סיכום פרק 9

פיתגורס, מרחב וגליל - הכל במקום אחד

הרעיון הגדול של הפרק

פיתגורס הוא כלי למדידת מרחקים כאשר מופיע משולש ישר זווית. הוא מתחיל בתוך משולש פשוט במישור, ממשיך לאלכסון תיבה במרחב, ומגיע אפילו עד לבדיקה אם משולש הוא ישר זווית בכלל. בגליל, הפריסה והנוסחאות עוזרות להבחין בין כיסוי מבחוץ (שטח) לבין מילוי מבפנים (נפח). הפרק כולו על שלושה גדלים: אורך, שטח, נפח - ואיך לזהות איזה מהם השאלה מבקשת.

אחרי הפרק הזה תכירו: שש שלשות פיתגוריות חשובות, ארבע נוסחאות עיקריות לגליל, את המשפט ההפוך לסיווג משולשים, את ההבדל בין אלכסון פאה לאלכסון גוף, ואת ההשפעות הריבועיות של שינוי רדיוס. כל אלה כלים שיוצקים בסיס לכיתה ט.

מפת מושגים

$math/009-pythagoras$

פיתגורס

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$ במשולש ישר זווית. הקשר בין שטחי הריבועים שעל הצלעות.

$math/049-venn diagram$

משפט הפוך

בדיקה אם שלושה אורכים יוצרים משולש ישר זווית. שווה= $9 0^{\circ}$ , גדול=חד, קטן=קהה.

$math/025-numbers$

שלשות

שש שלשות חשובות: $3, 4, 5$ , $5, 12, 13$ , $8, 15, 17$ , $7, 24, 25$ , $9, 40, 41$ , $20, 21, 29$ .

$math/032-axis$

מישור

אלכסונים, מרחק בין נקודות, גובה במשולש שווה-שוקיים, צלע במעוין.

$math/015-cube$

מרחב

אלכסון פאה ואלכסון גוף בתיבה. $d = a^{2} + b^{2} + h^{2}$ .

$math/022-cylinder$

שטחי גליל

מעטפת, בסיסים ושטח פנים. $M = 2 π r h$ , $S = 2 π r (h + r)$ .

נפח גליל

$V = π r^{2} h$ . שטח בסיס כפול גובה. ב-ליטרים: לחלק ב- $1000$ .

שינוי ממדים

רדיוס פי $k$ ← נפח פי $k^{2}$ . גובה פי $m$ ← נפח פי $m$ . גורמים מוכפלים.

$math/048-graphs$

גרפי מילוי

$h (t) = \frac{q}{π r ^{2}} t$ . גרף קו ישר. שיפוע = קצב גובה.

איך בוחרים את הכלי הנכון?

בפרק הזה רוב הטעויות אינן מתחילות בחישוב, אלא בהחלטה מה בכלל מחפשים.

אם מחפשים אורך בתוך משולש ישר זווית, פיתגורס מתאים. אם מחפשים אלכסון בתיבה, פיתגורס בנוסחה המקוצרת. אם מחפשים כיסוי של גליל, צריך שטח (מעטפת, פנים מלא, או חלקי). אם מחפשים מילוי או קיבולת, צריך נפח. אם מחפשים קצב או זמן, צריך גרף ליניארי $h (t)$ .

לכן לפני כל הצבה כתבו במילים: אני מחפש אורך, שטח, נפח, או זמן/קצב. הזיהוי הזה הוא חצי מהפתרון.

