שורשים כהכנה לפיתגורס

לפעמים מוצאים קודם את הריבוע של האורך

טוען סימולציה...

$math/009-pythagoras$ מריבוע אורך לאורך

אם בחישוב נקבל

c^{2} = 65

, עדיין לא מצאנו את האורך. האורך הוא

c = 65

, ואפשר לאמוד אותו בין

8

ל-

9

. במודול הזה נתאמן על הפעולה הזו, ונראה איך היא תופיע שוב ושוב בפרק פיתגורס.

ריבועי אורכים

חישובים רבים בגאומטריה מתחילים בערכים כמו

a^{2}

, ולכן בחישוב מרחקים מקבלים בדרך כלל

c^{2}

ולא

c

ישירות.

שורש

כדי לחזור לאורך עצמו משתמשים בשורש. לכן השורש הוא הפעולה האחרונה בכל בעיית פיתגורס.

סבירות

האומדן עוזר לבדוק אם אורך שקיבלנו הגיוני. במשולש ישר זווית, היתר תמיד בין הניצב הארוך לבין סכום שני הניצבים.

שלשות מיוחדות

כמה שילובי אורכים נותנים שלשות שלמות, כמו

3, 4, 5

. שווה לזכור אותן כדי לחסוך חישוב.

$math/031-summation$ שורש אחרי סכום ריבועים

בפרק פיתגורס נחשב קשר בין ריבועי צלעות במשולש ישר זווית. כאן מתאמנים על הפעולה האחרונה: אחרי שיש ריבוע של אורך, חוזרים לאורך בעזרת שורש. זוהי הפעולה היחידה שאליה הפרק שלנו מכין במלואה.

הכנה לנוסחת היתר

c = a^{2} + b^{2}

$math/026-reason$ מה לומדים כאן ומה לא

זה עדיין אינו שיעור מלא במשפט פיתגורס. לא נוכיח כאן את המשפט ולא נפתור בעיות גאומטריות מורכבות.

המטרה היא לשלוט בפעולה שתופיע שוב ושוב בפרק הבא: מחשבים ריבועים, מחברים, ואז משתמשים בשורש כדי לקבל אורך. בפרק פיתגורס נראה גם איך המשפט עובד גם בכיוון ההפוך - לבדוק האם משולש הוא ישר זווית.

משולש הכנה לפיתגורס

כאשר מחשבים $c^{2}$ , השורש מחזיר אותנו אל אורך הצלע $c$ .

סדר עבודה בטוח לחישוב יתר

ריבועים

מעלים כל אורך נתון בריבוע לפני שמחברים.

למשל $6^{2} = 36$ ו- $8^{2} = 64$ .

אסור להחליף סדר: לא לחבר ואז לרבע.

$math/031-summation$

חיבור

מחברים את ריבועי האורכים.

התוצאה היא עדיין ריבוע של אורך, לא אורך.

במשולש $3, 4$ : $9 + 16 = 25$ .

$math/030-equation$

שורש ואומדן

מוציאים שורש כדי לקבל אורך.

אם השורש אינו שלם, משאירים ערך מדויק.

מוסיפים אומדן בין שני שלמים.

יחידות וסבירות

אם $c^{2}$ בסמ"ר, $c$ בס"מ.

היתר ארוך יותר מכל ניצב לבד.

היתר קצר יותר מסכום הניצבים.

דוגמה ראשונה: שורש שלם

כשהמספרים מצליחים, השורש יוצא שלם. הדוגמה הקלאסית: משולש עם ניצבים $6$ ו- $8$ . זוהי שלשת פיתגוריות מוכרת, וכדאי לזכור אותה.

$math/002-calculator$ חישוב $6^{2} + 8^{2}$

שלב 1 מתוך 3

6^{2} + 8^{2}

מחשבים את הריבועים.

6^{2} = 36, 8^{2} = 64

יחידות וסבירות

אם $c^{2}$ נמדד ביחידות שטח, אז $c$ נמדד ביחידות אורך. זו בדיקה פשוטה שמונעת להשאיר $c^{2}$ כתשובה לאורך. בנוסף, יש בדיקת סבירות גאומטרית: היתר במשולש ישר זווית גדול יותר מכל ניצב לבד, אבל קטן יותר מסכום שני הניצבים.

אל תעצרו בריבוע האורך

כאשר התוצאה היא $c^{2} = 65$ , התשובה לאורך היא $c = 65$ .

בדקו מה השאלה מבקשת: אורך או ריבוע אורך.
אם מבקשים אורך, השתמשו בשורש.
אמדו בין ריבועים סמוכים כדי לבדוק סבירות.
אם $c^{2}$ בסמ"ר, התשובה $c$ בס"מ.

מדויק, מקורב ועם יחידות - תשובה מלאה

בבעיות אורך יש שלוש שכבות בתשובה טובה. הערך המדויק אומר מה החישוב באמת נתן, האומדן אומר האם הגודל הגיוני, והיחידות אומרות לאיזה סוג מדידה התשובה שייכת. תשובה שחסרה אחת מאלו לוקה בחסר.

