שורשים ריבועיים של שברים

שורש של שבר = שורש המונה חלקי שורש המכנה

שורשים של שברים - קלים מהצפוי!

במודול הקודם למדנו שורשים של מספרים שלמים. עכשיו נרחיב לשברים. החדשות הטובות: הכלל פשוט ואלגנטי. פשוט מחשבים שורש של המונה ושורש של המכנה בנפרד.

הכלל המרכזי

√(a/b) = √a / √b

שברים עשרוניים

המרה לשבר ואז שורש

יישום

מציאת צלע ריבוע עם שטח שברי

הכלל: שורש של שבר

כלל שורש של מנה

\frac{a}{b} = \frac{a}{b} (a \geq 0, b > 0)

מחשבים שורש ריבועי של המונה ושל המכנה בנפרד, ואז מחלקים. זה עובד כל עוד המכנה חיובי.

חישוב √(49/121)

שלב 1 מתוך 2

\frac{49}{121}

נפצל לשורש של המונה ושורש של המכנה

= \frac{49}{121}

דוגמאות מפורטות

שורשים של שברים - צעד אחר צעד

√(1/4) = ?

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
בדיקה: $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$

√(9/16) = ?

$\frac{9}{16} = \frac{3}{4}$
בדיקה: $(\frac{3}{4})^{2} = \frac{9}{16}$

√(25/36) = ?

$\frac{25}{36} = \frac{5}{6}$
בדיקה: $(\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36}$

√(4/9) = ?

$\frac{4}{9} = \frac{2}{3}$
בדיקה: $(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$

√(1/100) = ?

$\frac{1}{100} = \frac{1}{10}$
בדיקה: $(\frac{1}{10})^{2} = \frac{1}{100}$

√(49/64) = ?

$\frac{49}{64} = \frac{7}{8}$
בדיקה: $(\frac{7}{8})^{2} = \frac{49}{64}$

שברים עשרוניים

גם שברים עשרוניים אפשר להמיר לשבר רגיל ולחשב שורש:

דוגמה: √1.44

שבר עשרוני אפשר להמיר לשבר פשוט.

צעד 1: ממירים - 1.44 = 144/100
צעד 2: שורש - √(144/100) = √144 / √100
צעד 3: חישוב - = 12/10 = 1.2

בדיקה: 1.2² = 1.44

כשרואים שבר עשרוני, ממירים אותו לשבר רגיל, ואז מחשבים שורש של מונה ומכנה בנפרד.

עוד שברים עשרוניים

√0.25 = ?

$0.25 = \frac{25}{100}$
$\frac{25}{100} = \frac{5}{10} =$ 0.5

√0.01 = ?

$0.01 = \frac{1}{100}$
$\frac{1}{100} = \frac{1}{10} =$ 0.1

√0.09 = ?

$0.09 = \frac{9}{100}$
$\frac{9}{100} = \frac{3}{10} =$ 0.3

√0.49 = ?

$0.49 = \frac{49}{100}$
$\frac{49}{100} = \frac{7}{10} =$ 0.7

חישובים עם שורשים של שברים

אפשר לחבר ולחסר שורשים של שברים, בדיוק כמו שורשים רגילים:

דוגמה: √(16/25) - √(9/25) = ?

$\frac{16}{25} = \frac{4}{5}$
$\frac{9}{25} = \frac{3}{5}$
$\frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$

חקירה: שורשים של שברים

השתמשו בסימולציה כדי לחקור את הקשר בין שבר לשורש הריבועי שלו. שנו את המונה ואת המכנה וראו כיצד הכלל $a / b = a / b$ פועל.

טוען סימולציה...

