אימון מתמטיקה מודרך

תרגול: משפט ז.צ.ז

תרגלו משפט ז.צ.ז במתמטיקה לכיתה ח׳: דף עבודה אינטראקטיבי עם שאלות, תרגילים, משוב מיידי ופתרונות לחזרה למבחן.

להתחלת התרגול חזרה להסבר

תרגילים: 18
כיתה: כיתה ח׳
פרק: משולשים חופפים, תיכון במשולש, משולש שווה שוקיים

דף תרגולתרגול: משפט ז.צ.ז

ניקוד0

התקדמות0/18

ציון0/0

תרגול: משפט ז.צ.ז

הפכו כל כרטיס וחזרו על ההבדל בין זוויות לצלע הכלואה.

$math/020-math book$ כרטיסי ז.צ.ז

ז.צ.ז

לחצו לגלות

שתי זוויות והצלע שביניהן.

לחצו לחזור

צלע כלואה

לחצו לגלות

הצלע שמחברת את שני קודקודי הזוויות.

לחצו לחזור

סכום זוויות

לחצו לגלות

תמיד $18 0^{\circ}$ במשולש - שתי זוויות קובעות גם את השלישית.

לחצו לחזור

ז.ז.ז

לחצו לגלות

שלוש זוויות בלבד - אינו משפט חפיפה (יוצר דמיון).

לחצו לחזור

צ.ז.צ vs ז.צ.ז

לחצו לגלות

צ.ז.צ - זווית במרכז. ז.צ.ז - צלע במרכז.

לחצו לחזור

יישום

לחצו לגלות

מודדי קרקע, ספנים, אסטרונומים - כולם משתמשים בז.צ.ז למדידה מרחוק.

לחצו לחזור

AB ו-A,B

לחצו לגלות

AB מחברת את הקודקודים A ו-B - לכן היא הצלע הכלואה בין זוויות A ו-B.

לחצו לחזור

מקור ז.צ.ז

לחצו לגלות

אאוקלידס באלכסנדריה לפני 2300 שנה.

לחצו לחזור

חזרה על החומר

השלימו תשובות קצרות על שתי זוויות וצלע ביניהן.

טוען סימולציה...

חזרה על החומר

השוואה ויזואלית בין צ.צ.צ, צ.ז.צ ו-ז.צ.ז.

סוג התרגיל "scientific_table" אינו נתמך ישירות בדף התרגול. התצוגה מוצגת, סיום ידני.

חזרה על החומר

ענו על שאלות שדורשות זיהוי הצלע הכלואה.

שאלה 1 מתוך 3

מה פירוש ז.צ.ז?

חזרה על החומר

השתמשו בז.צ.ז ובסכום 180 לחישוב.

חישוב משילוב

בינוני

במשולש $△ A B C$ : $∠ A = 4 0^{\circ}, ∠ B = 8 0^{\circ}, A B = 12$ . נתון $△ A B C ≅ △ D E F$ לפי ז.צ.ז. חשבו את $D E, ∠ C, ∠ D, ∠ E, ∠ F$ .

∠ A = 4 0^{\circ}, ∠ B = 8 0^{\circ}, A B = 12

חזרה על החומר

שילוב של ז.צ.ז עם תכונות מקבילים.

הוכחה עם זוויות מתחלפות

מאתגר

בציור: $A B ∥ C D$ (מקבילים) ונקודה $M$ באמצע $B C$ . הוכיחו ש- $△ A B M ≅ △ C D M$ .

A B ∥ C D, B M = M C

חזרה על החומר

מצאו את הטעות.

מצאו את הטעות

מאתגר

תלמיד כתב: "נתון $∠ A = ∠ D$ , $B C = E F$ , $∠ B = ∠ E$ . לפי ז.צ.ז המשולשים חופפים". מהי הטעות?

∠ A = ∠ D, B C = E F, ∠ B = ∠ E

חזרה על החומר

מדוע 3 זוויות בלבד לא מספיקות?

ז.ז.ז כדוגמה נגדית

מאתגר

תלמידה כתבה: "שני המשולשים בעלי אותן שלוש זוויות, ולכן חופפים". האם זה נכון? אם לא, תנו דוגמה נגדית.

∠ A = ∠ D, ∠ B = ∠ E, ∠ C = ∠ F

חזרה על החומר

נסחו לעצמכם הסבר ברור.

שאלה לחשיבה

איך תסבירו לחבר מהי הצלע הכלואה בז.צ.ז ולמה היא חיונית?

הצלע הכלואה היא הצלע שמחברת בין שני קודקודי הזוויות הנתונות. היא חיונית כי שתי זוויות לבד לא יכולות לקבוע גודל - אפשר להגדיל או להקטין משולש בלי לשנות זוויות. הצלע נותנת את הגודל. שתי זוויות + הצלע ביניהן = משולש יחיד.

חזרה על החומר

ז.צ.ז במדידות מקצועיות.

שאלה לחשיבה

ספן רואה מגדלור ועוד שני סימני חוף ידועים. הוא יודע את המרחק בין שני הסימנים ומודד את הזוויות אליהם משני נקודות בספינה. איך הוא יודע את מיקומו?

הספן בעצם בונה משולש: שני הסימנים בקצוות, והוא בקודקוד השלישי. ידועים: הצלע הכלואה (המרחק בין הסימנים) ושתי הזוויות (אליהם). זה בדיוק ז.צ.ז! יש משולש יחיד, ולכן ניתן לחשב את מיקומו בדיוק. שיטה זו, הנקראת "טריאנגולציה", הייתה הבסיס לניווט ימי מאות שנים לפני GPS - וגם בסיס ל-GPS עצמו!

