משפט צ.צ.צ

שלוש צלעות מתאימות קובעות את המשולש

מה נבנה כאן

משפט צ.צ.צ הוא מבחן חזק לחפיפה: אם כל שלוש הצלעות שוות בהתאמה, אין חופש לשנות את המשולש בלי לשנות אורך. במודול הזה נכיר את המשפט, נבין למה הוא נכון, נבדוק מתי כן ולא להפעיל אותו, ונתרגל בעיות מורכבות.

שלוש צלעות

נזהה שלושה שוויונות של צלעות מתאימות.

התאמה לפי אורכים

נשווה צלעות גם כשהרשימות כתובות בסדר שונה.

קיום משולש

נזכור ששלושה אורכים צריכים בכלל ליצור משולש.

מסקנות מהמשפט

נסיק שוויון זוויות אחרי שהוכחנו חפיפה.

יישומים

נראה איך צ.צ.צ הוא הבסיס לבנייה ויציבות מבנים.

למה דווקא שלוש צלעות?

ייתכן ששאלתם את עצמכם: למה צריך שלוש צלעות? למה לא שתיים, ולמה לא ארבע? התשובה היא יפה ופשוטה: שלוש צלעות הן בדיוק המספר הקטן ביותר שמספיק כדי לקבע משולש בלי שום חופש לתזוזה. שתי צלעות משאירות חופש לזווית ביניהן, ולכן יוצרות אינסוף משולשים אפשריים. שלוש צלעות קובעות משולש יחיד.

שלוש צלעות = משולש יחיד

$math/017-ruler$

צלע אחת

אינסוף משולשים אפשריים. אורך אחד אינו קובע צורה.

שתי צלעות

עדיין אינסוף - הזווית ביניהן יכולה להיות כל ערך בין $0^{\circ}$ ל- $18 0^{\circ}$ .

שלוש צלעות

משולש יחיד. אם שלושת האורכים נתונים, הצורה והגודל קבועים.

שלוש צלעות מתאימות מספיקות

בצ.צ.צ הנתונים הם מרחקים בלבד: אם כל שלושת המרחקים בין הקודקודים זהים, המשולש נעול. לכן הנימוק מתחיל בבדיקת שלושה זוגות צלעות מתאימות ולא בתחושה שהציורים דומים.

שלוש צלעות מתאימות מספיקות

אם שלוש הצלעות במשולש אחד שוות לשלוש הצלעות המתאימות במשולש שני, המשולשים חופפים לפי $צ.צ.צ$ .

שלוש צלעות קובעות את המרחקים בין כל זוג קודקודים. כאשר כל המרחקים זהים, מתקבל אותו משולש בגודל ובצורה. זה משפט יסוד שאוקלידס ניסח לפני 2300 שנה והוא נכון בכל מערכת גאומטרית רגילה.

$A B = D E, B C = E F, A C = D F$

לפני הנימוק כדאי לוודא שההתאמה בין הצלעות נכונה ולא רק שהמספרים דומים.

שלוש צלעות מסומנות

שלושת זוגות הצלעות מסומנים באותיות תואמות: א מול א, ב מול ב, ג מול ג.

נתוני צ.צ.צ

A B = D E, B C = E F, A C = D F \Rightarrow △ A B C ≅ △ D E F

אי-שוויון המשולש - מתי שלושה אורכים בכלל יוצרים משולש

לפני שמשתמשים בצ.צ.צ, צריך לוודא ששלושת האורכים אכן יוצרים משולש. לא כל שלשת מספרים מתאימה. למשל, האם אפשר לבנות משולש עם צלעות $1, 2, 10$ ? לא! הצלע הארוכה $10$ ארוכה מדי - אם נחבר את שתי הצלעות הקצרות בקווים ישרים מהקצוות שלהן, הן לא יגיעו זו לזו.

אי-שוויון המשולש: בכל משולש, סכום שתי צלעות חייב להיות גדול מהצלע השלישית.

$A B + B C > A C$
$B C + A C > A B$
$A B + A C > B C$

במילים אחרות: כל צלע במשולש קצרה מסכום שתי האחרות. אחרת, אי אפשר "להגיע" לקודקוד השלישי.

