מקדם כיפלי

אחוזים, סטטיסטיקה והסתברות

מה נלמד כאן

מקדם כיפלי הוא הדרך הקצרה לתאר שינוי באחוזים. במקום לחשב את השינוי בנפרד, כופלים את הערך המקורי במספר שמספר מה נשאר או למה גדלנו.

לבנות מקדם

נלמד למה עלייה של

18%

היא כפל ב-

1.18

להבין הנחה

נראה שהנחה של

30%

משאירה

70%

, כלומר מקדם

0.7

לקרוא מקדם

נזהה מתוך מקדם אם הייתה עלייה או ירידה ומה אחוז השינוי.

מפת דרך לפתרון

כדי לבנות מקדם הכפלה צריך לדעת אם מדובר בעלייה או בירידה, ובכמה אחוזים. שלושת השלבים שלפנינו מסכמים איך לעבור משפת אחוזים לשפת מקדם.

שלוש החלטות שעושות סדר

עלייה

מתחילים מ- $1$ .

מוסיפים את האחוז כעשרוני.

$+ 20%$ נותן $1.2$ .

ירידה

מתחילים מ- $1$ .

מחסרים את האחוז כעשרוני.

$- 20%$ נותן $0.8$ .

קריאת המקדם

מקדם מעל $1$ הוא עלייה.

מקדם מתחת $1$ הוא ירידה.

המרחק מ- $1$ הוא אחוז השינוי.

הבנה מרכזית

כשמייקרים ב-20% או מוזילים ב-15%, אפשר להגיע לתוצאה במכה אחת בעזרת מספר אחד - מקדם הכפלה. ננסה תחילה להבין מה המקדם הזה מייצג, ואז נחשב איתו.

$math/003-pie chart$ שינוי באחוזים הוא כפל

עלייה של $20%$ משאירה את כל השלם ומוסיפה עוד $20%$ . לכן המקדם הוא $1.2$ . הוזלה של $20%$ משאירה $80%$ , ולכן המקדם הוא $0.8$ .

המקדם הכיפלי מתאר את הערך החדש ביחס לישן. הוא מונע את הטעות של חיבור אחוזים בלי בסיס.

$חדש = ישן \cdot (1 \pm \frac{p}{100})$

מקדם גדול מ-1 מתאר עלייה. מקדם קטן מ-1 מתאר ירידה.

טוען סימולציה...

מקדם כיפלי לשינוי

חדש = ישן \cdot (1 \pm \frac{p}{100})

דוגמה פתורה

ניקח עלייה באחוזים ונמיר אותה ישירות למקדם. שימו לב כיצד 1 שמסמל את הסכום המקורי משחק כאן תפקיד מרכזי.

עלייה של $18%$

שלב 1 מתוך 2

מחיר

250

ש״ח עלה ב-

18%

. מצאו את המחיר החדש בעזרת מקדם כיפלי.

איזה מקדם מתאים לעלייה של $18%$ ?

$math/027-notepad$ דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה ירידה במחיר. במקום להוסיף, נחסיר מ-1, ושוב כפל יחיד יתן לנו את המחיר החדש. הסימטריה בין עלייה לירידה היא גם הקסם של המקדם.

$math/025-numbers$ ממקדם לאחוז שינוי

שלב 1 מתוך 3

מחיר הוכפל במקדם

0.72

. איזה שינוי באחוזים התרחש?

האם מדובר בעלייה או ירידה?

עוד ייצוגים ודוגמאות

מקדם 1.05 הוא 5% תוספת, מקדם 0.7 הוא הנחה של 30%, ומקדם 2 פירושו הכפלת הסכום. הדוגמאות הבאות מתרגמות כל פעם בין שפת המקדם לשפת האחוזים.

$math/030-equation$ דוגמאות קצרות

הנחה של $35%$

המקדם הוא $1 - 0.35 = 0.65$ .

עלייה של $12%$

המקדם הוא $1 + 0.12 = 1.12$ .

למצוא אחוז מתוך מקדם

מקדם $0.73$ אומר שנשארו $73%$ , כלומר ירידה של $27%$ .

טעות נפוצה ובדיקה

הטעות הכי שכיחה היא לרשום מקדם 0.05 לעלייה של 5% במקום 1.05, או 0.30 להנחה של 30% במקום 0.70. נראה איך אפשר לתפוס את הבלבול במכה אחת.

