אימון מתמטיקה מודרך

תרגול: תיכון במשולש - הגדרה ומשוואות

תרגלו תיכון במשולש במתמטיקה לכיתה ח׳: דף עבודה אינטראקטיבי עם שאלות, תרגילים, משוב מיידי ופתרונות לחזרה למבחן.

להתחלת התרגול חזרה להסבר

תרגילים: 13
כיתה: כיתה ח׳
פרק: משולשים חופפים, תיכון במשולש, משולש שווה שוקיים

דף תרגולתרגול: תיכון במשולש - הגדרה ומשוואות

ניקוד0

התקדמות0/13

ציון0/0

תרגול: תיכון במשולש - הגדרה ומשוואות

חזרו על ההגדרה והקטעים המיוחדים האחרים.

$math/020-math book$ כרטיסי תיכון

תיכון

לחצו לגלות

קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו. שני תנאים: יוצא מקודקוד + מגיע לאמצע.

לחצו לחזור

אמצע צלע

לחצו לגלות

$B D = D C$ - שני חלקי הצלע שווים.

לחצו לחזור

גובה

לחצו לגלות

קטע מאונך לצלע. אינו בהכרח תיכון.

לחצו לחזור

חוצה זווית

לחצו לגלות

מחלק זווית קודקוד לחצי. אינו בהכרח מגיע לאמצע הצלע.

לחצו לחזור

אנך אמצעי

לחצו לגלות

מאונך לצלע באמצעה. אינו בהכרח עובר דרך קודקוד.

לחצו לחזור

שלושה תיכונים

לחצו לגלות

בכל משולש יש שלושה תיכונים, הנפגשים במרכז הכובד.

לחצו לחזור

חזרה על החומר

השלימו אורכים או סיווגים לפי הגדרת התיכון.

טוען סימולציה...

חזרה על החומר

בחרו תשובות שמבדילות בין תיכון, גובה, וחוצה זווית.

שאלה 1 מתוך 4

האם כל תיכון הוא גם גובה?

חזרה על החומר

השתמשו בכך שתיכון מחלק את הצלע לשני חלקים שווים.

מוצאים אורך חסר

בינוני

$A D$ תיכון, $B D = x + 2$ ו- $D C = 10$ . מצאו את $x$ .

B D = x + 2, D C = 10, A D תיכון

חזרה על החומר

פתרו משוואה עם נעלם בשני האגפים.

משוואה דו-משתנית

מאתגר

$A M$ תיכון, $B M = 4 y - 3$ ו- $M C = y + 9$ . מצאו את $y$ , את $B M$ ואת $B C$ .

B M = 4 y - 3, M C = y + 9, A M תיכון

חזרה על החומר

מסקנה לכל אחד משלושת התיכונים.

תיכון לכל הצלעות

בינוני

במשולש $△ A B C$ הצלעות הן: $A B = 10$ , $B C = 16$ , $C A = 12$ . $A D$ תיכון לצלע $B C$ , $B E$ תיכון לצלע $C A$ , ו- $C F$ תיכון לצלע $A B$ . מצאו את $B D, C E, A F$ .

A B = 10, B C = 16, C A = 12

חזרה על החומר

תיכון, גובה, חוצה זווית, אנך אמצעי.

מבחינים בין הקטעים

מאתגר

במשולש כללי $△ A B C$ (לא שווה שוקיים), קטע $A D$ מצויר מקודקוד $A$ ל- $D$ שעל $B C$ . נתון $B D = D C$ . האם $A D$ הוא: (1) תיכון? (2) גובה? (3) חוצה זווית?

B D = D C במשולש כללי

חזרה על החומר

למה ציור לא מספיק.

שאלה לחשיבה

תלמיד אומר: "בציור הזה ברור ש- $D$ באמצע $B C$ , ולכן $A D$ תיכון. אין צורך בנתון אלגברי." האם הוא צודק? למה?

