צלעות וזוויות מתאימות

הסדר בשם המשולש הוא מפה להתאמות

מה נבנה כאן

אחרי שמזהים חפיפה, צריך לדעת מי מתאים למי. סדר האותיות בכתיבת המשולשים הוא הכלי המתמטי שמונע בלבול. במודול הזה נלמד לקרוא סדר נכון, להסיק שוויונות מהתאמה, ולתקן טעויות נפוצות.

התאמת קודקודים

נקרא את סדר השמות ונזהה קודקודים מתאימים.

התאמת צלעות

נסיק אילו צלעות שוות מתוך הסימון.

התאמת זוויות

נזהה זוויות מתאימות ולא נבחר לפי מראה הציור בלבד.

מסקנות חוקיות

נבין מתי מותר להסיק שוויון אחרי חפיפה.

כתיבה נכונה

נלמד לכתוב נימוקים פורמליים לפי הסדר הנכון.

למה הסדר באותיות חשוב כל כך

אפשר לחשוב על שם החפיפה כעל פעולת "מיפוי" של משולש על השני. כל אות בשם הראשון מצביעה על אות במשולש השני שמייצגת את הקודקוד שאליו הוא נופל. אם נשנה את הסדר, נקבל מיפוי אחר לגמרי - וזה כבר חפיפה אחרת.

דוגמאות לשמות שונים, מיפויים שונים

$△ A B C ≅ △ D E F$

$A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ . מהכתיבה ניתן לכתוב $A B = D E$ , $∠ A = ∠ D$ .

$△ A B C ≅ △ F E D$

התאמה אחרת! $A \leftrightarrow F$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow D$ . כעת $A B = F E$ (לא DE).

$△ A B C ≅ △ E F D$

מיפוי שלישי: $A \leftrightarrow E$ , $B \leftrightarrow F$ , $C \leftrightarrow D$ . כל סדר מקודד התאמה אחרת.

סדר השמות קובע את ההתאמה

התאמה היא המפה של כל נימוק חפיפה. לפני שמשווים צלעות או זוויות, כותבים מי מתאים למי לפי סדר שמות המשולשים, ולא לפי מה שנראה קרוב בציור. ציורים יכולים להיות מסובבים, משוקפים או לא מדויקים - הסדר באותיות הוא מקור האמת.

סדר השמות קובע את ההתאמה

אם כתוב $△ A B C ≅ △ D E F$ , אז הקודקודים נקראים לפי אותו מיקום בשם.

$A$ (במקום הראשון) מתאים ל- $D$ (במקום הראשון). $B$ (השני) מתאים ל- $E$ (השני). $C$ (השלישי) מתאים ל- $F$ (השלישי). מכאן שכל החלקים המתאימים שווים.

$A B = D E, B C = E F, A C = D F$

התאמה נכונה היא הבסיס לכל נימוק חפיפה בהמשך. בלעדיה, גם הציור הכי מדויק לא יציל אותנו מטעות.

תמונה הממחישה התאמת קודקודים צלעות וזוויות במשולשים חופפים לפי סדר האותיות — סדר הקודקודים בשם המשולש הוא מפת ההתאמה: ראשון לראשון, שני לשני, שלישי לשלישי.

התאמה לפי קודקודים

הקודקודים באותו מיקום בשם מתאימים זה לזה.

מהסימון לשוויונות

△ A B C ≅ △ D E F ⟹ A B = D E, B C = E F, A C = D F, ∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E, ∠ C = ∠ F

כיצד קוראים צלע מתוך השם

צלע במשולש מסומנת בשתי אותיות - שני הקודקודים שלה. כדי למצוא צלע מתאימה, מסתכלים על שתי הצלעות לפי המיקום של האותיות בשם החפיפה.

מיפוי צלעות לפי מיקום

צלע במשולש הראשון	מיקום האותיות	צלע מתאימה במשולש השני
$A B$	ראשונה ושנייה	$D E$ (ראשונה ושנייה)
$B C$	שנייה ושלישית	$E F$ (שנייה ושלישית)
$A C$	ראשונה ושלישית	$D F$ (ראשונה ושלישית)
$C A$	שלישית וראשונה	$F D$ (שלישית וראשונה) = $D F$
$B A$	שנייה וראשונה	$E D = D E$ (סדר אותיות לא משנה לאורך)

* סדר האותיות בצלע אינו משנה את האורך, אבל המיקום בשם המשולש כן משנה את ההתאמה.