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

להשתמש ב- $0.18$ כערך החדש אחרי עלייה של $18%$ .

החשיבה הנכונה

בעלייה שומרים $100%$ ומוסיפים עוד $18%$ , לכן המקדם הוא $1.18$ .

בדיקת סבירות

מקדם של עלייה חייב להיות גדול מ-1.

בדיקת סבירות קצרה חוסכת הרבה פתרונות שנראים חישובית אבל אינם מתאימים לסיפור.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול כדאי שיהיה לכם בראש קישור מהיר בין אחוז לבין המקדם המתאים. הטבלה שלפנינו מסכמת את הקישורים הנפוצים.

בדיקות שמונעות טעויות

שאלה שבודקים	מה עושים	למה זה חשוב
האם המקדם מעל 1?	מפרשים כעלייה	הערך החדש גדול מהמקורי
האם המקדם מתחת 1?	מפרשים כירידה	הערך החדש קטן מהמקורי
מה המרחק מ-1?	ממירים לאחוז שינוי	כך לא מבלבלים בין נשאר לבין ירד

* הטבלה אינה מחליפה פתרון מלא, היא עוזרת לבחור דרך ולבדוק סבירות.

תרגול עצמי

תרגלו את המעבר בין אחוז לבין מקדם בלי לכתוב את החישוב המלא. ככל שהקישור הזה יהפוך אוטומטי, יקל עליכם בכל שאר הסעיפים בפרק.

מקדם להנחה

בסיסי

מהו המקדם הכיפלי להנחה של $35%$ ?

1 - 0.35

מחיר אחרי עלייה

בינוני

מחיר $180$ ש״ח עלה ב- $12%$ . מצאו את המחיר החדש.

180 \cdot 1.12

לקרוא מקדם מתוך סיפור

מאתגר

מספר גדל ב- $12%$ ואז כופלים אותו במקדם נוסף $0.95$ . כתבו את המקדם הכולל.

1.12 \cdot 0.95

שאלות חשיבה

שאלה לחשיבה

מה מספר המקדם יכול לספר עוד לפני החישוב?

אם המקדם גדול מ-1, הערך החדש גדול מהישן. אם המקדם בין 0 ל-1, הערך החדש קטן מהישן. כך אפשר לבדוק סבירות מיד.

שאלה לחשיבה

למה מקדם כיפלי שימושי בשינויים עוקבים?

כי כל שינוי משנה את הבסיס לשינוי הבא. כפל מקדמים שומר על הסדר הזה, ואילו חיבור אחוזים מתעלם מהבסיס החדש.

לפני החידון

שאלו את עצמכם: למה מקדם של עלייה תמיד גדול מ-1, ומקדם של ירידה תמיד בין 0 ל-1? תשובה ברורה לכך היא הסימן שהמושג בידיים שלכם.

זהו מהו השלם או הבסיס.
בחרו נוסחה או ייצוג.
בדקו שהתוצאה סבירה בהקשר.

מקדם כיפלי בחיים

מקדם כיפלי הוא הקיצור החזק של אחוזים. במקום שני שלבים (חישוב הנחה ואז חיסור), נכפיל פעם אחת בלבד. זה חוסך זמן, מצמצם טעויות, ומאפשר ביצוע שינויים עוקבים בקלות.

שלושה מקדמים שכדאי להכיר

הנחה $10%$

מקדם $\times 0.9$ . משלמים $90%$ מהמחיר.

התייקרות $25%$

מקדם $\times 1.25$ . המחיר החדש $125%$ מהישן.

מע"מ $18%$

מקדם $\times 1.18$ . הסכום הסופי כולל את המס.

ארבעה מקדמים מהירים

חצי

מקדם $\times 0.5$ = הנחה של $50%$ , או $\frac{1}{2}$ מהשלם.

רבע

מקדם $\times 0.25 = \frac{1}{4}$ מהשלם.

פי שניים

מקדם $\times 2$ = הכפלה. אחוז: $+ 100%$ .

ללא שינוי

מקדם $\times 1 = 100%$ . שמירה על הערך.

דוגמה: הנחה ישירה

חישוב במכפלה אחת

שלב 1 מתוך 3

מחיר חולצה:

200

ש"ח. הנחה:

30%

. חשבו את המחיר אחרי ההנחה בפעולה אחת.

