תרגול: תיכון במשולש - הגדרה ומשוואות

התלמיד לא צודק. בגאומטריה, ציור הוא כלי עזר ויזואלי, אבל לא נתון מדויק. סיבות שאסור להסתמך על מראה הציור: (1) דיוק לא מוחלט - הציור נעשה ביד או במחשב, ויכולה להיות סטייה. (2) הוכחה צריכה לעבוד לכל מקרה - אם נסתמך על ציור ספציפי, ההוכחה לא תקפה למשולשים אחרים. (3) חוקיות מתמטית - הוכחה גאומטרית דורשת נימוקים מוחלטים, לא משוערים. הנימוק הנכון: צריך נתון מפורש שאומר $BD=DC$, או סימון של אמצע על הציור (כמו שני קווים קטנים זהים), או מסקנה ממשפט מוכר. לדוגמה, אם נתון שהמשולש שווה שוקיים והקטע יוצא מהראש, אז יש משפט שאומר שהוא מגיע לאמצע.

התכונה הזו (שלושה תיכונים נפגשים בנקודה אחת) היא תכונה כללית של כל משולש - לא מקרית, אלא תוצאה של הסימטריה הבסיסית של מבנה המשולש. נקודת המפגש נקראת מרכז הכובד. תכונה נוספת: מרכז הכובד מחלק כל אחד מהתיכונים ביחס $2:1$, כשהחלק הארוך יותר מצד הקודקוד. משמעות פיזיקלית: אם נחתוך משולש מנייר, הנקודה הזו היא הנקודה היחידה שעליה ניתן לאזן את המשולש על קצה עיפרון. אם המשולש מורכב משלוש מסות שוות בקודקודים, מרכז הכובד הוא הממוצע של מיקומיהן. תכונת שטח יפה: כל אחד משלושת התיכונים מחלק את המשולש לשני חלקים בעלי שטח שווה. שלושת התיכונים יחד מחלקים את המשולש לשישה משולשים בעלי שטח שווה. תכונה זו אינה תקפה לגובה או חוצה זווית - היא ייחודית לתיכון.