מציאת ערך האחוז

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

מציאת ערך האחוז היא פעולה של לקיחת חלק מהשלם. נלמד לבחור בין שבר נוח, עשרוני וכפל ישיר, כדי שהחישוב יהיה גם קצר וגם מובן.

לתרגם אחוז למקדם

נראה כיצד

25%

הופך ל-

0.25

או ל-

\frac{1}{4}

לבחור דרך חישוב

נשתמש בשבר נוח כשאפשר, ובעשרוני כשזה מתאים יותר.

לבדוק את גודל התשובה

נשווה את התוצאה לשלם ונבדוק אם היא קטנה או גדולה ממנו כפי שצריך.

מפת דרך לפתרון

כשמבקשים לחשב אחוז מתוך כמות, יש שתי דרכים נוחות: הכפלה במקדם עשרוני או חישוב דרך 1% ואז כפל. שלושת השלבים שלפנינו מסכמים מתי כל דרך מתאימה.

שלוש החלטות שעושות סדר

$math/003-pie chart$

שבר נוח

$25%$ הם רבע.

$12.5%$ הם שמינית.

דרך זו מצוינת כשמחלקים מספרים עגולים.

$math/025-numbers$

עשרוני

ממירים ל- $p /100$ .

כופלים בשלם.

מתאים לכל אחוז, גם לא נוח כשבר פשוט.

סבירות

אחוז קטן מ-100 נותן חלק קטן מהשלם.

אם יצא יותר מהשלם, בודקים את ההמרה.

אם האחוז מעל 100, תוצאה גדולה יכולה להיות נכונה.

הבנה מרכזית

כאן נחשב כמה הוא חלק מסוים מתוך שלם נתון. הקלט הוא תמיד שניים: השלם והאחוז שמבקשים, והפלט הוא המספר הקונקרטי שנובע מהם.

$math/030-equation$ החלק מתקבל בכפל

כדי למצוא ערך של אחוז, ממירים את האחוז לשבר או לעשרוני ומכפילים בשלם.

אם מחפשים $25%$ מתוך 240, לא מחלקים ב-25. קודם כותבים $25% = 0.25$ , ואז מכפילים ב-240.

$\frac{p}{100} \cdot W$

אם האחוז קטן מ-100%, החלק צריך להיות קטן מהשלם. זהו מבחן סבירות מהיר.

טוען סימולציה...

ערך האחוז מתוך שלם

\frac{p}{100} \cdot W

תמונה הממחישה מציאת ערך אחוז מתוך שלם בעזרת תג מחיר וחלק מודגש — כאשר השלם ידוע, האחוז מתורגם לחלק יחסי ממנו.

קיצורי חישוב שימושיים

אחוז	פעולה מהירה	דוגמה מתוך 240
$10%$	לחלק ב- $10$	$24$
$25%$	רבע מהשלם	$60$
$50%$	חצי מהשלם	$120$

* קיצור טוב הוא כזה שאפשר להסביר בעזרת שבר.

דוגמה פתורה

ניקח אחוז מסוים מכמות ידועה ונראה איך מגיעים לערך הסופי. עקבו אחרי הצעדים: זיהוי השלם, המרה לעשרוני וכפל.

כמה הם $25%$ מתוך 240?

שלב 1 מתוך 3

מצאו

25%

מתוך

240

איזה שבר שקול ל- $25%$ ?

$math/027-notepad$ דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כאן השלם גדול יותר והאחוז קטן יותר, אבל אותה טכניקה עובדת. המטרה היא לראות שעקרון הכפל באחוז כעשרוני אינו תלוי בגודל המספרים.

$math/026-reason$ $12.5%$ כשמינית

שלב 1 מתוך 3

כמה הם

12.5%

מתוך

320

איזה שבר נוח מייצג $12.5%$ ?

עוד ייצוגים ודוגמאות

המבצעים בחנות, החישובים על שכר ואפילו תחזיות מזג אוויר כולם משתמשים בחישוב אחוז מכמות. הדוגמאות הבאות חושפות את אותה פעולה במגוון הקשרים.

דוגמאות קצרות

$15%$ מתוך 200

$0.15 \cdot 200 = 30$ . קודם ממירים, אחר כך מכפילים.

$12.5%$ מתוך 80

$12.5% = \frac{1}{8}$ , ולכן התוצאה היא $10$ .

אומדן

$18%$ מתוך 350 קרוב ל- $20%$ מתוך 350, כלומר קצת פחות מ- $70$ .

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הכי שכיחה כאן היא לכפול במספר האחוזים במקום במקדם העשרוני שלהם, ולקבל תוצאה גדולה פי 100. נראה איך מזהים את הטעות עוד לפני שמסיימים את החישוב.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

לחלק את השלם באחוז עצמו, למשל $240 \div 25$ .

