מהו הסדר הוא מפת התאמה?

אם \triangle ABC\sim\triangle DEF, אז האותיות באותו מקום מתאימות זו לזו. כל יחס דמיון חייב להיבנות באותו כיוון. למשל, מהמשולש הראשון לשני: \frac=\frac=\frac. אם באחד השברים מחליפים כיוון, הפרופורציה נשברת. לפני כל חישוב צלע חסרה, כתבו שורת התאמה. זה חוסך את רוב הטעויות.

צלעות מתאימות ויחס דמיון

הסדר שבו כותבים את הדמיון קובע את היחסים

מה בונים במודול?

אחרי שהוכחנו דמיון, העבודה המדויקת מתחילה: צריך לדעת איזו צלע מתאימה לאיזו צלע. הסדר בכתיבה

△ A B C \sim △ D E F

אינו קישוט, הוא מפה של ההתאמה.

לקרוא סדר דמיון

נזהה מתוך הכתיבה איזה קודקוד וצלע מתאימים.

לבנות יחסי צלעות

נכתוב פרופורציות רק מצלעות מתאימות.

לשמור כיוון יחס

נבחר כיוון אחד ונשמור עליו בכל השברים.

לזהות ערבוב

נאתר מצבים שבהם צלעות לא מתאימות הושוו בטעות.

השאלה המרכזית

בכתיבה $△ A B C \sim △ D E F$ , ההתאמה היא $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ . לכן $A B$ מתאים ל- $D E$ , $B C$ מתאים ל- $E F$ , ו- $A C$ מתאים ל- $D F$ .

צלעות מתאימות בשני משולשים דומים עם חצים בין זוגות צלעות — החצים בין הצלעות עוזרים לזכור: היחס נבנה רק בין צלעות מתאימות.

טוען סימולציה...

הסדר הוא מפת התאמה

אם $△ A B C \sim △ D E F$ , אז האותיות באותו מקום מתאימות זו לזו.

כל יחס דמיון חייב להיבנות באותו כיוון. למשל, מהמשולש הראשון לשני: $\frac{D E}{A B} = \frac{E F}{B C} = \frac{D F}{A C}$ . אם באחד השברים מחליפים כיוון, הפרופורציה נשברת.

$\frac{D E}{A B} = \frac{E F}{B C} = \frac{D F}{A C} = k$

לפני כל חישוב צלע חסרה, כתבו שורת התאמה. זה חוסך את רוב הטעויות.

יחסי צלעות מתאימות

\frac{D E}{A B} = \frac{E F}{B C} = \frac{D F}{A C} = k

קריאת התאמה מתוך כתיבה

במשולש הראשון	מתאים ל	יחס מהראשון לשני
$A B$	$D E$	$\frac{D E}{A B}$
$B C$	$E F$	$\frac{E F}{B C}$
$A C$	$D F$	$\frac{D F}{A C}$

* הטבלה נכונה עבור הכתיבה $△ A B C \sim △ D E F$ . סדר אחר יוצר התאמה אחרת.

איך בודקים בפועל

כאן הופכים את ההגדרה לשיטת עבודה. בכל שאלה נרשום את הנתונים, נבחר את היחס המתאים, ונבדוק שהתוצאה מתאימה גם לציור וגם להיגיון המתמטי.

שיטת עבודה

אות מול אות

האות הראשונה מתאימה לאות הראשונה.

האות השנייה לשנייה, והשלישית לשלישית.

צלע בין שני קודקודים

$A B$ היא הצלע שבין $A$ ו- $B$ .

לכן היא מתאימה לצלע שבין הקודקודים המתאימים.

אותו כיוון

אם בחרתם שני חלקי ראשון, המשיכו כך בכל השברים.

ערבוב כיוונים הוא סימן אזהרה.

דוגמה פתורה: מה מתאים ל- $B C$ ?

שלב 1 מתוך 2

△ A B C \sim △ D E F

מי מתאים ל- $B$ ול- $C$ ?

דוגמאות שמחזקות את הכלל

לפני תרגול עצמאי כדאי לראות כמה מצבים קרובים. הדוגמאות מדגישות את הגבול בין כלל נכון, קיצור דרך מותר, וטעות שנראית משכנעת.

$math/017-ruler$ שלוש נקודות עוגן

יחס נכון

אם $△ R S T \sim △ X Y Z$ , אז $R S \leftrightarrow X Y$ , $S T \leftrightarrow Y Z$ , $R T \leftrightarrow X Z$ .

יחס מעורב

הכתיבה $\frac{X Y}{R S} = \frac{S T}{Y Z}$ מערבבת כיוונים. השבר השני צריך להיות $\frac{Y Z}{S T}$ באותו כיוון.

סימון לפני חישוב

שורת התאמה קצרה לפני פרופורציה מונעת הצבת $x$ מול הצלע הלא נכונה.