האם זה משולש?

$3, 4, 5$

כן! $3 + 4 = 7 > 5$ , $3 + 5 = 8 > 4$ , $4 + 5 = 9 > 3$ . זה משולש (ואפילו ישר זווית!).

$1, 2, 10$

לא! $1 + 2 = 3 < 10$ . הצלעות הקצרות לא מספיקות להגיע.

$5, 5, 5$

כן! משולש שווה צלעות. $5 + 5 = 10 > 5$ .

$2, 3, 5$

לא בדיוק! $2 + 3 = 5$ (לא גדול מ-5). מתקבל קו ישר, לא משולש.

$7, 8, 10$

כן! אי-שוויון המשולש מתקיים בכל הצירופים.

$4, 9, 4$

לא! $4 + 4 = 8 < 9$ . שתי הצלעות הקצרות לא מספיקות.

איך משווים שלוש צלעות

שלב	מה עושים	בדיקה
1	מסדרים את שלושת האורכים	קטן, בינוני, גדול או לפי קודקודים
2	בודקים אי-שוויון המשולש	סכום שתי הקטנות > הגדולה
3	בונים התאמה	כל צלע מול צלע שווה לה
4	כותבים שלושה שוויונות	$A B = D E, B C = E F, A C = D F$
5	כותבים משפט	חופפים לפי צ.צ.צ

למה צ.צ.צ עובד? אינטואיציה גאומטרית

דמיינו שיש לכם שלושה מקלות באורכים מסוימים. אתם מנסים לבנות משולש. ברגע שחיברתם שני קצוות של שני מקלות, היחיד שיוצר משולש הוא חיבור הקצה השלישי לקצוות הפנויים. בעצם, אין לכם בחירה - שלושת המקלות מכריחים צורה אחת בלבד. זה האינטואיציה למה צ.צ.צ עובד.

ההיסטוריה של צ.צ.צ

אאוקלידס באלכסנדריה הוכיח את צ.צ.צ בספר ה'יסודות' (Στοιχεῖα) שלו, כתב בערך בשנת 300 לפני הספירה. ההוכחה שלו - באמצעות 'הנחת המשולש' - הייתה הבסיס לכל הגאומטריה המערבית במשך 2000 שנה. עד היום, כל בנאי שמודד גג עם משולשי תמיכה משתמש ברעיון של אאוקלידס.

למה משולשים בנייה כל כך יציבים? יישום צ.צ.צ

אחד היישומים החשובים של צ.צ.צ הוא ביציבות של מבני בנייה. שלושה מקלות מחוברים בקצותיהם יוצרים מבנה לא ניתן לעיוות - אי אפשר לדחוף אותו ולשנות את צורתו בלי לשבור או לסובב מקלה. בניגוד לזה, ארבעה מקלות יוצרים מבנה רעוע (יכול להיות ריבוע או מקבילית).

צ.צ.צ במציאות

גשרים

גשרי תמיכה בנויים ממשולשים - כי משולש יציב, אבל מרובע יכול להיכפף.

גגות בית

מבני גג נבנים מחיבור משולשים יציבים שכל שלושת צלעותיהם קבועות.

מנופי בנייה

תמיכת המנוף עשויה ממשולשים - מובטח שהמבנה לא יקרוס.

אופניים

שלדת אופניים בנויה ממשולשים - יציבה גם בעומס.

סולמות מתקפלים

כשפותחים סולם, מקבלים משולש - וזה מה שמייצב אותו.

מודדי קרקע

במדידת מרחקים בלתי-מדידים, משלשים שלוש נקודות ומחשבים לפי צ.צ.צ.

דוגמה - שלוש צלעות

בדוגמה הזו נתרגל כתיבה חסכונית: מצמידים כל צלע במשולש הראשון לצלע המתאימה לה במשולש השני, ואז מסיימים במשפט צ.צ.צ.

דוגמה 1 - שלוש צלעות פשוטות

שלב 1 מתוך 5

נתון

A B = 4

B C = 6

A C = 7

וגם

D E = 4

E F = 6

D F = 7

. נמקו חפיפה.

ראשית, נבדוק אי-שוויון המשולש. $4 + 6 = 10 > 7$ - בסדר.