ארבע משפחות של גדלים

אורך \neq = שטח \neq = נפח \neq = קצב

$math/030-equation$ כל הנוסחאות במקום אחד

נוסחאות מרכזיות של הפרק

נושא	נוסחה	שימוש
פיתגורס	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$	משולש ישר זווית
חישוב יתר	$c = a^{2} + b^{2}$	שני ניצבים נתונים
חישוב ניצב	$b = c^{2} - a^{2}$	יתר וניצב נתונים
מרחק בין נקודות	$d = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$	מערכת קואורדינטות
אלכסון מלבן	$d = a^{2} + b^{2}$	מלבן אורך-רוחב
אלכסון ריבוע	$d = s 2$	ריבוע צלע $s$
אלכסון פאה בתיבה	$f = a^{2} + b^{2}$	אלכסון על פאה אחת
אלכסון גוף בתיבה	$d = a^{2} + b^{2} + h^{2}$	אלכסון דרך פנים התיבה
אלכסון גוף בקובייה	$d = s 3$	קובייה צלע $s$
שטח מעטפת גליל	$M = 2 π r h$	כיסוי צד בלבד
שטח פנים גליל	$S = 2 π r (h + r) = 2 π r h + 2 π r^{2}$	כל פני הגליל
נפח גליל	$V = π r^{2} h$	מילוי וקיבולת
קצב גובה במכל	$v_{h} = \frac{q}{π r ^{2}}$	מקצב נפח קבוע

* בחרו נוסחה לפי משמעות השאלה, לא לפי המילים האחרונות בלבד.

שלוש שאלות שמונעות בלבול

שאלות לפני כל הצבה

האם יש משולש ישר זווית?

אם כן, חפשו מי היתר ומי הניצבים. רק אז הציבו ב- $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

דוגמה: אלכסון מלבן, סולם, מרחק בין נקודות, אלכסון תיבה - כולם פיתגורס.

האם עוטפים מבחוץ?

אם צריך צבע, נייר, מדבקה או חומר לציפוי, מדובר בשטח מעטפת או בשטח פנים.

דוגמה: תווית על קופסת שימורים היא מעטפת בלבד; קופסה סגורה דורשת גם בסיסים.

האם ממלאים מבפנים?

אם השאלה עוסקת במים, קיבולת, נפח או זמן מילוי, השתמשו ב- $V = π r^{2} h$ .

דוגמה: מכל גלילי, כוס מדידה, או גרף גובה מים מול זמן.

בחירת הכלי היא חצי מהפתרון. אחרי הבחירה, החישוב הרבה יותר קצר.

טעויות נפוצות לסקירה אחרונה

מאסטר ליסט - טעויות נפוצות מכל המודולים

חיבור אורכים במקום ריבועים

פיתגורס מחבר ריבועי אורכים, לא אורכים. $3 + 4 = 7$ הוא לא היתר של $3, 4$ - היתר הוא $5$ .

$math/008-square root$

שכחת השורש

אחרי שמחברים ריבועים, צריך להוציא שורש כדי לקבל אורך. $c^{2} = 100$ זה לא $c = 100$ .

$math/006-circle$

החלפה בין רדיוס לקוטר

ב- $π r^{2}$ חייבים רדיוס. אם נתון קוטר, מחלקים ב- $2$ קודם.

ערבוב יחידות

אורך בס"מ. שטח בסמ"ר. נפח בסמ"ק. אם היחידה לא מתאימה - יש טעות.

בסיסים מיותרים או חסרים בגליל

פחית סגורה - $2$ בסיסים. פחית פתוחה - $1$ . צינור - $0$ . שאלו לפני הנוסחה.

סדר ריבוע ושורש

במציאת רדיוס מנפח: $V = π r^{2} h$ ← $r^{2} = V / (π h)$ ← $r = r^{2}$ . אסור לדלג על שורש.

אלכסון פאה במקום אלכסון גוף

אלכסון גוף משתמש בכל שלושת הממדים. אלכסון פאה רק בשניים. אם השאלה על אלכסון תיבה ('דרך הפנים') זה גוף.

השפעה ליניארית במקום ריבועית

רדיוס פי $2$ ← נפח פי $4$ , לא $2$ . גובה פי $2$ ← נפח פי $2$ . ההשפעות שונות.

