מהו שני פיתגורסים באותה תיבה?

פיתגורס במרחב ותיבה

אלכסון פאה ואלכסון גוף - שני שלבים של פיתגורס

$math/015-cube$ מה נלמד כאן?

בתיבה משתמשים בפיתגורס פעמיים: פעם אחת על פאה, ופעם שנייה במרחב. ההבחנה בין אלכסון פאה לאלכסון גוף היא מרכז השיעור. בסיום נלמד שאלכסון גוף מקבלים גם בנוסחה מקוצרת אחת:

d = a^{2} + b^{2} + c^{2}

אלכסון פאה

נחשב אלכסון שנמצא על מלבן אחד של התיבה - אחת הפאות. זוהי בעיה דו-ממדית רגילה בתוך מרחב תלת-ממדי.

אלכסון גוף

נחשב אלכסון שעובר בתוך התיבה בין שני קודקודים מנוגדים. הוא לא נמצא על אף פאה - הוא עובר דרך פנים התיבה.

שני שלבי פיתגורס

נבין שאלכסון גוף מתקבל מפיתגורס פעמיים: פעם בפאה (לקבל אלכסון פאה), ופעם נוספת במשולש מרחבי שהוא והגובה יוצרים.

נוסחה מקוצרת

נראה איך שני השלבים מתחברים לנוסחה אחת:

d = a^{2} + b^{2} + h^{2}

, ולמה היא נכונה.

טוען סימולציה...

אנטומיה של תיבה

תיבה מלבנית, ידועה גם כקובייה מוארכת או ארגז מלבני, מורכבת מ- $6$ פאות מלבניות, $12$ מקצועות (קצוות) ו- $8$ קודקודים. לכל פאה יש אלכסון משלה - $12$ אלכסוני פאות בסך הכל. בנוסף יש $4$ אלכסוני גוף, שכל אחד מחבר שני קודקודים מנוגדים ועובר דרך מרכז התיבה. כל ארבעת אלכסוני הגוף שווים באורכם.

הבנה מרכזית

אלכסון גוף אינו נמצא על אחת הפאות, ולכן אי אפשר לחשב אותו ישירות מתוך שתי צלעות של פאה. קודם מוצאים אלכסון פאה (תוצר ביניים), ואז משתמשים בו כניצב במשולש מרחבי שהיתר שלו הוא אלכסון הגוף.

שני פיתגורסים באותה תיבה

השלב הראשון מתרחש על בסיס התיבה או על פאה מלבנית.

אלכסון הפאה והגובה (המקצוע האנכי) יוצרים משולש ישר זווית חדש בתוך התיבה. אלכסון הפאה הוא ניצב, הגובה הוא ניצב שני, והיתר של המשולש הזה הוא אלכסון הגוף. הזווית הישרה כאן נובעת מעצם זה שמקצוע אנכי מאונך לכל מה שעל בסיס.

מכאן מתקבלת גם הנוסחה המקוצרת $d = a^{2} + b^{2} + h^{2}$ : סוכמים את שלושת ריבועי המקצועות, ומוציאים שורש.

אלכסון פאה (שלב $1)$

f = a^{2} + b^{2}

אלכסון גוף (שלב $2$ או נוסחה מקוצרת)

d = f^{2} + h^{2} = a^{2} + b^{2} + h^{2}

$math/008-square root$ הוכחה מהירה לנוסחה המקוצרת

מתחילים מחישוב אלכסון פאה: $f^{2} = a^{2} + b^{2}$ . אחר כך מחשבים אלכסון גוף בעזרת אלכסון הפאה והגובה: $d^{2} = f^{2} + h^{2}$ . מציבים את הראשון בשני: $d^{2} = (a^{2} + b^{2}) + h^{2} = a^{2} + b^{2} + h^{2}$ . לכן $d = a^{2} + b^{2} + h^{2}$ .

המסקנה: אפשר לדלג על שלב הביניים ולחשב ישירות את אלכסון הגוף בנוסחה אחת. אבל בבעיות שדורשות גם את אלכסון הפאה (למשל לדעת אם חבילה שטוחה נכנסת מתחת לכיסוי), עדיין צריך את שני השלבים.