4 + 6 = 10 > 7 ✓

$math/007-triangle$ דוגמה 2 - התאמה מתוך שמות המשולשים

שלב 1 מתוך 3

נתון

A B = P Q

B C = QR

ו-

A C = P R

. נמקו חפיפה והסיקו

∠ B = ∠ Q

איזו צלע מתאימה ל- $B C$ ?

צ.צ.צ מול רשימת אורכים

$math/029-angle$ התאמה לפי קודקודים

כאשר שמות המשולשים נתונים, משווים צלעות מתאימות לפי הסדר.

התאמה לפי אורכים

כאשר נתונה רק רשימת אורכים, מסדרים ומשווים את שלושת האורכים.

בשני המקרים מסקנת החפיפה זהה, אבל הניסוח של נימוק שונה.

שלד נימוק קצר

כתיבה יעילה בצ.צ.צ: רושמים שלושה זוגות צלעות שוות בהתאמה, מסדרים את שמות המשולשים לפי אותה התאמה, ואז מסיימים בשם המשפט. אם הסדר שגוי, גם מסקנות על זוויות וצלעות מתאימות יהיו שגויות.

שיטת עבודה למשפט צ.צ.צ

שלב 1 - אי-שוויון

וודאו שיש שלושה אורכים.

סכום שתי הקטנות > הגדולה.

שלב 2 - התאמה

מצאו שלושה זוגות מתאימים.

אורך לאורך, לא רק שם דומה.

שלב 3 - שלושה שוויונות

כתבו שלושה שוויונות במפורש.

$A B = D E, B C = E F, A C = D F$ .

שלב 4 - מסקנה

כתבו $△ A B C ≅ △ D E F$ .

ציינו: לפי צ.צ.צ.

$math/027-notepad$ תרגול מדורג

תרגול 1 - סדר שונה (קל)

בסיסי

משולש אחד צלעותיו $5, 5, 8$ , והשני $5, 8, 5$ . האם הם חופפים?

5, 5, 8

תרגול 2 - האם אפשר לבנות משולש (בינוני)

בינוני

האם האורכים $2, 3, 8$ יכולים ליצור משולש?

2 + 3 < 8

תרגול 3 - התאמה כשהסדר מעורבב (אתגר)

מאתגר

נתון במשולש הראשון $A B = 5$ , $B C = 7$ , $A C = 9$ . במשולש השני $D F = 5$ , $D E = 7$ , $E F = 9$ . כתבו חפיפה אפשרית.

A B = 5, B C = 7, A C = 9, D F = 5, D E = 7, E F = 9

טעויות נפוצות בצ.צ.צ

לפני שמפעילים צ.צ.צ כדאי לבצע שתי עצירות: האם בכלל יש שלוש צלעות, והאם כל צלע הושוותה לצלע המתאימה לה. כך לא מתבלבלים בין רשימת מספרים לבין נימוק.

מפת טעויות נפוצות בצ.צ.צ

טעות	למה זו טעות	תיקון
לדלג על אי-שוויון המשולש	אי-שוויון המשולש הוא תנאי הכרחי לקיום משולש	תמיד בודקים שסכום שתי הצלעות הקטנות > הגדולה
להתאים לפי שמות בלי לבדוק אורכים	שני שמות שונים יכולים להיות נכונים אם המשולשים סימטריים	מתאימים לפי אורכים, לא רק לפי שמות
לציין רק שתי צלעות שוות ולחשוב שזה מספיק	צ.צ.צ דורש שלוש צלעות	תמיד שלושה זוגות מתאימים
לשכוח צלע משותפת	כששתי משולשים חולקים קטע, הוא צלע בשניהם	לרשום במפורש: $A D = A D$
להסיק זוויות שוות לפני הוכחת חפיפה	לולאה לוגית - חפיפה תחילה, מסקנות אחר כך	סדר נכון: 3 צלעות ← צ.צ.צ ← חפיפה ← מסקנות

בדיקה קטנה לפני משפט גדול

צ.צ.צ דורש שלושה זוגות של צלעות מתאימות. אם יש רק שתי צלעות, או אם אחת השלשות אינה יוצרת משולש, אי אפשר להשתמש במשפט.