טעויות נפוצות

טעויות בדמיון כמעט תמיד נובעות מהתאמה שגויה, כיוון יחס שגוי או בלבול בין אורך לשטח. לכן נזהה את הטעות ונצמיד לה בדיקת נגד.

טעות מול תיקון

הטעות

לבחור $P Q$ כי היא מופיעה ליד $P$ , במקום לפי שני הקודקודים.

דוגמה: החישוב נראה מסודר, אבל הוא נשען על התאמה או כלל לא נכונים.

התיקון

חוזרים להגדרה: התאמה, זוויות, יחס צלעות, ואז בוחרים פעולה.

דוגמה: אם מדובר בשטח, בודקים $k^{2}$ . אם מדובר באורך, בודקים $k$ .

בגיאומטריה, דרך נכונה חשובה בדיוק כמו תשובה מספרית.

בדיקת עקביות מהירה

בכל פרופורציה סמנו חץ קטן מעל כל שבר: ראשון לשני או שני לראשון. אם אחד החצים הפוך, צריך לתקן לפני שפותרים.

כתבו את סדר הקודקודים.
רשמו שלושה זוגות צלעות מתאימות.
בנו את כל השברים באותו כיוון.

שאלה לחשיבה

למה סדר האותיות חשוב יותר משרטוט שנראה ברור?

שרטוט יכול להיות לא מדויק או מסובב. סדר האותיות הוא ההצהרה המתמטית על ההתאמה, ולכן ממנו בונים את היחסים.

במבחנים, הרבה טעויות בדמיון אינן טעויות חישוב אלא טעויות התאמה. לכן תלמיד שמסמן התאמה לפני חישוב פותר לאט יותר בשלב הראשון, אבל מהר ומדויק יותר בסוף.

מבנה ההתאמה: שיטה צעד-אחרי-צעד

ההתאמה בין מצולעים דומים אינה ניחוש. היא קוראת מהסדר שבו רושמים את שמות המצולעים בהצהרת הדמיון. בסעיפים הבאים נפתח שיטה מסודרת לבניית פרופורציה נכונה גם בלי ציור.

קריאת התאמה מהצהרת דמיון

כשכותבים $△ A B C \sim △ D E F$ , הסדר A↔D, B↔E, C↔F מחויב. הצלעות המתאימות הן הצלעות מול קודקודים מתאימים.

הצלע מול $A$ היא $B C$ (הקטע שמחבר את שני הקודקודים האחרים). הצלע מול $D$ היא $E F$ . לכן $B C$ מתאימה ל- $E F$ . באופן דומה: $A B$ מול $C$ ו- $D E$ מול $F$ , ולכן $A B \leftrightarrow D E$ . ולבסוף $C A \leftrightarrow F D$ .

$\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D} = k$

אם הסדר נכתב נכון, אפשר לבנות פרופורציה אוטומטית בלי לבחון ציור.

התאמה מ-{m}\triangle ABC \sim \triangle DEF{/m}

במשולש ראשון	במשולש שני	סוג התאמה
קודקוד $A$	קודקוד $D$	קודקוד-קודקוד
קודקוד $B$	קודקוד $E$	קודקוד-קודקוד
קודקוד $C$	קודקוד $F$	קודקוד-קודקוד
צלע $A B$	צלע $D E$	צלע-צלע
צלע $B C$	צלע $E F$	צלע-צלע
צלע $C A$	צלע $F D$	צלע-צלע
זווית $∠ A$	זווית $∠ D$	זווית-זווית
זווית $∠ B$	זווית $∠ E$	זווית-זווית
זווית $∠ C$	זווית $∠ F$	זווית-זווית

דוגמה פתורה: בניית כל הפרופורציות

שלב 1 מתוך 4

△ P QR \sim △ S T U, P Q = 4, QR = 6, R P = 8, S T = 12

מסמנים את ההתאמה לפי הסדר: $P \leftrightarrow S, Q \leftrightarrow T, R \leftrightarrow U$ .

P \leftrightarrow S, Q \leftrightarrow T, R \leftrightarrow U

התאמות נפוצות וטעויות התאמה

התאמה נכונה לפי סדר

$△ A B C \sim △ X Y Z$ פירושו $A \leftrightarrow X, B \leftrightarrow Y, C \leftrightarrow Z$ . הצלעות המתאימות: $A B \leftrightarrow X Y, B C \leftrightarrow Y Z, C A \leftrightarrow Z X$ .

טעות: לפי קרבה בציור

תלמידים מתאימים לעיתים את הצלע הקצרה לקצרה והארוכה לארוכה. זה לא תקף - חייבים לעקוב אחר סדר הקודקודים בהצהרת הדמיון.

