סיכום פרק 6

דמיון משולשים ודמיון מצולעים

מפת הפרק

בפרק הזה למדנו לראות צורה דרך התאמה ויחס. הסיכום מחבר בין ההגדרה, משפט ז.ז, חישוב אורכים, יחס שטחים, דמיון מצולעים ויישומים במציאות.

מהו דמיון

אותה צורה, לא בהכרח אותו גודל

דמיון משולשים לפי זוויות

שתי זוויות מספיקות כדי לשמור על הצורה

צלעות מתאימות ויחס דמיון

הסדר שבו כותבים את הדמיון קובע את היחסים

מציאת אורכים חסרים

פרופורציה נכונה לפני אלגברה

יחס היקפים ויחס שטחים

אורך גדל פי

k

, שטח גדל פי

k^{2}

דמיון מצולעים

במצולעים צריך גם זוויות וגם יחס צלעות

שימושים בדמיון

מדידה עקיפה, צללים, מפות ודגמים

חפיפה מול דמיון

מתי הצורה נשמרת ומתי גם הגודל נשמר

מהו דמיון

אותה צורה, לא בהכרח אותו גודל

הכיוון חשוב: יחס מהקטן לגדול יכול להיות $3$ , ואילו היחס מהגדול לקטן יהיה $\frac{1}{3}$ .

$math/029-angle$

דמיון משולשים לפי זוויות

שתי זוויות מספיקות כדי לשמור על הצורה

אחרי שמוכיחים דמיון לפי ז.ז, עוברים לצלעות מתאימות וליחסי דמיון.

צלעות מתאימות ויחס דמיון

הסדר שבו כותבים את הדמיון קובע את היחסים

לפני כל חישוב צלע חסרה, כתבו שורת התאמה. זה חוסך את רוב הטעויות.

$math/030-equation$

מציאת אורכים חסרים

פרופורציה נכונה לפני אלגברה

בסוף בודקים אם $x$ גדול או קטן כפי שמצופה לפי יחס הדמיון.

$math/004-square$

יחס היקפים ויחס שטחים

אורך גדל פי $k$ , שטח גדל פי $k^{2}$

אם $k = 3$ , ההיקף גדל פי $3$ , אבל השטח גדל פי $9$ .

$math/014-geometry$

דמיון מצולעים

במצולעים צריך גם זוויות וגם יחס צלעות

כל הריבועים דומים כי כל הזוויות ישרות וכל יחס צלעות מתאים שווה. לא כל המלבנים דומים.

שימושים בדמיון

מדידה עקיפה, צללים, מפות ודגמים

ההיגיון חשוב: אם לעץ צל ארוך יותר באותו זמן, גם הגובה שלו אמור להיות גדול יותר.

חפיפה מול דמיון

מתי הצורה נשמרת ומתי גם הגודל נשמר

כאשר $k \neq = 1$ , הצורות יכולות להיות דומות אבל אינן חופפות.

ארבעת הכלים המרכזיים

כמעט כל שאלה בפרק נפתרת בעזרת ארבעה כלים: התאמה, משפט ז.ז, פרופורציה, והבחנה בין אורך לשטח.

ארגז כלים

התאמה

קודקוד לקודקוד.

צלע לצלע מתאימה.

ז.ז במשולשים

שתי זוויות מספיקות.

הסדר חשוב.

פרופורציה

שברים באותו כיוון.

כפל בהצלבה כשצריך.

שטח

אורך והיקף: $k$ .

שטח: $k^{2}$ .

שלוש הבחנות שאסור לערבב

דמיון מול חפיפה

דמיון שומר צורה. חפיפה שומרת גם גודל.

דוגמה: $k = 1$ אומר חפיפה אפשרית.

משולשים מול מצולעים

במשולשים ז.ז מספיק. במצולעים בדרך כלל בודקים גם צלעות.

דוגמה: כל המלבנים שווי זוויות, אבל לא כולם דומים.

היקף מול שטח

היקף משתנה כמו $k$ . שטח משתנה כמו $k^{2}$ .

דוגמה: $k = 3$ נותן שטח פי $9$ .

$math/025-numbers$ כל הנוסחאות במקום אחד

טבלה זו אוספת את כל הנוסחאות החשובות מהפרק. שננו אותה לפני המבחן.

כל נוסחאות הדמיון בפרק

נושא	נוסחה	מתי משתמשים?
יחס דמיון	$k = \frac{אורך בצורה השנייה}{אורך בצורה הראשונה}$	מציאת יחס מצלעות מתאימות נתונות
צלע חסרה	$צלע חדשה = k \cdot צלע מקבילה במקור$	מציאת אורך חסר אחרי שיש $k$
פרופורציה כללית	$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a d = b c$	פתרון פרופורציה לכל אורך
יחס היקפים	$\frac{P ^{'}}{P} = k$	מצוא היקף בצורה דומה
יחס שטחים	$\frac{S ^{'}}{S} = k^{2}$	מציאת שטח, או מציאת $k$ משטחים
ז.ז למשולשים	שתי זוויות שוות $\Rightarrow$ דמיון	הוכחת דמיון משולשים
תנאי דמיון מצולעים	זוויות שוות וגם צלעות פרופורציוניות	הוכחת דמיון רביעיון או יותר
חפיפה כדמיון	$k = 1$	זיהוי שדמיון הוא גם חפיפה

טעויות נפוצות לזכור לפני המבחן

הרשימה הזו אוספת את הטעויות שתלמידים עושים שוב ושוב במבחני דמיון. עברו עליה לפני המבחן.

