משוואות עם שברים אלגבריים

תחום תחילה, אחר כך מכנה משותף ופתרון

מה נבנה במודול הזה

במשוואה עם נעלם במכנה יש שני שלבים שאסור להחליף ביניהם: קודם קובעים אילו ערכים אסורים, ורק אחר כך מסלקים מכנים ופותרים.

לקבוע תחום

נרשום ערכים שאסור להציב לפני כל פעולה אלגברית.

לסלק מכנים

נשתמש במכנה משותף או בכפל בהצלבה כאשר הדבר מתאים.

לבדוק פתרון

נבטל תשובות שאינן בתחום גם אם יצאו מהחישוב.

הרעיון המרכזי

פתרון חייב לעמוד בתחום ההצבה

במשוואה $\frac{10}{x} = 2$ , הערך $x = 0$ אסור כי הוא מאפס את המכנה.

אחרי שקובעים תחום, אפשר להכפיל במכנה כדי לקבל משוואה ללא שבר. הפתרון שמתקבל חייב להיבדק גם במשוואה וגם בתחום.

$\frac{10}{x} = 2, x \neq = 0$

משוואה עם שבר אלגברי מסתיימת רק אחרי בדיקת תחום.

טוען סימולציה...

תמצית: פתרון חייב לעמוד בתחום ההצבה

\frac{10}{x} = 2, x \neq = 0

מה חייבים לדעת לעשות?

לקבוע תחום

נרשום ערכים שאסור להציב לפני כל פעולה אלגברית.

לסלק מכנים

נשתמש במכנה משותף או בכפל בהצלבה כאשר הדבר מתאים.

לבדוק פתרון

נבטל תשובות שאינן בתחום גם אם יצאו מהחישוב.

כאשר יש כמה מכנים, המכנה המשותף בנוי מכל הגורמים שמופיעים במכנים. בשלב זה עדיין לא מצמצמים פתרון אפשרי.

סוגי משוואות עם שברים אלגבריים

משוואה	תחום	רעיון פתרון
$\frac{10}{x} = 2$	$x \neq = 0$	כופלים ב- $x$
$\frac{x + 1}{x - 2} = 3$	$x \neq = 2$	כופלים ב- $x - 2$
$\frac{5}{x + 2} = 1$	$x \neq = - 2$	כופלים ב- $x + 2$

* תחום ההצבה נכתב לפני הפתרון ונבדק אחרי הפתרון.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

כאשר יש כמה מכנים, המכנה המשותף בנוי מכל הגורמים שמופיעים במכנים. בשלב זה עדיין לא מצמצמים פתרון אפשרי.

שורה ראשונה

תחום הצבה

$\frac{10}{x} = 2$

$x \neq = 0$ , ואז $x = 5$

בדיקה בסוף

בדיקה בתחום ובמקור.

שיטה מסודרת

מסלול פתרון מלא

תחום

בודקים כל מכנה.

רושמים ערכים אסורים.

לא ממשיכים בלי תחום.

כפל

כופלים במכנה המשותף.

נזהרים בסוגריים.

מפשטים למשוואה רגילה.

אישור

פותרים.

בודקים שהפתרון בתחום.

מציבים במשוואה המקורית.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

דוגמה פתורה: נעלם במכנה אחד

שלב 1 מתוך 4

\frac{10}{x} = 2

איזה ערך אסור?

תהליך פתרון מובנה - 5 שלבים

כל משוואה עם שבר אלגברי נפתרת בתהליך קבוע. אם תעקבו אחרי השלבים, פחות תטעו ופחות תפספסו את שלב התחום.

שלב 1: תחום הצבה. משווים כל מכנה לאפס ופותרים. רושמים את הערכים האסורים מעל הדף.
שלב 2: מכנה משותף. מוצאים מכנה משותף או מכפלה צולבת.
שלב 3: כפל בכל המשוואה. כופלים את כל המשוואה במכנה המשותף - כולל כל איברים בלי שברים.
שלב 4: פותרים את המשוואה הליניארית. עכשיו אין שברים - זו משוואה רגילה.
שלב 5: בודקים תחום. האם הפתרון שמצאנו נמצא בתחום? אם לא - דוחים. אם כן - הצבה במשוואה המקורית לבדיקה.

מצבי קצה במשוואות עם שברים אלגבריים

המצב	מה קורה	התשובה
פתרון בתחום	מצאנו $x$ , הוא בתחום	התשובה היא ה- $x$ שמצאנו
פתרון מדומה	מצאנו $x$ , אבל הוא מחוץ לתחום	אין פתרון
כל ה- $x$ ביטל	אחרי כפל ופישוט, ה- $x$ נעלם ויש משפט אמת	אינסוף פתרונות (בתחום)
סתירה	אחרי כפל מקבלים משפט שקר	אין פתרון

* פתרון מדומה הוא ייחודי לפרק זה. הוא נוצר בכפל במכנה ולא קיים במשוואות ליניאריות פשוטות.

דוגמה פתורה: מכנה שהוא ביטוי

\frac{x + 1}{x - 2} = 3

טעויות נפוצות

$math/030-equation$ פתרון שיצא מהחישוב לא תמיד מותר

דרך שמבלבלת

אם החישוב האלגברי נותן מספר, יש נטייה לקבל אותו מיד בלי לבדוק אם הוא מאפס מכנה.

דוגמה: פותרים ואז שוכחים את $x \neq = 2$

דרך בטוחה

בסיום משווים את הפתרון לרשימת הערכים האסורים. פתרון אסור נפסל גם אם התקבל בדרך חישוב תקינה.

דוגמה: $x = \frac{7}{2}$ מותר כי $\frac{7}{2} \neq = 2$

בדיקת תחום היא חלק מהפתרון, לא הערה בסוף.

למה הטעות הזאת מפתה?

הטעות נראית קצרה כי היא מדלגת על שלב כתיבה. בפרק הזה דילוג כזה כמעט תמיד מוחק תנאי: סימן, מכנה, גורם משותף או משמעות מילולית.

מה מפתה לעשות: אם החישוב האלגברי נותן מספר, יש נטייה לקבל אותו מיד בלי לבדוק אם הוא מאפס מכנה.
מה עושים במקום: בסיום משווים את הפתרון לרשימת הערכים האסורים. פתרון אסור נפסל גם אם התקבל בדרך חישוב תקינה.
בדיקת תחום היא חלק מהפתרון, לא הערה בסוף.

בדיקת דרך קצרה

בכל משוואה עם נעלם במכנה כתבו שורה ראשונה: תחום הצבה. רק אחרי השורה הזו מתחילים לפתור.

תחום הצבה.
מכנה משותף.
פתרון.
בדיקה בתחום ובמקור.

שאלה 1 מתוך 15

מה התחום של המשוואה $\frac{1}{x} + \frac{2}{x - 3} = 4$ ?

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של משוואות עם שברים אלגבריים כבר מוכן.

פתחו תרגול