דרך עבודה במבחן

אסטרטגיה לכל שאלה במבחן

$math/027-notepad$

סמנו נתונים

כתבו ליד כל מספר אם הוא אורך, שטח, נפח, קצב או זמן.

בפיתגורס, סמנו את היתר לפני שמתחילים לחשב.

בגליל, סמנו אם הנתון רדיוס או קוטר.

$math/045-maths$

בחרו נוסחה

אל תבחרו לפי מילת מפתח בלבד.

בדקו אם מבקשים צלע חסרה, מעטפת, שטח פנים, נפח או גרף מילוי.

כתבו את הנוסחה במלואה לפני ההצבה.

בדקו יחידות

אורך בס"מ, שטח בסמ"ר, נפח בסמ"ק.

אם היחידה לא מתאימה, כנראה שהנוסחה או הפרשנות שגויות.

בעיות אוריינות לרוב במ' או במ"ק - בדקו המרה.

תרגיל מסכם $1$ : שילוב פיתגורס וגליל

שלב 1 מתוך 4

תיבה 6 \times 8 \times 10 וגליל r = 3, h = 10

אלכסון גוף התיבה.

d = 6^{2} + 8^{2} + 1 0^{2} = 200 = 102

תרגיל מסכם $2$ : גרף מילוי

שלב 1 מתוך 4

גליל r = 4 ס"מ, h = 20 ס"מ, q = 8 π סמ"ק/דקה

שטח בסיס.

B = 16 π

משחק חזרה לפרק

במשחק הבא מחברים את מושגי הפרק בשאלות בדרגות קושי שונות: פיתגורס, מרחקים, תיבה, שטחי גליל ונפח. בחרו קטגוריה ורמת קושי, וצברו נקודות. השחקן הטוב ביותר הוא לא בהכרח המהיר ביותר - אלא הזהיר ביותר בבדיקת סבירות.

טוען סימולציה...

שאלון סיום

השאלון המסכם בודק בחירת נוסחה, חישוב, יחידות והסבר מילולי. הוא מציג שאלות מכל המודולים בפרק. אם טעיתם בשאלה - חזרו למודול המקורי, סקרו את שיטת העבודה ובדיקת הסבירות, וחזרו לשאלון.

שאלה 1 מתוך 24

באיזה מצב לא נכון להשתמש בפיתגורס מיד?

תרגול מתקדם

מוכנים למבחן המסכם המלא?

עברו לחידון המורחב של הפרק לתרגול מקיף עם 193 שאלות מכל נושאי הלימוד.

למבחן המסכם

סיכום פרק 9

הרעיון הגדול של הפרק

מפת מושגים

פיתגורס

משפט הפוך

שלשות

מישור

מרחב

שטחי גליל

נפח גליל

שינוי ממדים

גרפי מילוי

איך בוחרים את הכלי הנכון?

כל הנוסחאות במקום אחד

נוסחאות מרכזיות של הפרק

שלוש שאלות שמונעות בלבול

שאלות לפני כל הצבה

האם יש משולש ישר זווית?

האם עוטפים מבחוץ?

האם ממלאים מבפנים?

טעויות נפוצות לסקירה אחרונה

מאסטר ליסט - טעויות נפוצות מכל המודולים

חיבור אורכים במקום ריבועים

שכחת השורש

החלפה בין רדיוס לקוטר

ערבוב יחידות

בסיסים מיותרים או חסרים בגליל

סדר ריבוע ושורש

אלכסון פאה במקום אלכסון גוף

השפעה ליניארית במקום ריבועית

דרך עבודה במבחן

אסטרטגיה לכל שאלה במבחן

סמנו נתונים

בחרו נוסחה

בדקו יחידות

תרגיל מסכם 1: שילוב פיתגורס וגליל

תרגיל מסכם 2: גרף מילוי

משחק חזרה לפרק

שאלון סיום

באיזה מצב לא נכון להשתמש בפיתגורס מיד?