אימון מתמטיקה מודרך

תרגול: שילוב חפיפה ושווה שוקיים - הוכחות

תרגול בנייה של הוכחות גאומטריות שמשלבות חפיפה ותכונות שווה שוקיים: זיהוי צלעות וזוויות, בחירת משפט החפיפה, חלקים מתאימים שווים, ומשפטי הפוך.

להתחלת התרגול חזרה להסבר

תרגילים: 14
כיתה: כיתה ח׳
פרק: משולשים חופפים, תיכון במשולש, משולש שווה שוקיים

דף תרגולתרגול: שילוב חפיפה ושווה שוקיים - הוכחות

ניקוד0

התקדמות0/14

חלק א: זוכרים את השרשרת

תרגיל

כרטיסי שרשרת נימוקים

בדקו מה כל נתון נותן לכם.

$math/020-math book$ כרטיסי שרשרת נימוקים

שווה שוקיים

לחצו לגלות

$A B = A C$ (הנתון של שווה שוקיים).

לחצו לחזור

תיכון לבסיס

לחצו לגלות

$B D = D C$ (התיכון מגיע לאמצע).

לחצו לחזור

חוצה זווית הראש

לחצו לגלות

$∠ B A D = ∠ D A C$ (חוצה הזווית מחלק לשני חצאים שווים).

לחצו לחזור

צלע משותפת

לחצו לגלות

$A D = A D$ (חיוני לכל חפיפה של משולשים סמוכים).

לחצו לחזור

צ.צ.צ

לחצו לגלות

שלוש צלעות שוות בהתאמה. בלי זווית נתונה.

לחצו לחזור

צ.ז.צ

לחצו לגלות

שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן.

לחצו לחזור

ז.צ.ז

לחצו לגלות

שתי זוויות והצלע הכלואה ביניהן.

לחצו לחזור

מהחפיפה

לחצו לגלות

כל החלקים המתאימים (זוויות וצלעות) שווים.

לחצו לחזור

חזרה על החומר

תרגיל

משלימים נימוק

בחרו את החלק החסר בשרשרת.

טוען סימולציה...

חזרה על החומר

חלק ב: שאלות הבנה

תרגיל

בדיקת הבנה - שילוב נימוקים

שאלות קצרות על נתון, משפט ומסקנה.

שאלה 1 מתוך 4

מה אפשר להסיק אחרי חפיפה?

חזרה על החומר

חלק ג: בניית הוכחות

תרגיל

בוחרים משפט חפיפה

בחרו את המשפט המתאים לפי שלושת השוויונות.

בוחרים משפט חפיפה

בינוני

נתון $A B = A C$ , $B D = D C$ ו- $A D$ משותפת. השלימו: המשולשים $△ A B D$ ו- $△ A C D$ חופפים לפי ___

A B = A C, B D = D C, A D = A D

חזרה על החומר

תרגיל

כותבים שורת נימוקים שלמה

תרגלו את כל השרשרת.

כותבים שורת נימוקים שלמה

מאתגר

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , $A D$ תיכון לבסיס $B C$ . הוכיחו ש- $∠ B A D = ∠ D A C$ (כלומר, התיכון הוא גם חוצה זווית הראש).

A B = A C, B D = D C, A D = A D

חזרה על החומר

תרגיל

מוכיחים שווה שוקיים מתכונה הפוכה

מנתון של אנך אמצעי לשוויון שוקיים.

מוכיחים שווה שוקיים מאנך אמצעי

מאתגר

במשולש $△ A B C$ נתון: $A D ⊥ B C$ ו- $D$ אמצע $B C$ (כלומר $A D$ אנך אמצעי). הוכיחו שהמשולש שווה שוקיים.

A D ⊥ B C, B D = D C

חזרה על החומר

תרגיל

חוצה זווית הופך לתיכון

מחוצה זווית הראש לאמצע הבסיס.

חוצה זווית הופך לתיכון

מאתגר

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , הקטע $A D$ חוצה את זווית הראש: $∠ B A D = ∠ D A C$ . הוכיחו ש- $A D$ הוא גם תיכון לבסיס.

A B = A C, ∠ B A D = ∠ D A C

חזרה על החומר

חלק ד: הוכחות מתקדמות

תרגיל

חוצי זווית הבסיס שווים

תוצאה יפה של הסימטריה.

חוצי זווית הבסיס שווים

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , $B E$ חוצה את $∠ B$ ו- $C F$ חוצה את $∠ C$ (כאשר $E$ על $A C$ ו- $F$ על $A B$ ). הוכיחו ש- $B E = C F$ .