מחיר אחרי הנחה = $100% - 30% = 70%$ מהמחיר.

100% - 30% = 70%

דוגמה: התייקרות

מקדם של התייקרות

שלב 1 מתוך 2

מחיר עלה ב-

25%

. המחיר המקורי

80

ש"ח. מה המחיר החדש?

מחיר חדש = $100% + 25% = 125%$ .

125% = 1.25

מקרה קצה: מקדם $= 1$ ומקדם $= 0$

גבולות המקדמים

מקדם	מה זה אומר	אחוז שינוי
$0$	הערך הופך לאפס	ירידה של $100%$
$0.5$	הערך נחתך לחצי	ירידה של $50%$
$1$	הערך נשמר	אין שינוי ( $0%)$
$1.5$	הערך גדל בחצי	עלייה של $50%$
$2$	הערך מוכפל	עלייה של $100%$

* מקדם שלילי לא מתאים בהקשר אמיתי של מחירים או כמויות.

טעויות נפוצות

חיבור במקום כפל

הטעות

להניח שמקדם של $30%$ הנחה זה $1.7$ .

$math/049-venn diagram$ החשיבה הנכונה

מקדם של הנחה: $1 - 0.3 = 0.7$ , לא $1.7$ .

בדיקה

מקדם הנחה תמיד קטן מ- $1$ , מקדם התייקרות תמיד גדול מ- $1$ .

בלבול בכיוון השינוי

הטעות

להכפיל מחיר ב- $0.3$ כשרוצים הנחה של $30%$ .

החשיבה הנכונה

$0.3$ זה רק $30%$ מהמחיר. צריך לחסר מ- $1$ : $0.7$ .

בדיקה

אחרי הנחה, המחיר תמיד צריך להיות בין $0$ למחיר המקורי.

$math/026-reason$ חוקי המקדם

המקדם הוא הקיצור הכי שימושי באחוזים. כדאי לשנן את הקשרים האלה.

הנחה של $p %$ : מקדם $1 - \frac{p}{100}$ .
התייקרות של $p %$ : מקדם $1 + \frac{p}{100}$ .
מקדם $< 1$ = הקטנה.
מקדם $> 1$ = גידול.
מקדם $= 1$ = ללא שינוי.

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של מקדם כיפלי כבר מוכן.

פתחו תרגול

מקדם כיפלי

מה נלמד כאן

מפת דרך לפתרון

שלוש החלטות שעושות סדר

עלייה

ירידה

קריאת המקדם

הבנה מרכזית

שינוי באחוזים הוא כפל

דוגמה פתורה

עלייה של 18%

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

ממקדם לאחוז שינוי

עוד ייצוגים ודוגמאות

דוגמאות קצרות

הנחה של 35%

עלייה של 12%

למצוא אחוז מתוך מקדם

טעות נפוצה ובדיקה

לאן נופלים ואיך מתקנים

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

בדיקת עומק לפני תרגול

בדיקות שמונעות טעויות

תרגול עצמי

מקדם להנחה

מחיר אחרי עלייה

לקרוא מקדם מתוך סיפור

שאלות חשיבה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

לפני החידון

מקדם כיפלי בחיים

שלושה מקדמים שכדאי להכיר

הנחה 10%

התייקרות 25%

מע"מ 18%

ארבעה מקדמים מהירים

חצי

רבע

פי שניים

ללא שינוי

דוגמה: הנחה ישירה

חישוב במכפלה אחת

דוגמה: התייקרות

מקדם של התייקרות

מקרה קצה: מקדם =1 ומקדם =0

גבולות המקדמים

טעויות נפוצות

חיבור במקום כפל

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקה

בלבול בכיוון השינוי

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקה

חוקי המקדם

מעבר לדף התרגול של המודול

$math/003-pie chart$ שינוי באחוזים הוא כפל

עלייה של $18%$

$math/027-notepad$ דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

$math/025-numbers$ ממקדם לאחוז שינוי

$math/030-equation$ דוגמאות קצרות

הנחה של $35%$

עלייה של $12%$

הנחה $10%$

התייקרות $25%$

מע"מ $18%$

מקרה קצה: מקדם $= 1$ ומקדם $= 0$

$math/049-venn diagram$ החשיבה הנכונה

$math/026-reason$ חוקי המקדם