איך כותבים תשובה מלאה

נתון חישובי	תשובה מדויקת	בדיקת סבירות
$c^{2} = 100$	$c = 10$ ס"מ	שורש שלם, קל לבדוק כי $1 0^{2} = 100$
$c^{2} = 74$	$c = 74$ ס"מ	$8 < 74 < 9$ , לכן האורך מעט יותר מ- $8.5$
$c^{2} = 145$	$c = 145$ ס"מ	$12 < 145 < 13$ , לכן תשובה כמו $30$ אינה סבירה
$c^{2} = 625$	$c = 25$ ס"מ	שורש שלם, $2 5^{2} = 625$
$c^{2} = 200$	$c = 200 = 102$ ס"מ	$14 < 200 < 15$ , קרוב ל- $14.14$

* אם היחידות של $c^{2}$ הן סמ"ר, היחידות של $c$ הן ס"מ. אם היחידות של $c^{2}$ הן מ"ר, היחידות של $c$ הן מטר.

$math/009-pythagoras$ שלשות פיתגוריות מוכרות

שלשת פיתגוריות היא קבוצה של שלושה מספרים שלמים שמקיימים את משוואת פיתגורס: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . כשמופיעים בבעיה מספרים אלו, השורש יוצא שלם והחישוב מהיר. כדאי לזכור את הראשונות שבהן.

שלשות פיתגוריות נפוצות

שלשה	ניצבים	יתר	אימות
$3, 4, 5$	$3$ ו- $4$	$5$	$9 + 16 = 25 = 5^{2}$
$5, 12, 13$	$5$ ו- $12$	$13$	$25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$
$8, 15, 17$	$8$ ו- $15$	$17$	$64 + 225 = 289 = 1 7^{2}$
$7, 24, 25$	$7$ ו- $24$	$25$	$49 + 576 = 625 = 2 5^{2}$
$9, 40, 41$	$9$ ו- $40$	$41$	$81 + 1600 = 1681 = 4 1^{2}$
$6, 8, 10$	$6$ ו- $8$	$10$	פעמיים $3, 4, 5$
$9, 12, 15$	$9$ ו- $12$	$15$	שלוש פעמים $3, 4, 5$

* כפולה של שלשה היא גם שלשה. למשל פעמיים $3, 4, 5$ זה $6, 8, 10$ .

זיהוי שלשה - חיסכון בזמן

אם רואים בבעיה ניצבים $3$ ו- $4$ , היתר $5$ - אין צורך בחישוב. אם רואים $5$ ו- $12$ , היתר $13$ . הזיהוי המהיר מקצר את הזמן.

לפני חישוב, בדקו אם המספרים מתאימים לשלשה ידועה.
בדקו גם אם הם כפולה של שלשה ידועה (למשל $9, 12$ זה $3 \cdot (3, 4)) .$
אם הם שלשה - היתר נקבע ישר.
אם לא - בצעו חישוב מלא: ריבוע, חיבור, שורש.

$math/007-triangle$ חישוב צלע חסרה: גם ניצב

פיתגורס לא רק מחשב את היתר. אם יודעים את היתר ואת אחד הניצבים, אפשר למצוא את הניצב השני. הנוסחה הופכת: $b = c^{2} - a^{2}$ . השורש יופיע כאן בדיוק כמו בחישוב היתר.

חישוב ניצב חסר

b = c^{2} - a^{2}

בדיקת סבירות גאומטרית

במשולש ישר זווית, היתר תמיד הצלע הארוכה ביותר. לא יכול להיות שהיתר קצר יותר מאחד הניצבים. הבדיקה הזאת תופסת חישובים שגויים מהר.

כללי סבירות מהירים

היתר ארוך מכל ניצב

במשולש עם ניצבים $5$ ו- $12$ , היתר חייב להיות גדול מ- $12$ . תשובה כמו $10$ אינה סבירה.

היתר קצר מסכום הניצבים

באותו משולש, היתר חייב להיות קטן מ- $5 + 12 = 17$ . תשובה כמו $20$ אינה סבירה.

ניצב קצר מהיתר

אם יודעים יתר $13$ וניצב $12$ , הניצב השני קטן מ- $13$ . תשובה כמו $25$ אינה סבירה.

אומדן מקדים

אם $c^{2} = 74$ , האומדן $74 \approx 8.5$ מאפשר לדחות תשובות כמו $30$ מיד.

שאלה 1 מתוך 17

מהו היתר במשולש ישר זווית עם ניצבים $5$ ו- $12$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שורשים כהכנה לפיתגורס כבר מוכן.

פתחו תרגול

שורשים כהכנה לפיתגורס

מריבוע אורך לאורך

שורש אחרי סכום ריבועים

מה לומדים כאן ומה לא

סדר עבודה בטוח לחישוב יתר

ריבועים

חיבור

שורש ואומדן

יחידות וסבירות

דוגמה ראשונה: שורש שלם

חישוב 62+82​

יחידות וסבירות

אל תעצרו בריבוע האורך

מדויק, מקורב ועם יחידות - תשובה מלאה

איך כותבים תשובה מלאה

שלשות פיתגוריות מוכרות

שלשות פיתגוריות נפוצות

זיהוי שלשה - חיסכון בזמן

חישוב צלע חסרה: גם ניצב

בדיקת סבירות גאומטרית

כללי סבירות מהירים

היתר ארוך מכל ניצב

היתר קצר מסכום הניצבים

ניצב קצר מהיתר

אומדן מקדים

מהו היתר במשולש ישר זווית עם ניצבים 5 ו-12?