חזרה על החומר

תמיד יש לזהות נכון.

שאלה לחשיבה

תני שלושה תרחישים: באחד נתונים שתי צלעות וזווית כלואה (צ.ז.צ), באחר שתי זוויות וצלע כלואה (ז.צ.ז), ובשלישי שלוש צלעות (צ.צ.צ). תארי בלשון פשוטה מתי תבחרי בכל משפט?

אבחר בצ.צ.צ אם נתונים אורכי שלוש הצלעות (טבעי לעיתים בעבודה עם מקלות, אריחים, או מדידות יחסיות). אבחר בצ.ז.צ כשיש לי מדידה של שתי צלעות ולפחות זווית אחת ביניהן (טבעי במשולשים מצוירים עם זוויות מסומנות). אבחר בז.צ.ז כשידועות לי שתי זוויות וצלע אחת - זה המצב הנפוץ במדידות מקצועיות, כי קל למדוד זוויות אבל קשה למדוד אורכים. הבחירה תמיד תהיה לפי מה שהנתונים מעניקים, לא לפי העדפה.

חזרה על החומר

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.

$math/027-notepad$ דוגמה 3 - חישוב זווית שלישית בעזרת סכום 180

שלב 1 מתוך 8

נתון: במשולש ראשון

∠ A = 5 0^{\circ}, ∠ B = 7 0^{\circ}

, ובמשולש שני

∠ D = 5 0^{\circ}, ∠ E = 7 0^{\circ}

. גם

A B = D E = 8

. הוכיחו חפיפה ומצאו את

∠ C

ואת

∠ F

ראשית, נבדוק שיש לנו ז.צ.ז. שתי הזוויות הנתונות הן $∠ A$ ו- $∠ B$ , והצלע הנתונה היא $A B$ .

∠ A, A B, ∠ B

חזרה על החומר

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.

דוגמה 4 - מודד קרקע מודד גובה הר

שלב 1 מתוך 6

מודד רוצה למדוד גובה של הר רחוק שלא יכול לטפס עליו. הוא מסמן שתי תחנות, A ו-B, על הקרקע במרחק

500

מטר זו מזו. מ-A הוא מודד זווית של

4 5^{\circ}

בין הקרקע לפסגה. מ-B הוא מודד זווית של

6 0^{\circ}

. מודד שני באותו אזור משחזר את הניסוי במדויק. האם המשולש שלהם זהה?

ניתוח הנתונים: יש לנו צלע $A B = 500$ ושתי זוויות בקצותיה - $∠ A$ ו- $∠ B$ .

A B, ∠ A, ∠ B

חזרה על החומר

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.

$math/025-numbers$ דוגמה 5 - הוכחה במלבן בעזרת ז.צ.ז

שלב 1 מתוך 6

במלבן

A B C D

, נמתחת אנכית

A E

ל-

B D

. הוכיחו ש-

△ A B E ≅ △ D B E

בעזרת ז.צ.ז.

במלבן, $∠ A B D = ∠ A D B$ ? לא, אלא: בגלל שהאלכסון $B D$ חוצה את המלבן, הוא יוצר זוויות שונות בקודקודי $A$ ו- $D$ שווים בגלל הסימטריה של המלבן.

זוויות מתחלפות

חזרה על החומר

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 4 - חישוב לפי חפיפה (בינוני)

בינוני

נתון $△ A B C ≅ △ X Y Z$ לפי ז.צ.ז, ו- $A B = 10, ∠ A = 4 0^{\circ}, ∠ B = 8 0^{\circ}$ . חשבו את $X Y, ∠ X, ∠ Y, ∠ Z$ .

A B = 10, ∠ A = 4 0^{\circ}, ∠ B = 8 0^{\circ}

חזרה על החומר

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 5 - יישום מהמציאות (אתגר)

מאתגר

מודד קרקע רוצה למצוא את הרוחב של נהר. הוא מודד מרחק $30$ מטר על גדה אחת בין שתי תחנות. מכל תחנה הוא מודד את הזווית לעץ בגדה השנייה: $6 5^{\circ}$ ו- $7 0^{\circ}$ . אם נוצר משולש דומה במקום אחר עם אותם נתונים, האם הוא יהיה חופף?

בסיס = 30, ∠_{1} = 6 5^{\circ}, ∠_{2} = 7 0^{\circ}

חזרה על החומר

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 6 - הוכחה במקבילית בעזרת ז.צ.ז (אתגר)

מאתגר

במקבילית $A B C D$ , האלכסון $A C$ נמתח. הוכיחו ש- $△ A B C ≅ △ C D A$ בעזרת ז.צ.ז.

A B C D מקבילית, A C אלכסון

חזרה על החומר

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 7 - אורך מ-ז.צ.ז (אתגר)

מאתגר

במשולש $△ A B C ≅ △ D E F$ (לפי ז.צ.ז). נתון $A B = 14$ ס"מ, $∠ A = 3 5^{\circ}$ , $∠ B = 9 5^{\circ}$ . במשולש שני, $D F = 18$ ס"מ. מצאו את אורך $A C$ .

A B = 14, ∠ A = 3 5^{\circ}, ∠ B = 9 5^{\circ}, D F = 18

חזרה על החומר