אימון מתמטיקה מודרך

תרגול: שילוב חפיפה ושווה שוקיים - הוכחות

תרגלו שילוב חפיפה ושווה שוקיים במתמטיקה לכיתה ח׳: דף עבודה אינטראקטיבי עם שאלות, תרגילים, משוב מיידי ופתרונות לחזרה למבחן.

להתחלת התרגול חזרה להסבר

תרגילים: 14
כיתה: כיתה ח׳
פרק: משולשים חופפים, תיכון במשולש, משולש שווה שוקיים

דף תרגולתרגול: שילוב חפיפה ושווה שוקיים - הוכחות

ניקוד0

התקדמות0/14

ציון0/0

תרגול: שילוב חפיפה ושווה שוקיים - הוכחות

בדקו מה כל נתון נותן לכם.

$math/020-math book$ כרטיסי שרשרת נימוקים

שווה שוקיים

לחצו לגלות

$A B = A C$ (הנתון של שווה שוקיים).

לחצו לחזור

תיכון לבסיס

לחצו לגלות

$B D = D C$ (התיכון מגיע לאמצע).

לחצו לחזור

חוצה זווית הראש

לחצו לגלות

$∠ B A D = ∠ D A C$ (חוצה הזווית מחלק לשני חצאים שווים).

לחצו לחזור

צלע משותפת

לחצו לגלות

$A D = A D$ (חיוני לכל חפיפה של משולשים סמוכים).

לחצו לחזור

צ.צ.צ

לחצו לגלות

שלוש צלעות שוות בהתאמה. בלי זווית נתונה.

לחצו לחזור

צ.ז.צ

לחצו לגלות

שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן.

לחצו לחזור

ז.צ.ז

לחצו לגלות

שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן.

לחצו לחזור

מהחפיפה

לחצו לגלות

כל החלקים המתאימים (זוויות וצלעות) שווים.

לחצו לחזור

חזרה על החומר

בחרו את החלק החסר בשרשרת.

טוען סימולציה...

חזרה על החומר

שאלות קצרות על נתון, משפט ומסקנה.

שאלה 1 מתוך 4

מה אפשר להסיק אחרי חפיפה?

חזרה על החומר

בחרו את המשפט המתאים לפי שלושת השוויונות.

בוחרים משפט חפיפה

בינוני

נתון $A B = A C$ , $B D = D C$ ו- $A D$ משותפת. השלימו: המשולשים $△ A B D$ ו- $△ A C D$ חופפים לפי ___

A B = A C, B D = D C, A D = A D

חזרה על החומר

תרגלו את כל השרשרת.

כותבים שורת נימוקים שלמה

מאתגר

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , $A D$ תיכון לבסיס $B C$ . הוכיחו ש- $∠ B A D = ∠ D A C$ (כלומר, התיכון הוא גם חוצה זווית הראש).

A B = A C, B D = D C, A D = A D

חזרה על החומר

מנתון של אנך אמצעי לשוויון שוקיים.

מוכיחים שווה שוקיים מאנך אמצעי

מאתגר

במשולש $△ A B C$ נתון: $A D ⊥ B C$ ו- $D$ אמצע $B C$ (כלומר $A D$ אנך אמצעי). הוכיחו שהמשולש שווה שוקיים.

A D ⊥ B C, B D = D C

חזרה על החומר

מחוצה זווית הראש לאמצע הבסיס.

חוצה זווית הופך לתיכון

מאתגר

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , הקטע $A D$ חוצה את זווית הראש: $∠ B A D = ∠ D A C$ . הוכיחו ש- $A D$ הוא גם תיכון לבסיס.

A B = A C, ∠ B A D = ∠ D A C

חזרה על החומר

תוצאה יפה של הסימטריה.

חוצי זווית הבסיס שווים

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , $B E$ חוצה את $∠ B$ ו- $C F$ חוצה את $∠ C$ (כאשר $E$ על $A C$ ו- $F$ על $A B$ ). הוכיחו ש- $B E = C F$ .

A B = A C, B E חוצה ∠ B, C F חוצה ∠ C

חזרה על החומר

למה הסדר חיוני.

שאלה לחשיבה

מהו הסדר הנכון של נימוק חפיפה: מסקנה מחפיפה, נתונים, משפט חפיפה? למה הסדר חיוני?

הסדר הנכון: (1) נתונים - רושמים את כל השוויונות שמגיעים מהבעיה. (2) מסקנות ביניים - אם תיכון אז $B D = D C$ , אם חוצה זווית אז $∠ B A D = ∠ D A C$ , וכו'. (3) משפט חפיפה - בוחרים את המשפט המתאים (צ.צ.צ, צ.ז.צ, ז.צ.ז) ומוכיחים שהמשולשים חופפים. (4) חלקים מתאימים - מהחפיפה מסיקים שוויונות חדשים. הסדר חיוני כי כל שורה מבוססת על מה שהוכח לפניה. אם נסיק "חלקים מתאימים" לפני שהוכחנו חפיפה, אין הצדקה לוגית למסקנה. ההוכחה תהיה לא תקפה. בגאומטריה, סדר לוגי הוא חלק מההוכחה, לא רק קישוט.

חזרה על החומר

מה משותף לכל ההוכחות בפרק.

שאלה לחשיבה

למה כל ההוכחות בפרק הזה משתמשות באותה אסטרטגיה - חפיפת שני משולשים קטנים בתוך משולש שווה שוקיים?

האסטרטגיה הזו עוצמתית כי היא מנצלת את הסימטריה היסודית של משולש שווה שוקיים. ציר הסימטריה - הקו מקודקוד הראש לאמצע הבסיס - מחלק את המשולש לשני חצאים שמתלכדים בקיפול. הקיפול הזה הוא בעצם הוכחה ויזואלית של חפיפה. בכל הוכחה אנחנו מוצאים נתונים שמובילים לחפיפת שני המשולשים הקטנים שנוצרים מציר הסימטריה הזה, ואז מסיקים מהחפיפה תכונה חדשה. כל התכונות של משולש שווה שוקיים - זוויות בסיס שוות, התלכדות תיכון/גובה/חוצה זווית/אנך אמצעי, חוצי זווית הבסיס שווים - מוכחות באותה דרך. זה מראה שכל התכונות נובעות ממקור אחד: הסימטריה. הבנה זו מעמיקה את המבנה של הגאומטריה - ראייה של תכונות לא כעובדות נפרדות אלא כביטויים של עיקרון יסודי משותף.

חזרה על החומר

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.