החשיבה הנכונה

האחוז הוא מקדם כפל אחרי שמחלקים אותו ב-100.

בדיקת סבירות

אם האחוז קטן מ-100%, התוצאה צריכה להיות קטנה מהשלם.

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול כדאי לוודא שאתם יודעים להפריד בין השלם לבין האחוז המבוקש. הטבלה הבאה מסכמת לאיזו פעולה כל מצב מוביל.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
האם האחוז נוח כשבר?	מחפשים $50%, 25%, 10%, 12.5%$	שבר נוח מקצר את הדרך
האם צריך עשרוני?	מחלקים את האחוז ב- $100$	כך כל אחוז הופך למקדם כפל
האם התוצאה הגיונית?	משווים לשלם ולנקודות ייחוס	בדיקה זו מגלה המרה שגויה

* הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

תרגלו עכשיו חישוב של חלק מתוך שלם בכוחות עצמכם. נסו תחילה את הדרך הזריזה דרך מקדם עשרוני, ואז השוו לפתרון המודרך.

חישוב ישיר

בסיסי

מצאו $18%$ מתוך $350$ .

0.18 \cdot 350

אחוז נוח כשבר

בינוני

מצאו $12.5%$ מתוך $80$ .

12.5% \cdot 80

שלוש דרכים לאותו אחוז

מאתגר

מצאו $37.5%$ מתוך $240$ .

37.5% מתוך 240

שאלות חשיבה

שאלה לחשיבה

איך אפשר לדעת במהירות אם $18%$ מתוך $350$ קרוב לתשובה נכונה?

אפשר להשוות ל- $20%$ מתוך $350$ , שהם $70$ . לכן $18%$ צריכים להיות קצת פחות, והתוצאה $63$ סבירה.

שאלה לחשיבה

למה $12.5%$ הוא אחוז שימושי במיוחד?

כי $12.5% = \frac{1}{8}$ . במקום כפל עשרוני אפשר למצוא שמינית מהשלם, ולעיתים זה חישוב מהיר וברור יותר.

לפני החידון

שאלו את עצמכם: איך הייתם מסבירים לחבר למה כופלים בעשרוני ולא במספר האחוזים עצמו? הסבר טוב הוא הסימן שהמושג ברור.

זהו מהו השלם או הבסיס.
בחרו נוסחה או ייצוג.
בדקו שהתוצאה סבירה בהקשר.

אחוזים בחיי היומיום - מבצעים, מסים ותשרים

מציאת ערך אחוז היא המיומנות הכי שימושית בנושא. בכל פעם שאנחנו רואים מבצע בחנות, מקבלים שכר עם תשר, או רואים מע"מ בחשבון, אנחנו עושים את החישוב הזה.

שלושה הקשרים, אותו חישוב

הנחה

$20%$ הנחה על מחיר $150$ ש"ח. הסכום שחוסכים: $0.2 \cdot 150 = 30$ ש"ח.

מע"מ

מע"מ של $18%$ על מוצר ב- $200$ ש"ח: $0.18 \cdot 200 = 36$ ש"ח מס.

תשר במסעדה

תשר $10%$ על חשבון של $80$ ש"ח: $0.1 \cdot 80 = 8$ ש"ח.

אסטרטגיות מנטליות

$math/002-calculator$

$10%$ = חלוקה ב- $10$

החישוב המהיר ביותר. $10%$ מ- $450$ ש"ח: מזיזים נקודה - $45$ ש"ח.

$1%$ = חלוקה ב- $100$

אבן בניין לכל אחוז אחר. $1%$ מ- $450$ הוא $4.5$ ש"ח.

$50%$ = חצי

שווה לחלק את השלם בשניים. $50%$ מ- $450$ הם $225$ ש"ח.

$25%$ = רבע

שווה לחלק את השלם בארבע. $25%$ מ- $400$ הם $100$ ש"ח.

דוגמה פתורה: סופר־מבצע

מחשבים מחיר אחרי הנחה

שלב 1 מתוך 4

מחיר חולצה:

180

ש"ח. ההנחה:

30%

. כמה חוסכים וכמה משלמים?

מהו השלם בשאלה הזו?

מחיר אחרי תוספת מע"מ

שלב 1 מתוך 2

מחיר ברוטו של מוצר לפני מע"מ:

500

ש"ח. שיעור מע"מ:

18%

. מה המחיר הסופי?

מחשבים את המע"מ.

0.18 \cdot 500 = 90

מקרה קצה: $100%$ ויותר

$math/020-math book$ $150%$ מ- $40$

שלב 1 מתוך 3

כמה הם

150%

מ-

40

ממירים לעשרוני.

150% = 1.5

טעויות נפוצות נוספות