אימון מתמטיקה מודרך
תרגול: משפט ז.צ.ז
תרגול מקיף בנושא משפט ז.צ.ז לכיתה ח: כרטיסים, השלמות, חידון, חישובים, איתור טעויות, יישומים מהמציאות ושאלות חשיבה.
- תרגילים
- 18
- כיתה
- כיתה ח׳
- פרק
- משולשים חופפים, תיכון במשולש, משולש שווה שוקיים
איך לעבוד עם תרגול זה
חלק א: זוכרים את הרעיון
כרטיסי ז.צ.ז
הפכו כל כרטיס וחזרו על ההבדל בין זוויות לצלע הכלואה.
כרטיסי ז.צ.ז
ז.צ.ז
לחצו לגלותשתי זוויות והצלע שביניהן.
לחצו לחזורצלע כלואה
לחצו לגלותהצלע שמחברת את שני קודקודי הזוויות.
לחצו לחזורסכום זוויות
לחצו לגלותתמיד במשולש - שתי זוויות קובעות גם את השלישית.
לחצו לחזורז.ז.ז
לחצו לגלותשלוש זוויות בלבד - אינו משפט חפיפה (יוצר דמיון).
לחצו לחזורצ.ז.צ vs ז.צ.ז
לחצו לגלותצ.ז.צ - זווית במרכז. ז.צ.ז - צלע במרכז.
לחצו לחזוריישום
לחצו לגלותמודדי קרקע, ספנים, אסטרונומים - כולם משתמשים בז.צ.ז למדידה מרחוק.
לחצו לחזורAB ו-A,B
לחצו לגלותAB מחברת את הקודקודים A ו-B - לכן היא הצלע הכלואה בין זוויות A ו-B.
לחצו לחזורמקור ז.צ.ז
לחצו לגלותאאוקלידס באלכסנדריה לפני 2300 שנה.
לחצו לחזורטבלת השוואה - שלושת המשפטים
השוואה ויזואלית בין צ.צ.צ, צ.ז.צ ו-ז.צ.ז.
חלק ב: מיישמים בלי לנחש
בדיקת הבנה על ז.צ.ז
ענו על שאלות שדורשות זיהוי הצלע הכלואה.
מה פירוש ז.צ.ז?
בעיה - חישוב זוויות וצלעות
השתמשו בז.צ.ז ובסכום 180 לחישוב.
חישוב משילוב
במשולש : . נתון לפי ז.צ.ז. חשבו את .
אתגר - הוכחה עם מקבילים
שילוב של ז.צ.ז עם תכונות מקבילים.
הוכחה עם זוויות מתחלפות
בציור: (מקבילים) ונקודה באמצע . הוכיחו ש-.
חלק ג: מאתרים טעויות
איתור טעות - צלע לא כלואה
מצאו את הטעות.
מצאו את הטעות
תלמיד כתב: "נתון , , . לפי ז.צ.ז המשולשים חופפים". מהי הטעות?
ז.ז.ז - לא משפט חפיפה
מדוע 3 זוויות בלבד לא מספיקות?
ז.ז.ז כדוגמה נגדית
תלמידה כתבה: "שני המשולשים בעלי אותן שלוש זוויות, ולכן חופפים". האם זה נכון? אם לא, תנו דוגמה נגדית.
חלק ד: מחשבים בעצמם
מסבירים צלע כלואה
נסחו לעצמכם הסבר ברור.
שאלה לחשיבה
איך תסבירו לחבר מהי הצלע הכלואה בז.צ.ז ולמה היא חיונית?
הצלע הכלואה היא הצלע שמחברת בין שני קודקודי הזוויות הנתונות. היא חיונית כי שתי זוויות לבד לא יכולות לקבוע גודל - אפשר להגדיל או להקטין משולש בלי לשנות זוויות. הצלע נותנת את הגודל. שתי זוויות + הצלע ביניהן = משולש יחיד.
יישום מהמציאות
ז.צ.ז במדידות מקצועיות.
שאלה לחשיבה
ספן רואה מגדלור ועוד שני סימני חוף ידועים. הוא יודע את המרחק בין שני הסימנים ומודד את הזוויות אליהם משני נקודות בספינה. איך הוא יודע את מיקומו?