אלכסונים בתיבה - השוואה

סוג אלכסון	מקום	נוסחה	מקרה פרטי בקובייה צלע $s$
אלכסון פאה (קטן)	על פאה אחת	$f = a^{2} + b^{2}$	$f = s 2$
אלכסון גוף (גדול)	דרך פנים התיבה	$d = a^{2} + b^{2} + h^{2}$	$d = s 3$

* בקובייה (תיבה שכל מקצועותיה שווים), אלכסון פאה הוא $s 2$ ואלכסון גוף הוא $s 3$ . שווה לזכור.

שיטת עבודה

כדי לא להתבלבל, נותנים שם לכל אלכסון. אלכסון פאה שייך למלבן אחד; אלכסון גוף עובר דרך פנים התיבה. אם השאלה אומרת 'אלכסון', צריך להבין מההקשר אם הכוונה לפאה או לגוף.

ארבעה שלבי פתרון

$math/004-square$

אלכסון פאה (שלב $1)$

בוחרים פאה מלבנית.

מחשבים אלכסון בעזרת שתי צלעות הפאה.

$f = a^{2} + b^{2}$ - שני ניצבים על אותה פאה.

משולש מרחבי (שלב $2)$

אלכסון הפאה והגובה הם ניצבים במשולש חדש.

אלכסון הגוף הוא היתר.

$d = f^{2} + h^{2}$ .

$math/030-equation$

נוסחה מקוצרת

אם רק אלכסון הגוף מבוקש, אפשר לדלג: $d = a^{2} + b^{2} + h^{2}$ .

סוכמים שלושה ריבועים, מוציאים שורש.

במבחן: לא חובה לעבור שתיים, אבל מומלץ לכתוב את שני השלבים.

בדיקה וסבירות

אלכסון הגוף ארוך מאלכסון הפאה.

אלכסון הגוף ארוך מכל מקצוע של התיבה.

אלכסון הגוף קצר מסכום שלושת המקצועות.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות משתמשות במספרים מוכרים כדי שהרעיון המרחבי יהיה ברור.

$math/009-pythagoras$ דוגמה $1$ : תיבה $3 \times 4 \times 12$

שלב 1 מתוך 3

3, 4, 12

אלכסון הפאה התחתונה (שצלעיה $3$ ו- $4$ ). זו שלשה $3, 4, 5$ .

f = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5

דוגמה $2$ : נוסחה מקוצרת

שלב 1 מתוך 2

2, 3, 6

מחברים ריבועי שלושת הממדים.

d^{2} = 2^{2} + 3^{2} + 6^{2} = 4 + 9 + 36 = 49

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

אלכסון פאה בתיבה $6 \times 8 \times 10$

הפאה $6 \times 8$ נותנת אלכסון $10$ (שלשה $3, 4, 5) .$

אלכסון גוף באותה תיבה

$d = 36 + 64 + 100 = 200 = 102$ .

השוואה

אלכסון גוף תמיד ארוך מאלכסון פאה שבאותה תיבה.

יחידה

אלכסון תיבה הוא אורך, ולכן היחידות הן ס"מ או מ', לא סמ"ר.

תיבה $1 \times 2 \times 2$

$d = 1 + 4 + 4 = 9 = 3$ . אלכסון שלם!

קובייה צלע $10$

אלכסון גוף: $103 \approx 17.32$ .

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

עוצרים בפאה

הטעות: למצוא אלכסון פאה ולחשוב שזה אלכסון הגוף. התיקון: אלכסון פאה הוא רק שלב ביניים. לאלכסון גוף צריך פיתגורס שני.

דוגמה: בתיבה $3, 4, 12$ , אלכסון הפאה $5$ - אבל אלכסון הגוף $13$ .

מחברים מקצועות

הטעות: לחשב $3 + 4 + 12 = 19$ כ'אלכסון'. התיקון: מחברים ריבועים ומוציאים שורש.

דוגמה: אלכסון הגוף הוא $13$ , לא $19$ . $19$ הוא סכום הצלעות, לא אלכסון.