התאמה הפוכה

$△ A B C \sim △ X Y Z$ שונה מ- $△ A B C \sim △ Y X Z$ . בשנייה $A \leftrightarrow Y$ ולא $A \leftrightarrow X$ .

כשאין הצהרת דמיון מפורשת

אם נתון שהמשולשים דומים אך לא נכתב הסדר, יש לחפש זוגות זוויות שוות ולבנות התאמה מהן.

סדר נכון של פתרון בעיית פרופורציה

1. רשמו התאמה

כתבו במפורש מי מתאים למי. השתמשו בחצים או טבלה.

דוגמה: $A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F$

2. חשבו $k$

מצאו זוג צלעות שאתם יודעים את שניהן וחשבו את $k$ . שמרו על כיוון.

דוגמה: $k = \frac{D E}{A B} = 2$

3. הכפילו או חלקו

השתמשו ב- $k$ למציאת אורכים חסרים. הכפלה - מהקטן לגדול. חלוקה - מהגדול לקטן.

דוגמה: $E F = k \cdot B C = 2 \cdot 7 = 14$

4. בדקו עקביות

בדקו עם זוג צלעות נוסף שאתם יודעים את שניהן. אם $k$ זהה - הפתרון נכון.

דוגמה: $\frac{F D}{C A} = 2$ - מאשש את הפתרון.

כלל הזהב לפרופורציה

כל פרופורציה שאתם בונים חייבת לקיים: שני השברים שווים זה לזה וגם בכיוון אחיד (שניהם מ-1 ל-2, או שניהם מ-2 ל-1). חוסר עקביות הוא מקור הטעויות העיקרי בפרופורציה.

שאלה לחשיבה

האם התאמת קודקודים יחידה? כלומר, האם רק סדר אחד 'נכון'?

במשולש שווה-צלעות יש שש התאמות שונות שכולן נכונות (כי כל הקודקודים סימטריים). במשולש כללי יש רק התאמה אחת נכונה - זו המתאימה זוויות שוות לזוויות שוות. בהצהרת דמיון, סדר האותיות קובע את ההתאמה היחידה.

טריק זיכרון: 'אצבעות-לאצבעות'

כשרואים $△ A B C \sim △ D E F$ , דמיינו את האותיות כאצבעות:

אצבע ראשונה: $A$ מימין, $D$ משמאל - מתאימים.
אצבע שנייה: $B$ מימין, $E$ משמאל - מתאימים.
אצבע שלישית: $C$ מימין, $F$ משמאל - מתאימים.
צלע מול אצבע = צלע מתאימה.

במצולעים בעלי

n

צלעות, הצהרת דמיון

P_{1} P_{2} \dots P_{n} \sim Q_{1} Q_{2} \dots Q_{n}

קובעת

n

זוגות קודקודים מתאימים,

n

זוגות צלעות מתאימות, ו-

n

זוגות זוויות מתאימות. כל היחסים בין הצלעות המתאימות חייבים להיות שווים. רעיון זה ממוקם בלב הגיאומטריה החישובית, ולעיתים משמש לבניית פונטים, ובהדפסות תלת-ממדיות לסקלות שונות.

שאלה 1 מתוך 22

מה הכי כדאי לכתוב לפני פרופורציה?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של צלעות מתאימות ויחס דמיון כבר מוכן.

פתחו תרגול

צלעות מתאימות ויחס דמיון

מה בונים במודול?

השאלה המרכזית

הסדר הוא מפת התאמה

קריאת התאמה מתוך כתיבה

איך בודקים בפועל

שיטת עבודה

אות מול אות

צלע בין שני קודקודים

אותו כיוון

דוגמה פתורה: מה מתאים ל-BC?

דוגמאות שמחזקות את הכלל

שלוש נקודות עוגן

יחס נכון

יחס מעורב

סימון לפני חישוב

טעויות נפוצות

טעות מול תיקון

הטעות

התיקון

בדיקת עקביות מהירה

שאלה לחשיבה

מעבר למבחן

מבנה ההתאמה: שיטה צעד-אחרי-צעד

קריאת התאמה מהצהרת דמיון

התאמה מ-{m}\triangle ABC \sim \triangle DEF{/m}

דוגמה פתורה: בניית כל הפרופורציות

התאמות נפוצות וטעויות התאמה

התאמה נכונה לפי סדר

טעות: לפי קרבה בציור

התאמה הפוכה

כשאין הצהרת דמיון מפורשת

סדר נכון של פתרון בעיית פרופורציה

1. רשמו התאמה

2. חשבו k

3. הכפילו או חלקו

4. בדקו עקביות

כלל הזהב לפרופורציה

שאלה לחשיבה

טריק זיכרון: 'אצבעות-לאצבעות'

התאמה ב-{m}n{/m} ממדים

מה הכי כדאי לכתוב לפני פרופורציה?