התלמיד לא צודק. בגאומטריה, ציור הוא כלי עזר ויזואלי, אבל לא נתון מדויק. סיבות שאסור להסתמך על מראה הציור: (1) דיוק לא מוחלט - הציור נעשה ביד או במחשב, ויכולה להיות סטייה. (2) הוכחה צריכה לעבוד לכל מקרה - אם נסתמך על ציור ספציפי, ההוכחה לא תקפה למשולשים אחרים. (3) חוקיות מתמטית - הוכחה גאומטרית דורשת נימוקים מוחלטים, לא משוערים. הנימוק הנכון: צריך נתון מפורש שאומר $B D = D C$ , או סימון של אמצע על הציור (כמו שני קווים קטנים זהים), או מסקנה ממשפט מוכר. לדוגמה, אם נתון שהמשולש שווה שוקיים והקטע יוצא מהראש, אז יש משפט שאומר שהוא מגיע לאמצע.

חזרה על החומר

התיכונים נפגשים בנקודה אחת.

שאלה לחשיבה

למה דווקא בכל משולש שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת? מה המשמעות של תכונה זו?

התכונה הזו (שלושה תיכונים נפגשים בנקודה אחת) היא תכונה כללית של כל משולש - לא מקרית, אלא תוצאה של הסימטריה הבסיסית של מבנה המשולש. נקודת המפגש נקראת מרכז הכובד. תכונה נוספת: מרכז הכובד מחלק כל אחד מהתיכונים ביחס $2 : 1$ , כשהחלק הארוך יותר מצד הקודקוד. משמעות פיזיקלית: אם נחתוך משולש מנייר, הנקודה הזו היא הנקודה היחידה שעליה ניתן לאזן את המשולש על קצה עיפרון. אם המשולש מורכב משלוש מסות שוות בקודקודים, מרכז הכובד הוא הממוצע של מיקומיהן. תכונת שטח יפה: כל אחד משלושת התיכונים מחלק את המשולש לשני חלקים בעלי שטח שווה. שלושת התיכונים יחד מחלקים את המשולש לשישה משולשים בעלי שטח שווה. תכונה זו אינה תקפה לגובה או חוצה זווית - היא ייחודית לתיכון.

חזרה על החומר

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.

דוגמה 3 - תיכון לצלע נתונה

שלב 1 מתוך 3

במשולש

△ P QR

, התיכון

P M

מצוייר לצלע

QR

. נתון

QR = 18

. מצאו את

QM

ואת

M R

תיכון לצלע $QR$ מגיע לאמצעה.

M = אמצע (QR)

חזרה על החומר

השלימו כל שלב בפתרון המודרך.

$math/017-ruler$ חישוב מספרי - אורך תיכון בעזרת קואורדינטות

שלב 1 מתוך 4

במשולש

△ A B C

, הקודקודים הם

A (0, 0), B (6, 0), C (2, 8)

. מצאו את אורך התיכון מ-

A

התיכון מ- $A$ מגיע לאמצע הצלע $B C$ . נמצא את אמצע $B C$ .

M = אמצע B C

חזרה על החומר

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 4 - שני ביטויים אלגבריים

מאתגר

במשולש $△ A B C$ , $A M$ תיכון לצלע $B C$ . נתון $B M = 4 y - 3$ ו- $M C = y + 9$ . מצאו את $y$ , את $B M$ ואת $B C$ .

B M = 4 y - 3, M C = y + 9

חזרה על החומר

פתרו והגישו תשובה.

תרגול 5 - תיכון בכל המשולש

מאתגר

במשולש $△ A B C$ צלעות $A B = 8$ , $B C = 10$ , $C A = 12$ . $A D$ תיכון לצלע $B C$ , $B E$ תיכון לצלע $C A$ , ו- $C F$ תיכון לצלע $A B$ . מצאו את $B D$ , $C E$ ו- $A F$ .

A B = 8, B C = 10, C A = 12

חזרה על החומר