שמונה טעויות אופייניות במבחנים

התאמה שגויה

להתאים את הצלע הקצרה לקצרה רק כי הן 'נראות באותו מקום'. תמיד עוקבים אחר סדר הקודקודים בהצהרת הדמיון.

כיוון יחס הפוך

לחשב $k = \frac{4}{12}$ כשהכיוון הנכון הוא $k = \frac{12}{4}$ . תמיד שואלים: 'מי גדול?' ובהתאם בוחרים את הכיוון.

חיבור במקום הכפלה

כשמהצלע $6$ הופכים לצלע $9$ , היחס הוא $\frac{9}{6} = 1.5$ , לא ההפרש $3$ .

$k$ במקום $k^{2}$ לשטח

הטעות הכי שכיחה: כשמכפילים אורך פי $3$ , השטח גדל פי $9$ לא פי $3$ .

אסיון בז.ז במצולעים

ז.ז עובד במשולשים בלבד. ברביעיון או יותר חייבים לבדוק גם צלעות.

השתמש בצלע אחת לקיבוע

מציאת $k$ מזוג צלעות אחד וכתיבה שהמשולשים דומים, בלי לבדוק שאר הזוגות.

להניח ששני מלבנים תמיד דומים

שני ריבועים תמיד דומים (כל הצלעות שוות, כל הזוויות $90°$ ), אבל שני מלבנים לא תמיד דומים: דרושה גם שוויון של יחס הצלעות. לדוגמה, מלבן $2 \times 5$ ומלבן $3 \times 4$ אינם דומים.

המרת יחידות חסרה

במפות, להעלות את הקנ"מ בריבוע לחישוב שטח: $1 : 100$ פירושו שטח קטן פי $10, 000$ .

אסטרטגיה למבחן: סדר פעולות

כשתפגשו שאלת דמיון במבחן, פעלו לפי הסדר הקבוע. הוא יחסוך זמן ויפחית טעויות.

חמישה צעדים לפתרון שאלת דמיון

1. זיהוי

האם משולש או מצולע?

האם יש קו מקביל לצלע?

האם יש זוויות שוות בנתונים?

2. התאמה

סמן קודקוד-קודקוד.

סמן צלע-צלע.

סמן זווית-זווית.

$3. k$

מצא יחס מזוג ידוע.

שמור על כיוון.

המר ליחס פשוט.

4. פתרון

אורך: $\times k$ .

שטח: $\times k^{2}$ .

פרופורציה ובהצלבה.

5. בדיקה

תאם להגדלה/הקטנה?

יחידות נכונות?

תוצאה הגיונית?

תרגול מסכם: בעיות לדוגמה

ארבע בעיות מסכמות מהסוגים השכיחים במבחני המעבר. נסו לפתור לפני שמסתכלים בפתרון.

בעיה 1: ז.ז וחישוב צלע

ב- △ A B C, ∠ A = 5 0^{\circ}, ∠ B = 7 0^{\circ} . ב- △ D E F, ∠ D = 5 0^{\circ}, ∠ E = 7 0^{\circ}, D E = 12, A B = 8. אם B C = 10, מצאו E F .

בעיה 2: יחס שטחים

שני משולשים דומים. שטח האחד 24, שטח השני 54. מצאו את k .

בעיה 3: בעיית צל

אדם בגובה 1.8 מ’ מטיל צל באורך 2.4 מ’. עץ ליד מטיל צל באורך 8 מ’. גובה העץ?

בעיה 4: דמיון או חפיפה?

△ A B C : A B = 5, B C = 12, C A = 13.△ P QR : P Q = 10, QR = 24, R P = 26. סווגו את הקשר.

כללי הברזל של פרק 6

1. משולש - ז.ז מספיק. 2. מצולע - זוויות וגם צלעות. 3. אורך והיקף -

\times k

. שטח -

\times k^{2} .4. k = 1

פירושו חפיפה. 5. בכל פתרון מתחילים מהתאמה.

מה לקחת איתך למבחן

ביום המבחן, תזכרו את הדברים האלה:

הצהרת דמיון קובעת התאמה: $△ A B C \sim △ D E F \Rightarrow A \leftrightarrow D$ .
ז.ז עובד רק במשולשים.
$k^{2}$ בכל חישוב שטח.
המרת יחידות לפני התשובה הסופית.
שאלת בדיקת סבירות: 'התשובה הגיונית?'

משחק חזרה לפרק

המשחק הבא מחזיר אתכם לכל חלקי הפרק. נסו להתחיל משאלות קלות ואז לעלות לרמות הקשות יותר.

טוען סימולציה...

חידון מסכם

החידון משלב שאלות מכל המודולים. חלק מהשאלות דורשות לזהות מושג, וחלק דורשות לבחור יחס או פרופורציה מתאימים.

שאלה 1 מתוך 34

איזה נתון אינו מספיק לדמיון משולשים?

תרגול מתקדם

מוכנים למבחן המסכם המלא?

עברו לחידון המורחב של הפרק לתרגול מקיף עם 210 שאלות מכל נושאי הלימוד.

למבחן המסכם