טבלת התאמה מתוך הסימון

חלק במשולש הראשון	החלק המתאים	מה אפשר להסיק
$A$ (קודקוד)	$D$	זוויות מתאימות שוות: $∠ A = ∠ D$
$B$ (קודקוד)	$E$	$∠ B = ∠ E$
$C$ (קודקוד)	$F$	$∠ C = ∠ F$
$A B$ (צלע)	$D E$	צלעות מתאימות שוות: $A B = D E$
$B C$ (צלע)	$E F$	$B C = E F$
$A C$ (צלע)	$D F$	$A C = D F$

* הטבלה נבנית מהסדר, לא מהמיקום בציור.

טבלת התאמה היא כלי עבודה, לא קישוט

בכל שאלה עם חפיפה, טבלת התאמה קטנה חוסכת טעויות. היא אומרת אילו קודקודים, צלעות וזוויות אפשר להשוות, ומה אסור להסיק מהציור בלבד.

קודקוד ראשון מתאים לקודקוד ראשון.
צלע בין ראשון לשלישי מתאימה לצלע בין ראשון לשלישי.
אחרי שהוכחנו חפיפה, ורק אז, משתמשים בחלקים מתאימים שווים.
אסור להשתמש בחלקים מתאימים שווים כדי להוכיח חפיפה - זו הליכה בלולאה.

המשפט המרכזי - חלקים מתאימים שווים

המשפט הבא הוא הכלי השימושי ביותר במשפטי חפיפה. הוא הופך נתון של חפיפה לשש מסקנות מיידיות (שלוש זוויות, שלוש צלעות), שאפשר להשתמש בהן בהמשך הוכחות.

משפט יסוד: במשולשים חופפים, החלקים המתאימים שווים בהתאמה. אם $△ A B C ≅ △ D E F$ , אז:

שלוש הזוויות המתאימות שוות: $∠ A = ∠ D$ , $∠ B = ∠ E$ , $∠ C = ∠ F$ .
שלוש הצלעות המתאימות שוות: $A B = D E$ , $B C = E F$ , $A C = D F$ .

הזהרה - כיוון השימוש במשפט

הסדר חשוב: קודם מוכיחים חפיפה (לפי משפט צ.ז.צ, ז.צ.ז או צ.צ.צ), ואז משתמשים בחלקים מתאימים שווים. אסור להשתמש בכיוון ההפוך - לקחת חלקים מתאימים שווים כדי להוכיח חפיפה. זה כמו לבנות בניין מהחלון, לא מהיסודות.

שלב 1: זהו שלוש מתאמות בעזרת הנתונים.
שלב 2: הוכיחו חפיפה לפי משפט מתאים (צ.ז.צ, ז.צ.ז או צ.צ.צ).
שלב 3: רק אז השתמשו בחלקים מתאימים שווים להוכיח דברים נוספים.

דוגמה - מוצאים צלע מתאימה

בדוגמה הזו נתרגל קריאה מדויקת של סימון חפיפה. מיקום האות בשם המשולש קובע את ההתאמה, ולכן צלע בין האות השנייה לשלישית מתאימה לצלע בין האות השנייה לשלישית בשם השני.

$math/017-ruler$ דוגמה 1 - מוצאים צלע מתאימה

שלב 1 מתוך 2

נתון

△ R S T ≅ △ X Y Z

. איזו צלע מתאימה ל-

S T

קוראים את ההתאמה לפי סדר האותיות.

R \leftrightarrow X, S \leftrightarrow Y, T \leftrightarrow Z

דוגמה 2 - מסיקים שש שוויונות מחפיפה

שלב 1 מתוך 5

נתון

△ A B C ≅ △ K L M

. רשמו את כל ששת השוויונות שנובעים מהחפיפה.

קוראים את ההתאמה לפי סדר.

A \leftrightarrow K, B \leftrightarrow L, C \leftrightarrow M

שיטת שלושת השלבים להתאמה

מסמנים מיקום

אות ראשונה מול אות ראשונה.