יישום גיאומטרי: ריבוע עם שטח שברי

כשנתון שטח ריבוע כשבר, מוצאים את הצלע בעזרת שורש:

שטח = 9/25 סמ"ר

צלע = $\frac{9}{25} = \frac{3}{5}$ ס"מ
בדיקה: $(\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}$

שטח = 49/64 סמ"ר

צלע = $\frac{49}{64} = \frac{7}{8}$ ס"מ
בדיקה: $(\frac{7}{8})^{2} = \frac{49}{64}$

מתי השורש לא רציונלי?

לא תמיד השורש של שבר הוא מספר רציונלי:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{2}{2}$ - מספר אי-רציונלי!
$\frac{3}{4} = \frac{3}{2}$ - גם אי-רציונלי!
הכלל: אם המונה או המכנה אינם ריבועים מושלמים, השורש יהיה אי-רציונלי

טעות נפוצה: שורש של סכום

$a + b$ אינו $a + b$ !

דוגמה: $9 + 16 = 25 = 5$ , אבל $9 + 16 = 3 + 4 = 7$ .
אלו תוצאות שונות! שורש לא מתפצל לסכום של שורשים.

תרגול

שורש שבר פשוט

בסיסי

חשבו: √(1/9)

\frac{1}{9}

שורש עשרוני

בינוני

חשבו: √0.64

0.64

שורש של שבר לא ריבועי

מאתגר

חשבו (או פשטו): √(25/49)

\frac{25}{49}

חשבו בלי מחשבון: √0.0009. נרמוז - המירו לשבר: 0.0009 = 9/10,000. לכן √0.0009 = 3/100 = 0.03. ככלל אצבע: ספירת העשרוניים בתוצאה היא חצי מספר העשרוניים בקלט.

שאלה לחשיבה

ריבוע עם שטח 49/64 סמ"ר. מה אורך צלעו?

צלע = $\frac{49}{64} = \frac{49}{64} = \frac{7}{8}$ ס"מ.

שאלה לחשיבה

חשבו: √(16/25) - √(9/25) = ?

$\frac{16}{25} = \frac{4}{5}$ , $\frac{9}{25} = \frac{3}{5}$ . לכן: $\frac{4}{5} - \frac{3}{5} = \frac{1}{5}$ .

כל שבר פשוט (a/b) הוא מספר רציונלי ונכתב כשבר עשרוני סופי או מחזורי. אבל √2 = 1.41421356... - הספרות לעולם לא חוזרות על עצמן ולא נגמרות. זה מה שהופך אותו לאי-רציונלי. רוב השורשים שנפגוש הם אי-רציונליים - רק שורשים של ריבועים מושלמים הם רציונליים.

שאלה 1 מתוך 5

ריבוע עם שטח 49/64 סמ"ר. מה אורך צלעו?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של שורשים ריבועיים של שברים כבר מוכן.

פתחו תרגול

שורשים ריבועיים של שברים

שורשים של שברים - קלים מהצפוי!

הכלל: שורש של שבר

חישוב √(49/121)

דוגמאות מפורטות

שורשים של שברים - צעד אחר צעד

√(1/4) = ?

√(9/16) = ?

√(25/36) = ?

√(4/9) = ?

√(1/100) = ?

√(49/64) = ?

שברים עשרוניים

דוגמה: √1.44

עוד שברים עשרוניים

√0.25 = ?

√0.01 = ?

√0.09 = ?

√0.49 = ?

חישובים עם שורשים של שברים

דוגמה: √(16/25) - √(9/25) = ?

חקירה: שורשים של שברים

יישום גיאומטרי: ריבוע עם שטח שברי

שטח = 9/25 סמ"ר

שטח = 49/64 סמ"ר

מתי השורש לא רציונלי?

טעות נפוצה: שורש של סכום

תרגול

שורש שבר פשוט

שורש עשרוני

שורש של שבר לא ריבועי

אתגר הרחבה: שורש של עשרוני ענק-קטן

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

שבר עשרוני מחזורי ושורשים

ריבוע עם שטח 49/64 סמ"ר. מה אורך צלעו?

שורשים ריבועיים של שברים

מעבר לדף התרגול של המודול