פאה לא נכונה

הטעות: לבחור פאה שגויה לאלכסון הפאה. התיקון: יש שלושה סוגי פאות שונים בתיבה, וכל אחד נותן אלכסון פאה אחר.

דוגמה: בתיבה $6, 8, 10$ , אלכסון פאה $6 \times 8$ שונה מאלכסון פאה $8 \times 10$ .

ערבוב בין נוסחאות

הטעות: לערבב את הנוסחה המקוצרת עם הנוסחה לפאה. התיקון: שלושה ממדים נותנים שלושה ריבועים בתוך השורש.

דוגמה: אלכסון פאה $a^{2} + b^{2}$ , אלכסון גוף $a^{2} + b^{2} + h^{2}$ .

בדיקת סבירות

אלכסון הגוף צריך להיות ארוך מכל מקצוע וארוך מאלכסון פאה. אם הוא קצר מהם, יש טעות.

חשבו או העריכו אלכסון פאה כשלב ביניים.
השוו את אלכסון הגוף למקצוע הגדול: הוא חייב להיות ארוך יותר.
השוו את אלכסון הגוף לאלכסון הפאה: הוא חייב להיות ארוך יותר.
כתבו יחידת אורך - אותה היחידה של המקצועות.

אריזה ומשלוחים

האם מקל סקי באורך $170$ ס"מ נכנס לקופסה $80 \times 100 \times 130$ ? צריך לחשב את אלכסון הגוף ולהשוות. $6400 + 10000 + 16900 = 33300 \approx 182.5$ ס"מ - כן, נכנס.

ארכיטקטורה ובנייה

אדריכלים מחשבים את האורך המרבי של מוט אנכי או צינור שיכול להיכנס באלכסון לחדר. אלכסון הגוף של החדר הוא הגבול.

$math/039-measurement$

תכנון ספריות וריהוט

כשמעבירים שולחן או ארון לדירה חדשה, מחשבים אם הוא נכנס באלכסון דרך דלת או חלון. האלכסון של פתח הדלת הוא הגבול הראשון, אלכסון החדר אחר כך.

ניווט בתוך מבנה

במחסנים גדולים מחשבים את המסלול הקצר ביותר בין שתי נקודות (לרוב באותו גובה - אלכסון פאה), או בין נקודות בגבהים שונים (אלכסון גוף).

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

שאלה 1 מתוך 14

איזו טעות נפוצה?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של פיתגורס במרחב ותיבה כבר מוכן.

פתחו תרגול

פיתגורס במרחב ותיבה

מה נלמד כאן?

אנטומיה של תיבה

הבנה מרכזית

שני פיתגורסים באותה תיבה

הוכחה מהירה לנוסחה המקוצרת

אלכסונים בתיבה - השוואה

שיטת עבודה

ארבעה שלבי פתרון

אלכסון פאה (שלב 1)

משולש מרחבי (שלב 2)

נוסחה מקוצרת

בדיקה וסבירות

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: תיבה 3×4×12

דוגמה 2: נוסחה מקוצרת

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

אלכסון פאה בתיבה 6×8×10

אלכסון גוף באותה תיבה

השוואה

יחידה

תיבה 1×2×2

קובייה צלע 10

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

עוצרים בפאה

מחברים מקצועות

פאה לא נכונה

ערבוב בין נוסחאות

בדיקת סבירות

אריזה ומשלוחים

ארכיטקטורה ובנייה

תכנון ספריות וריהוט

ניווט בתוך מבנה

בדקו את עצמכם

איזו טעות נפוצה?

פיתגורס במרחב ותיבה

מעבר לדף התרגול של המודול

$math/015-cube$ מה נלמד כאן?

$math/008-square root$ הוכחה מהירה לנוסחה המקוצרת

אלכסון פאה (שלב $1)$

משולש מרחבי (שלב $2)$

$math/009-pythagoras$ דוגמה $1$ : תיבה $3 \times 4 \times 12$

דוגמה $2$ : נוסחה מקוצרת

אלכסון פאה בתיבה $6 \times 8 \times 10$

תיבה $1 \times 2 \times 2$

קובייה צלע $10$