ודאו שיש שלוש צלעות.
בדקו אי-שוויון המשולש.
בדקו התאמה.
כתבו שלושה שוויונות במפורש.
סיימו במשפט: "לפי צ.צ.צ".

קישור ללמידה

$math/020-math book$ צ.צ.צ במסגרת הפרק

מהמודולים הקודמים

הכרנו חפיפה ולמדנו לקרוא התאמה. צ.צ.צ הוא המשפט הראשון שמאפשר להוכיח חפיפה משלושה נתונים בלבד.

במודול הנוכחי

צ.צ.צ - שלוש צלעות מתאימות מספיקות לחפיפה. מבוסס על אי-שוויון המשולש.

במודולים הבאים

נכיר עוד שני משפטי חפיפה: צ.ז.צ (שתי צלעות וזווית כלואה) וז.צ.ז (שתי זוויות וצלע כלואה). בכיתה ט - נרחיב לדמיון.

שאלות לחשיבה עמוקה

שאלה לחשיבה

מדוע שלוש צלעות קובעות משולש, אבל שתי צלעות בלבד אינן מספיקות?

שתי צלעות משאירות חופש לזווית ביניהן להיפתח או להיסגר, ולכן אפשר לקבל משולשים שונים. כאשר גם הצלע השלישית קבועה, המרחק בין שני הקצוות נקבע, ואין עוד חופש לשנות את הצורה בלי לשנות אורך.

שאלה לחשיבה

מבני בנייה רבים בנויים ממשולשים, לא ממרובעים. מדוע?

משולש הוא הצורה היחידה שצורתה לא יכולה להשתנות אם רק חוזרות על אורכי הצלעות. בעצם, צ.צ.צ הוא הסיבה ליציבות. במרובע, גם אם אורכי הצלעות קבועים, הצורה יכולה להתעוות (ריבוע יכול להיהפך למקבילית). לכן מבני גשר, גג ומנופים בנויים ממשולשים - הם לא ניתנים לעיוות.

שאלה לחשיבה

אם נתונות לי שלוש צלעות שאינן מקיימות אי-שוויון המשולש (למשל $1, 2, 5$ ), האם אפשר 'להציל' את המצב?

לא במסגרת הגאומטריה הרגילה (האאוקלידית). שלוש צלעות שאינן מקיימות את אי-שוויון המשולש לא יכולות לבנות משולש - הן יוצרות קו ישר או לא נפגשות בכלל. אם נסיון לבנות צ.צ.צ, אנחנו מקבלים שלשה לא תקפה. הדרך היחידה לתקן היא לשנות אורכים. (אגב: בגאומטריות לא-אאוקלידיות, אי-שוויון המשולש שונה - אבל זה לתיכון!)

$math/014-geometry$ צ.צ.צ ביישומים מורכבים

צ.צ.צ הוא היסוד של כמעט כל מבנה משולשי בעולם. כאשר מהנדס מתכנן גשר, אהל, או מערכת תמיכה, הוא משתמש בעיקרון של 'שלוש צלעות יוצרות משולש יחיד' כדי להבטיח שהמבנה לא ישנה צורה תחת לחץ.

צ.צ.צ במציאות - יציבות מבנים

$math/034-pentagon$

גשרי גמלון

כל גשר גמלון הוא רשת של משולשים. כל משולש מקובע על ידי שלוש מוטות באורכים מוגדרים - כל אחד יציב לפי צ.צ.צ. אם אחד היה ניתן לגמש, הגשר היה קורס.

$math/036-pyramid$

אהלים וקמפינג

אהל קמפינג הוא רוב הזמן בנוי כמשולש או כפירמידה משולשת. אורכי המוטות והחבלים הם נתונים, וצ.צ.צ מבטיח שהאהל יקבל אותה צורה כל פעם שמרכיבים אותו.

מנופי בנייה

מנוף בנייה הוא מבנה ענק של משולשים מתכת. כל משולש קובע את היציבות. אם אחת מהמוטות הייתה גמישה, המנוף היה מתפתל.

