חזקות של 10
מהמערכת העשרונית לסימון מדעי - חזקות של 10 בכל מקום
החזקה הכי שימושית
הכלל הפשוט: 10ⁿ = 1 עם n אפסים
חזקות של 10
| חזקה | ערך | שם |
|---|---|---|
| 10⁰ | 1 | אחד |
| 10¹ | 10 | עשר |
| 10² | 100 | מאה |
| 10³ | 1,000 | אלף |
| 10⁴ | 10,000 | עשרת אלפים |
| 10⁵ | 100,000 | מאה אלף |
| 10⁶ | 1,000,000 | מיליון |
| 10⁹ | 1,000,000,000 | מיליארד |
| 10¹² | 1,000,000,000,000 | טריליון |
* המעריך = מספר האפסים. פשוט ואלגנטי!
הקשר למערכת העשרונית
המערכת העשרונית שלנו בנויה על חזקות של 10. כל ספרה במספר מייצגת כמות של חזקה מסוימת:
פירוק מספר לחזקות של 10
איך המספר 235 בנוי?
235 = 2 * 10² + 3 * 10¹ + 5 * 10⁰
= 2 * 100 + 3 * 10 + 5 * 1
= 200 + 30 + 5
כל ספרה מוכפלת בחזקה של 10 לפי מיקומה:
- ספרת האחדות: 10⁰ = 1
- ספרת העשרות: 10¹ = 10
- ספרת המאות: 10² = 100
זו הסיבה שהמערכת שלנו נקראת "עשרונית" - היא מבוססת על בסיס 10.
חזקות שליליות של 10
מה קורה כשהמעריך שלילי? מקבלים שברים עשרוניים:
חזקות שליליות של 10
| חזקה | ערך | שם |
|---|---|---|
| 10⁻¹ | 0.1 | עשירית |
| 10⁻² | 0.01 | מאית |
| 10⁻³ | 0.001 | אלפית |
* חזקה שלילית = חלוקה. 10⁻² = 1/10² = 1/100 = 0.01.
הדפוס השלם
...10³ = 1000, 10² = 100, 10¹ = 10, 10⁰ = 1, 10⁻¹ = 0.1, 10⁻² = 0.01...
כשיורדים ב-1 במעריך, מחלקים ב-10. כשעולים ב-1, כופלים ב-10.
סימון מדעי
מדענים משתמשים בחזקות של 10 כדי לכתוב מספרים גדולים מאוד או קטנים מאוד בצורה נוחה. במקום 602,214,100,000,000,000,000,000 כותבים פשוט 6.022 · 10²³.
סימון מדעי - הצורה הסטנדרטית
חזקות שליליות של 10
המרה לסימון מדעי: 3,450,000
שלב 1 מתוך 3נכתוב את המספר עם נקודה עשרונית אחרי הספרה הראשונה
כפל של שני מספרים בסימון מדעי
שלב 1 מתוך 3נארגן: מכפלת המקדמים ומכפלת החזקות
סימון מדעי - דוגמאות
מספרים גדולים
3,000 = 3 * 10³
567 = 5.67 * 10²
4,500,000 = 4.5 * 10⁶
מספרים קטנים
0.003 = 3 * 10⁻³
0.056 = 5.6 * 10⁻²
0.00042 = 4.2 * 10⁻⁴
כפל וחילוק בחזקות של 10
כפל וחילוק בחזקות של 10 הם פשוטים במיוחד:
כפל בחזקה של 10
מזיזים את הנקודה העשרונית ימינה:
חילוק בחזקה של 10
מזיזים את הנקודה העשרונית שמאלה:
יחסים בין חזקות של 10
כמה פעמים גדול?
כלל:
לכן גדול פי מ-.
תרגול
סימון מדעי
כתבו 25,000 בסימון מדעי
רעידת אדמה: פי כמה חזק?
רעידת אדמה בעוצמה 6 בסולם ריכטר היא פי כמה חזקה (באמפליטודה) מרעידה בעוצמה 4?
כפל בסימון מדעי
חשבו: (4 × 10⁵) · (2 × 10³)
שאלה לחשיבה
כתבו 5,000,000 בעזרת חזקה של 10.
5,000,000 = 5 * 1,000,000 = 5 * 10⁶.
שאלה לחשיבה
כמה פעמים גדול 10⁵ מ-10²?
10⁵ / 10² = 10³ = 1,000 פעמים.
חזקות של 10 עוזרות לנו להבין סדרי גודל שקשה לתפוס:
- גודל אטום: כ-10⁻¹⁰ מטר (0.0000000001 מ')
- גודל חיידק: כ-10⁻⁶ מטר
- גובה בן אדם: כ-10⁰ מטר (1 מ')
- רדיוס כדור הארץ: כ-6.4 × 10⁶ מטר
- מרחק לשמש: כ-1.5 × 10¹¹ מטר
- מרחק לפרוקסימה קנטאורי: כ-4 × 10¹⁶ מטר
- אוכלוסיית העולם: כ-8 × 10⁹ (8 מיליארד)
- מספר הכוכבים ביקום הנראה: כ-10²⁴
- מספר אבוגדרו (חלקיקים במול): 6.022 × 10²³
סולם ריכטר מודד עוצמת רעידות אדמה. הוא לוגריתמי, מה שאומר: כל עלייה של נקודה אחת בסולם = פי 10 באמפליטודה (גודל התנודה). רעידה בעוצמה 7 אינה 'רק' פי 7/4 חזקה מעוצמה 4 - היא פי 10³ = 1000 חזקה יותר!
רעידות מפורסמות: יפן 2011 = 9.0 ריכטר; האיטי 2010 = 7.0; צ'ילה 1960 = 9.5 (החזקה ביותר שנרשמה). ההבדל בין יפן לצ'ילה: 0.5 נקודה = כפול √10 ≈ 3.16, אבל באנרגיה המשוחררת ההבדל עוד יותר גדול.
מחשב מבצע 10⁹ פעולות בשנייה (גיגהרץ). כמה פעולות הוא מבצע בשנה שלמה? נחשב: שנייה × דקה × שעה × יום × שנה ≈ 60 · 60 · 24 · 365 ≈ 3.15 · 10⁷ שניות בשנה.
אז 10⁹ · 3.15 · 10⁷ = 3.15 · 10¹⁶ פעולות בשנה - יותר מ-30 קווארדריליון. וזה מחשב בינוני. מעבדי-על מבצעים עוד הרבה יותר.