אות שנייה מול אות שנייה.

אות שלישית מול אות שלישית.

בונים זוגות

קודקוד לקודקוד.

צלע לפי שני הקודקודים שלה.

זווית לפי הקודקוד.

בודקים ציור

הציור עוזר, אבל הסימון קובע.

אם יש סתירה, חוזרים לשמות.

סמנו על הציור צלעות בצבעים תואמים.

התאמות נפוצות

זווית

$∠ B$ מתאימה ל- $∠ E$ כאשר $B$ ו- $E$ באותו מיקום בשם.

צלע

$A C$ מתאימה ל- $D F$ כי אלו הצלעות בין הקודקוד הראשון לשלישי.

שוויון

אחרי התאמה נכונה אפשר לכתוב שוויון בין החלקים המתאימים.

זווית פנימית

$∠ A B C$ (או $∠ B$ ) מתאימה ל- $∠ D E F$ (או $∠ E) .$

סדר הפוך

$B A = E D$ זהה ל- $A B = D E$ - אורך הצלע לא תלוי בסדר האותיות.

צלעות באותו צבע

במבחנים מסמנים צלעות מתאימות באותו סימון (קו אחד / שני קווים / שלושה).

$math/030-equation$ תרגול מדורג

תרגול 1 - זווית מתאימה (קל)

בסיסי

נתון $△ A B C ≅ △ P QR$ . איזו זווית מתאימה ל- $∠ B$ ?

△ A B C ≅ △ P QR

תרגול 2 - צלע מתאימה (בינוני)

בינוני

נתון $△ L M N ≅ △ T U V$ . איזו צלע מתאימה ל- $L N$ ?

△ L M N ≅ △ T U V

תרגול 3 - מתקנים התאמה שגויה (קשה)

מאתגר

תלמיד כתב: אם $△ A B C ≅ △ P QR$ , אז $A C = QR$ . מצאו את הטעות ותקנו אותה.

△ A B C ≅ △ P QR

טעויות נפוצות בהתאמה

כאן חשוב לעצור לפני שמסיקים שוויון. אם ההתאמה הראשונה שגויה, כל שוויון שנכתב אחריה עלול להיות שגוי גם אם החישוב נראה מסודר.

מפת טעויות נפוצות

טעות	למה זו טעות	תיקון
להסתכל על הציור ולא על הסימון	ציור יכול להיות מסובב או משוקף, הסימון תמיד מדויק	קודם קוראים את שם החפיפה ואז מסתכלים על הציור
לתפוס רק את האות האחרונה	התאמה תקינה דורשת התאמה של כל שלוש האותיות	לכתוב טבלת התאמה לכל שלושת הקודקודים
לשנות סדר אותיות בשם	סדר אחר משמע התאמה אחרת	לשמור על הסדר המקורי שניתן בנתונים
להשתמש בחלקים מתאימים שווים להוכחת חפיפה	זו לולאה לוגית	להוכיח חפיפה ראשית, ואז להשתמש במשפט
לחשוב שהיקף ושטח מתאימים	אלו תוצאות, לא נתונים בסיסיים	להשתמש רק בצלעות וזוויות מתאימות

$math/026-reason$ לא מתאימים לפי העין

בתרגילי חפיפה הציור יכול להיות מסובב, משוקף או לא מדויק. סדר האותיות הוא מקור המידע האמין.

כתבו זוגות קודקודים.
מהזוגות בנו צלעות.
רק אחר כך הסתכלו על הציור כדי לוודא שהנימוק הגיוני.
בדקו שלא כתבתם משהו שלא נובע ישירות מהסימון.

קישור ללמידה - מאיפה לאן

$math/020-math book$ ההתאמה כשפה מתמטית

מהמודול הקודם

למדנו שחפיפה היא כיסוי מדויק. עכשיו לומדים לתרגם את הכיסוי ההמחשתי לשפה פורמלית של אותיות.

במודול הנוכחי

התאמה היא הגשר בין נתון של חפיפה לבין שש מסקנות מיידיות (3 צלעות + 3 זוויות שוות).

$math/029-angle$ במודולים הבאים

במשפטי צ.ז.צ, ז.צ.ז וצ.צ.צ נשתמש בהתאמה גם בכיוון ההפוך - מנתונים על שלושה זוגות מתאימים נוכיח חפיפה.