A B = A C, B E חוצה ∠ B, C F חוצה ∠ C

חזרה על החומר

תרגיל

מסבירים את סדר הנימוקים

למה הסדר חיוני.

שאלה לחשיבה

מהו הסדר הנכון של נימוק חפיפה: מסקנה מחפיפה, נתונים, משפט חפיפה? למה הסדר חיוני?

הסדר הנכון: (1) נתונים - רושמים את כל השוויונות שמגיעים מהבעיה. (2) מסקנות ביניים - אם תיכון אז $B D = D C$ , אם חוצה זווית אז $∠ B A D = ∠ D A C$ , וכו'. (3) משפט חפיפה - בוחרים את המשפט המתאים (צ.צ.צ, צ.ז.צ, ז.צ.ז) ומוכיחים שהמשולשים חופפים. (4) חלקים מתאימים - מהחפיפה מסיקים שוויונות חדשים. הסדר חיוני כי כל שורה מבוססת על מה שהוכח לפניה. אם נסיק "חלקים מתאימים" לפני שהוכחנו חפיפה, אין הצדקה לוגית למסקנה. ההוכחה תהיה לא תקפה. בגאומטריה, סדר לוגי הוא חלק מההוכחה, לא רק קישוט.

חזרה על החומר

תרגיל

מקור עומק של כל ההוכחות

מה משותף לכל ההוכחות בפרק.

שאלה לחשיבה

למה כל ההוכחות בפרק הזה משתמשות באותה אסטרטגיה - חפיפת שני משולשים קטנים בתוך משולש שווה שוקיים?

האסטרטגיה הזו עוצמתית כי היא מנצלת את הסימטריה היסודית של משולש שווה שוקיים. ציר הסימטריה - הקו מקודקוד הראש לאמצע הבסיס - מחלק את המשולש לשני חצאים שמתלכדים בקיפול. הקיפול הזה הוא בעצם הוכחה ויזואלית של חפיפה. בכל הוכחה אנחנו מוצאים נתונים שמובילים לחפיפת שני המשולשים הקטנים שנוצרים מציר הסימטריה הזה, ואז מסיקים מהחפיפה תכונה חדשה. כל התכונות של משולש שווה שוקיים - זוויות בסיס שוות, התלכדות תיכון/גובה/חוצה זווית/אנך אמצעי, חוצי זווית הבסיס שווים - מוכחות באותה דרך. זה מראה שכל התכונות נובעות ממקור אחד: הסימטריה. הבנה זו מעמיקה את המבנה של הגאומטריה - ראייה של תכונות לא כעובדות נפרדות אלא כביטויים של עיקרון יסודי משותף.

חזרה על החומר

$math/030-equation$ חלק נוסף: דוגמאות מודרכות מורחבות

תרגיל

פותרים יחד

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.

דוגמה 3 - חוצה זווית מוביל לתיכון

שלב 1 מתוך 5

במשולש שווה שוקיים

△ A B C

עם

A B = A C

, הקטע

A D

חוצה את זווית הראש (כלומר

∠ B A D = ∠ D A C

). נמקו ש-

B D = D C

השוקיים שוות לפי הנתון.

A B = A C (נתון)

חזרה על החומר

תרגיל

פותרים יחד

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.

$math/017-ruler$ דוגמה 4 - מוכיחים שווה שוקיים מתכונה הפוכה

שלב 1 מתוך 6

במשולש

△ A B C

נתון:

A D

תיכון לבסיס

B C

, ו-

A D ⊥ B C

. הוכיחו שהמשולש שווה שוקיים.

$A D$ תיכון, ולכן $D$ אמצע $B C$ .

B D = D C (נתון - תיכון)

חזרה על החומר

$math/026-reason$ חלק נוסף: תרגול מורחב

תרגיל

תרגול 4 - אנך אמצעי לבסיס

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 4 - אנך אמצעי לבסיס

מאתגר

במשולש $△ A B C$ נתון: $A D$ מאונך לבסיס $B C$ ב- $D$ , ו- $D$ אמצע $B C$ (כלומר $A D$ אנך אמצעי). הוכיחו שהמשולש שווה שוקיים.

A D ⊥ B C, B D = D C

חזרה על החומר

תרגיל

תרגול 5 - חוצי זווית הבסיס נפגשים

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 5 - חוצי זווית הבסיס נפגשים

במשולש שווה שוקיים $△ A B C$ עם $A B = A C$ , $B E$ חוצה את $∠ B$ ו- $C F$ חוצה את $∠ C$ . הוכיחו ש- $B E = C F$ .

A B = A C, B E חוצה ∠ B, C F חוצה ∠ C

חזרה על החומר