

5.כיצד בודקים אם $7, 24, 25$ הוא משולש ישר זווית?

$7^{2} + 2 4^{2} = 2 5^{2}$
$7 + 24 = 25$
$2 5^{2} + 2 4^{2} = 7^{2}$
$7 \cdot 24 = 25$

6.מהו אלכסון גוף של תיבה $2, 3, 6$ ?

$7$
$13$
$11$
$6$

7.מה מתקבל מפריסת מעטפת גליל?

מלבן
משולש
עיגול אחד
תיבה

8.מה נוסחת שטח מעטפת גליל?

$2 π r h$
$π r^{2} h$
$π r^{2}$
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

9.מה נוסחת נפח גליל?

$π r^{2} h$
$2 π r h$
$2 π r^{2}$
$2 π r$

10.אם רק הרדיוס מוכפל פי $2$ , הנפח:

גדל פי $4$
גדל פי $2$
לא משתנה
גדל פי $8$

11.בגרף מילוי גליל ישר בקצב קבוע, הגרף הוא:

קו ישר
מעגל
קו לא סדיר
תמיד יורד

12.מה ההבדל בין שטח לנפח?

שטח מודד כיסוי, נפח מודד מילוי
שניהם תמיד אותו דבר
נפח נמדד בסמ"ר
שטח נמדד בליטרים בלבד

13.במלבן שאורכו $16$ ס"מ ורוחבו $12$ ס"מ, מה אורך האלכסון?

$20$ ס"מ
$28$ ס"מ
$28$ ס"מ
$192$ סמ"ר

14.משולש שצלעותיו $4, 5, 6$ . מה נכון לגביו?

הוא חד זווית
הוא ישר זווית
הוא קהה זווית
אי אפשר לבנות ממנו משולש

15.בתיבה שממדיה $3, 4, 12$ , מה אורך אלכסון הגוף?

$13$
$5$
$19$
$19$

16.מה אורך מלבן המעטפת בפריסת גליל שרדיוסו $6$ ס"מ?

$12 π$ ס"מ
$6 π$ ס"מ
$36 π$ סמ"ר
$2 π h$

17.גליל סגור בעל $r = 5$ , $h = 8$ . מה שטח הפנים?

$130 π$ סמ"ר
$80 π$ סמ"ר
$40 π$ סמ"ר
$200 π$ סמ"ק

18.גליל בעל נפח $192 π$ סמ"ק ורדיוס $4$ ס"מ. מה גובהו?

$12$ ס"מ
$48$ ס"מ
$8$ ס"מ
$16$ ס"מ

19.אם מגדילים את הרדיוס פי $3$ ואת הגובה משאירים קבוע, פי כמה גדל נפח הגליל?

פי $9$
פי $3$
פי $6$
פי $27$

20.מכל גלילי ששטח בסיסו $40$ סמ"ר מתמלא בקצב $120$ סמ"ק לדקה. מה שיפוע גרף הגובה מול הזמן?

$3$ ס"מ לדקה
$160$ ס"מ לדקה
$80$ ס"מ לדקה
$\frac{1}{3}$ ס"מ לדקה

21.איזו תשובה היא בדיקת סבירות נכונה לחישוב יתר?

היתר צריך להיות ארוך מכל ניצב
היתר צריך להיות שווה לסכום הניצבים
היתר צריך להיות קצר מכל ניצב
אין דרך לבדוק סבירות

22.איזה זוג גדלים מתאים לשטח מעטפת גליל?

היקף בסיס וגובה
שטח בסיס וגובה
יתר וניצב
רק שני בסיסים

23.באיזה מצב לא נכון להשתמש בפיתגורס מיד?

כאשר אין נתון או נימוק שהמשולש ישר זווית
כאשר יש שני ניצבים ידועים
כאשר יש זווית של $9 0^{\circ}$
כאשר אלכסון מלבן הוא היתר

24.מהי הדרך הטובה ביותר להתחיל בעיה משולבת של תיבה וגליל?

לזהות אם מחפשים אורך, שטח או נפח
להציב מיד בכל הנוסחאות
להשתמש תמיד בנפח
לחבר את כל המספרים הנתונים