שאלות לחשיבה עמוקה

שאלה לחשיבה

איך טעות אחת בהתאמת קודקודים יכולה להרוס פתרון שלם?

אם קודקוד אחד מותאם לא נכון, כל הצלעות והזוויות שיוצאות ממנו מקבלות שוויונות שגויים. מכאן אפשר לבחור משפט חפיפה לא מתאים או להסיק צלע שווה שאינה באמת מתאימה. לכן ההתאמה היא שלב בסיסי, לא פרט טכני.

שאלה לחשיבה

האם אפשר ששני שמות שונים של חפיפה יתארו את אותם שני משולשים?

במקרים מיוחדים - כן. אם המשולש שווה שוקיים, יש לו שתי דרכי התאמה ל"עצמו" (כולל לעצמו אחרי שיקוף). אם המשולש שווה צלעות, יש לו שש דרכי התאמה. ככל שיש למשולש יותר סימטריות, יש יותר שמות חפיפה תקפים. עבור משולש כללי (כל שלוש הצלעות שונות) - יש רק שם חפיפה אחד תקף.

שאלה לחשיבה

למה אסור להשתמש בחלקים מתאימים שווים כדי להוכיח חפיפה?

זו לולאה לוגית. כדי להגיד "חלקים מתאימים שווים" אנחנו צריכים קודם להוכיח שהמשולשים חופפים. אם נשתמש בכך כנתון, נסיק חפיפה - אבל בעצם הסקנו את החפיפה מעצמה. לכן הסדר הוא: 1) זיהוי שלושה זוגות מתאמות מהנתונים. 2) הוכחת חפיפה לפי משפט מתאים. 3) רק אחרי החפיפה - שימוש בחלקים מתאימים נוספים.

שרשראות הסקה - איך התאמה מובילה למסקנות נוספות

אחרי שמוכיחים חפיפה, מקבלים שש מסקנות מיידיות (3 צלעות + 3 זוויות). אבל זה לא הסוף - לעיתים קרובות, השוויונות החדשים האלה מובילים לעוד מסקנות, שמובילות לעוד מסקנות, ביצירת 'שרשרת' של הסקה. הנה דוגמה.

כוחם של חלקים מתאימים

הדוגמה הזו ממחישה למה חפיפה היא כלי כל כך עוצמתי בגאומטריה. מהפעולה הפשוטה של 'הוכחת חפיפה', מקבלים בו זמנית 6 שוויונות. ואז כל אחד מהם יכול לעבד עוד שיקולים: זוויות משלימות (סכום 180), משולש שווה שוקיים (זוויות הבסיס שוות), אנכיות (זווית 90).

זוהי הסיבה שחפיפה היא היסוד של רוב ההוכחות הגאומטריות בכיתה ח. כל בעיה שעוסקת בשוויון של אורכים, זוויות, או יחסים מסוימים - בדרך כלל מתחילה ב-'הוכיחו שהמשולשים חופפים' ומסיימת ב-'מכאן נובע ש-...'.

טבלת המומחה - 6 שוויונות מהחפיפה

{m}\triangle ABC \cong \triangle DEF{/m} - 6 השוויונות המלאים

סוג	מתאים	שוויון מספר	הסבר
צלע	$A B \leftrightarrow D E$	1	צלע ראשונה - בין קודקודים 1 ו-2
צלע	$B C \leftrightarrow E F$	2	צלע שנייה - בין קודקודים 2 ו-3
צלע	$A C \leftrightarrow D F$	3	צלע שלישית - בין קודקודים 1 ו-3
זווית	$∠ A \leftrightarrow ∠ D$	4	זווית בקודקוד הראשון
זווית	$∠ B \leftrightarrow ∠ E$	5	זווית בקודקוד השני
זווית	$∠ C \leftrightarrow ∠ F$	6	זווית בקודקוד השלישי

כלל הזהב לבדיקת התאמה

כשנתונה חפיפה $△ A B C ≅ △ D E F$ , קוראים את האותיות בסדר. הקודקוד הראשון של המשולש הראשון מתאים לקודקוד הראשון של המשולש השני; השני לשני; השלישי לשלישי. מכאן נגזרות 6 שוויונות - שלוש צלעות ושלוש זוויות.

