מציאת השלם לפי האחוז

מפת דרך לפתרון

כשמחפשים את השלם, לרוב נוח לחשב קודם 1% ואז להכפיל ב-100, או להציב את הנתונים במשוואה ולבודד את השלם. שלושת השלבים הבאים מסדרים את הבחירה.

שלוש החלטות שעושות סדר

משוואה

מסמנים את השלם ב-$W$.

כותבים אחוז כעשרוני.

פותרים את המשוואה.

יחס

חלק חלקי שלם שווה לאחוז.

משתמשים בפרופורציה.

נוח כשנתונים פשוטים.

בדיקה

מציבים את השלם שמצאנו.

בודקים שהאחוז ממנו נותן את החלק.

כך תופסים תשובה קטנה מדי.

הבנה מרכזית

כאן הסיפור הפוך מהרגיל: יודעים את החלק ואת האחוז שהוא מהווה, ומחפשים את השלם הסמוי. כדי שלא נתבלבל, נדגיש קודם איזה תפקיד יש לכל מספר במשפט.

דוגמה פתורה

בדוגמה הבאה ידוע החלק והאחוז, וצריך לשחזר את השלם. עקבו אחרי המעבר דרך 1% ושימו לב למה הכפלה ב-100 דווקא זו הצעד הסופי.

דוגמה נוספת שמחזקת את הרעיון

כעת ננסה גרסה שבה האחוז אינו עגול, אבל אותה לוגיקה עובדת. החלק נשאר חלק, האחוז עדיין מציין כמה ממאה, והשלם נחשב באותו אופן.

עוד ייצוגים ודוגמאות

בעיות של מציאת שלם מסתתרות לפעמים מאחורי שאלות שונות לחלוטין: כמה היה המחיר המקורי? כמה תלמידים יש בכיתה? הדוגמאות הבאות מראות כיצד לזהות את התבנית מבעד להקשר.

טעות נפוצה ובדיקה

טעות אופיינית כאן היא להתייחס לחלק כאילו הוא השלם, ולקבל מספר קטן בהרבה מהאמיתי. נראה איך משפט פשוט - 'החלק חייב להיות קטן מהשלם' - מבטל את הטעות הזו במקום.

בדיקת עומק לפני תרגול

לפני התרגול שווה לוודא שאתם מבחינים בין שאלה שמבקשת חלק לבין שאלה שמבקשת שלם. הטבלה הקצרה הבאה עוזרת לזהות זאת ממבט אחד.

תרגול עצמי

תורכם לשחזר שלמים מתוך מידע על חלקים. שאלו את עצמכם לפני כל חישוב: 'אם זה האחוז, למה זה שווה כשמדובר במאה?'

מציאת שלם פשוטה

בסיסי

$20\%$ ממספר הם $56$. מצאו את המספר.

$$0.2W=56$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

אחוז קטן

בינוני

$12\%$ מכמות הם $30$. מצאו את הכמות.

$$0.12W=30$$

רמז (1/2)

הצג פתרון

מחיר לפני הנחה

מאתגר

אחרי הנחה של $20\%$ מחיר חולצה הוא $96$ שקלים. מה היה המחיר המקורי?

$$0.8W=96$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

שאלות חשיבה

מציאת השלם בחיים האמיתיים

מציאת השלם היא הכיוון ההפוך - יודעים את החלק ויודעים מה האחוז שלו, ורוצים לשחזר את השלם. זה נפוץ בחישובי מס: 'שילמתי $177$ ש"ח שכוללים מע"מ של $18\%$, מה היה המחיר לפני המע"מ?'

שתי דרכי פתרון

משוואה

כותבים $\frac{p}{100}\cdot W=Q$ ומבודדים את $W$: $W=\frac{Q}{p/100}=\frac{100Q}{p}$.

יחס פרופורציה

אם $p\%=Q$, אז $1\%=\frac{Q}{p}$, ו-$100\%=\frac{100Q}{p}$.

מקדם כפל הפוך

מחלקים את החלק במקדם. $30\%$ מ-$W$ שווים $45$, אז $W=\frac{45}{0.3}=150$.

אומדן

אם $p\%$ קטן מ-$50\%$, השלם גדול מפי שניים מהחלק. אם גדול מ-$50\%$, השלם קטן מפי שניים.

דוגמה פתורה: סקר בכיתה

דוגמה פתורה: מחיר לפני מע"מ

טעויות נפוצות נוספות