הספן בעצם בונה משולש: שני הסימנים בקצוות, והוא בקודקוד השלישי. ידועים: הצלע הכלואה (המרחק בין הסימנים) ושתי הזוויות (אליהם). זה בדיוק ז.צ.ז! יש משולש יחיד, ולכן ניתן לחשב את מיקומו בדיוק. שיטה זו, הנקראת "טריאנגולציה", הייתה הבסיס לניווט ימי מאות שנים לפני GPS - וגם בסיס ל-GPS עצמו!
אתגר - אבחון משפט חפיפה
תמיד יש לזהות נכון.
שאלה לחשיבה
תני שלושה תרחישים: באחד נתונים שתי צלעות וזווית כלואה (צ.ז.צ), באחר שתי זוויות וצלע כלואה (ז.צ.ז), ובשלישי שלוש צלעות (צ.צ.צ). תארי בלשון פשוטה מתי תבחרי בכל משפט?
אבחר בצ.צ.צ אם נתונים אורכי שלוש הצלעות (טבעי לעיתים בעבודה עם מקלות, אריחים, או מדידות יחסיות). אבחר בצ.ז.צ כשיש לי מדידה של שתי צלעות ולפחות זווית אחת ביניהן (טבעי במשולשים מצוירים עם זוויות מסומנות). אבחר בז.צ.ז כשידועות לי שתי זוויות וצלע אחת - זה המצב הנפוץ במדידות מקצועיות, כי קל למדוד זוויות אבל קשה למדוד אורכים. הבחירה תמיד תהיה לפי מה שהנתונים מעניקים, לא לפי העדפה.
חלק נוסף: דוגמאות מודרכות מורחבות
פותרים יחד
השלימו כל שלב בפתרון המודרך.
דוגמה 3 - חישוב זווית שלישית בעזרת סכום 180
שלב 1 מתוך 8ראשית, נבדוק שיש לנו ז.צ.ז. שתי הזוויות הנתונות הן ו-, והצלע הנתונה היא .
פותרים יחד
השלימו כל שלב בפתרון המודרך.
דוגמה 4 - מודד קרקע מודד גובה הר
שלב 1 מתוך 6ניתוח הנתונים: יש לנו צלע ושתי זוויות בקצותיה - ו-.
פותרים יחד
השלימו כל שלב בפתרון המודרך.
דוגמה 5 - הוכחה במלבן בעזרת ז.צ.ז
שלב 1 מתוך 6במלבן, ? לא, אלא: בגלל שהאלכסון חוצה את המלבן, הוא יוצר זוויות שונות בקודקודי ו- שווים בגלל הסימטריה של המלבן.
חלק נוסף: תרגול מורחב
תרגול 4 - חישוב לפי חפיפה (בינוני)
פתרו והגישו תשובה.
תרגול 4 - חישוב לפי חפיפה (בינוני)
נתון לפי ז.צ.ז, ו-. חשבו את .
תרגול 5 - יישום מהמציאות (אתגר)
פתרו והגישו תשובה.
תרגול 5 - יישום מהמציאות (אתגר)
מודד קרקע רוצה למצוא את הרוחב של נהר. הוא מודד מרחק מטר על גדה אחת בין שתי תחנות. מכל תחנה הוא מודד את הזווית לעץ בגדה השנייה: ו-. אם נוצר משולש דומה במקום אחר עם אותם נתונים, האם הוא יהיה חופף?
תרגול 6 - הוכחה במקבילית בעזרת ז.צ.ז (אתגר)
פתרו והגישו תשובה.
תרגול 6 - הוכחה במקבילית בעזרת ז.צ.ז (אתגר)
במקבילית , האלכסון נמתח. הוכיחו ש- בעזרת ז.צ.ז.
תרגול 7 - אורך מ-ז.צ.ז (אתגר)
פתרו והגישו תשובה.
תרגול 7 - אורך מ-ז.צ.ז (אתגר)
במשולש (לפי ז.צ.ז). נתון ס"מ, , . במשולש שני, ס"מ. מצאו את אורך .