סמנו במחברת: A=D, B=E, C=F.
שלפו 3 צלעות מתאימות: AB=DE, BC=EF, AC=DF.
שלפו 3 זוויות מתאימות: ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F.
אפשר עכשיו להשתמש בכל אחד מ-6 השוויונות כנתון.

מה הלאה

במודולים הבאים נכיר שלושה משפטי חפיפה - צ.צ.צ, צ.ז.צ, ז.צ.ז - שיאפשרו לנו להוכיח חפיפה משלושה נתונים בלבד במקום להשוות את כל השש. עיקרון ההתאמה שלמדנו כאן יהיה הבסיס לכל אחד מהמשפטים האלה.

ההתאמה כשפת תרגום

ההתאמה בחפיפה היא כמו 'מילון' שמתרגם בין שני משולשים. כשאתם רואים את הסימן $△ A B C ≅ △ D E F$ , זה כאילו שאמרו לכם 'A זה D, B זה E, C זה F'. כל מה שיש לי על $△ A B C$ , אני יכול 'לתרגם' למידע על $△ D E F$ , ולהפך.

ההתאמה כשפה

תרגום צלעות

אם $A B = 5$ ב- $△ A B C$ , ההתאמה אומרת לי ש- $D E = 5$ ב- $△ D E F$ . אין צורך למדוד מחדש - ההתאמה היא ערובה.

תרגום זוויות

אם $∠ B = 8 0^{\circ}$ ב- $△ A B C$ , הבדיקה אומרת לי ש- $∠ E = 8 0^{\circ}$ במשולש השני. החפיפה מבטיחה.

תרגום שטחים

ואם השטח של $△ A B C$ הוא 30 ס"מ², אז גם $△ D E F$ יהיה בעל אותו שטח. החפיפה משמרת הכל - אורכים, זוויות, ושטחים.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 20

האם הסדר $A B$ ו- $B A$ משנים את ההתאמה?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של צלעות וזוויות מתאימות כבר מוכן.

פתחו תרגול

צלעות וזוויות מתאימות

מה נבנה כאן

למה הסדר באותיות חשוב כל כך

דוגמאות לשמות שונים, מיפויים שונים

△ABC≅△DEF

△ABC≅△FED

△ABC≅△EFD

סדר השמות קובע את ההתאמה

סדר השמות קובע את ההתאמה

כיצד קוראים צלע מתוך השם

מיפוי צלעות לפי מיקום

טבלת התאמה מתוך הסימון

טבלת התאמה היא כלי עבודה, לא קישוט

המשפט המרכזי - חלקים מתאימים שווים

הזהרה - כיוון השימוש במשפט

דוגמה - מוצאים צלע מתאימה

דוגמה 1 - מוצאים צלע מתאימה

דוגמה 2 - מסיקים שש שוויונות מחפיפה

שיטת שלושת השלבים להתאמה

מסמנים מיקום

בונים זוגות

בודקים ציור

התאמות נפוצות

זווית

צלע

שוויון

זווית פנימית

סדר הפוך

צלעות באותו צבע

תרגול מדורג

תרגול 1 - זווית מתאימה (קל)

תרגול 2 - צלע מתאימה (בינוני)

תרגול 3 - מתקנים התאמה שגויה (קשה)

טעויות נפוצות בהתאמה

מפת טעויות נפוצות

לא מתאימים לפי העין

קישור ללמידה - מאיפה לאן

ההתאמה כשפה מתמטית

מהמודול הקודם

במודול הנוכחי

במודולים הבאים

שאלות לחשיבה עמוקה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שרשראות הסקה - איך התאמה מובילה למסקנות נוספות

כוחם של חלקים מתאימים

טבלת המומחה - 6 שוויונות מהחפיפה

{m}\triangle ABC \cong \triangle DEF{/m} - 6 השוויונות המלאים

כלל הזהב לבדיקת התאמה

מה הלאה

ההתאמה כשפת תרגום

ההתאמה כשפה

תרגום צלעות

תרגום זוויות

תרגום שטחים

האם הסדר AB ו-BA משנים את ההתאמה?