אופניים ותחבורה

המסגרת של אופניים בנויה במשולשים. הסיבה: לפי צ.צ.צ, צורת המשולש קבועה, ולכן האופניים יציבים גם תחת לחץ של רוכב.

$math/016-drawing compass$

פירמידות מצרים

הפירמידות נבנו לפני 4500 שנים, ועדיין עומדות. הסיבה היא שצורת הפירמידה היא רק משולשים יציבים - לפי צ.צ.צ, כל פאה היא משולש קבוע.

מבני זכוכית מודרניים

פירמידות הזכוכית בלובר ובמוזיאון לואיס ויטון בפריז בנויות ממאות פנלים משולשים. כל אחד יציב לפי צ.צ.צ. הסטיה הקטנה ביותר הייתה גורמת לסדק במבנה.

מה הלאה

במודולים הבאים נכיר את המשפטים השני והשלישי לחפיפה: צ.ז.צ (שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן) וז.צ.ז (שתי זוויות והצלע ביניהן). שלושת המשפטים יחד מספקים כלים מספיקים להוכיח כמעט כל בעיית חפיפה.

טוען סימולציה...

שאלה 1 מתוך 20

במשולש שווה שוקיים, אם נחבר את קודקוד הראש לאמצע הבסיס, מה אפשר להוכיח?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של משפט צ.צ.צ כבר מוכן.

פתחו תרגול

משפט צ.צ.צ

מה נבנה כאן

למה דווקא שלוש צלעות?

שלוש צלעות = משולש יחיד

צלע אחת

שתי צלעות

שלוש צלעות

שלוש צלעות מתאימות מספיקות

שלוש צלעות מתאימות מספיקות

אי-שוויון המשולש - מתי שלושה אורכים בכלל יוצרים משולש

האם זה משולש?

3,4,5

1,2,10

5,5,5

2,3,5

7,8,10

4,9,4

איך משווים שלוש צלעות

למה צ.צ.צ עובד? אינטואיציה גאומטרית

ההיסטוריה של צ.צ.צ

למה משולשים בנייה כל כך יציבים? יישום צ.צ.צ

צ.צ.צ במציאות

גשרים

גגות בית

מנופי בנייה

אופניים

סולמות מתקפלים

מודדי קרקע

דוגמה - שלוש צלעות

דוגמה 1 - שלוש צלעות פשוטות

דוגמה 2 - התאמה מתוך שמות המשולשים

צ.צ.צ מול רשימת אורכים

התאמה לפי קודקודים

התאמה לפי אורכים

שלד נימוק קצר

שיטת עבודה למשפט צ.צ.צ

שלב 1 - אי-שוויון

שלב 2 - התאמה

שלב 3 - שלושה שוויונות

שלב 4 - מסקנה

תרגול מדורג

תרגול 1 - סדר שונה (קל)

תרגול 2 - האם אפשר לבנות משולש (בינוני)

תרגול 3 - התאמה כשהסדר מעורבב (אתגר)

טעויות נפוצות בצ.צ.צ

מפת טעויות נפוצות בצ.צ.צ

בדיקה קטנה לפני משפט גדול

קישור ללמידה

צ.צ.צ במסגרת הפרק

מהמודולים הקודמים

במודול הנוכחי

במודולים הבאים

שאלות לחשיבה עמוקה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

צ.צ.צ ביישומים מורכבים

צ.צ.צ במציאות - יציבות מבנים

גשרי גמלון

אהלים וקמפינג

מנופי בנייה

אופניים ותחבורה

פירמידות מצרים

מבני זכוכית מודרניים

מה הלאה

במשולש שווה שוקיים, אם נחבר את קודקוד הראש לאמצע הבסיס, מה אפשר להוכיח?

משפט צ.צ.צ

מעבר לדף התרגול של המודול

$3, 4, 5$

$1, 2, 10$

$5, 5, 5$

$2, 3, 5$

$7, 8, 10$

$4, 9, 4$

$math/007-triangle$ דוגמה 2 - התאמה מתוך שמות המשולשים

$math/029-angle$ התאמה לפי קודקודים

$math/027-notepad$ תרגול מדורג

$math/020-math book$ צ.צ.צ במסגרת הפרק

$math/014-geometry$ צ.צ.צ ביישומים מורכבים