מהו שוויון פונקציות הוא משוואה?

מתי שתי פונקציות שוות

השוואת ביטויים, נקודת חיתוך ופתרון משוואה

מה נבנה במודול הזה

כאשר שואלים מתי שתי פונקציות שוות, בעצם שואלים עבור איזה ערך של

x

שני הביטויים נותנים אותו

y

לכתוב משוואה

נשווה בין שני הביטויים של הפונקציות.

לפתור ולפרש

נמצא את ערך

x

שבו ערכי הפונקציות שווים.

לקשר לגרף

נבין שהפתרון הוא שיעור ה-

x

של נקודת החיתוך.

הרעיון המרכזי

שוויון פונקציות הוא משוואה

אם $f (x) = 2 x + 3$ ו- $g (x) = x + 8$ , השאלה מתי הן שוות הופכת למשוואה $2 x + 3 = x + 8$ .

הפתרון של המשוואה הוא ערך הקלט שבו שתי הפונקציות מחזירות אותו פלט. בגרף, זהו שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך בין הישרים.

$f (x) = g (x)$

אותה שאלה נראית אלגברית בטבלה ובמשוואה, וגרפית במערכת צירים.

טוען סימולציה...

תמצית: שוויון פונקציות הוא משוואה

f (x) = g (x)

מה חייבים לדעת לעשות?

לכתוב משוואה

נשווה בין שני הביטויים של הפונקציות.

לפתור ולפרש

נמצא את ערך $x$ שבו ערכי הפונקציות שווים.

לקשר לגרף

נבין שהפתרון הוא שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך.

אם לשתי פונקציות יש אותו שיפוע ואיבר חופשי שונה, אין ערך שבו הן שוות. אם שני הביטויים זהים, הן שוות לכל $x$ .

שלושה מצבים בהשוואת פונקציות

השוואה	פתרון	משמעות גרפית
$2 x + 3 = x + 8$	$x = 5$	נקודת חיתוך אחת
$4 x - 1 = 4 x + 7$	אין פתרון	ישרים מקבילים שונים
$3 x + 2 = 3 x + 2$	אינסוף פתרונות	אותו ישר

* זה אותו רעיון של אין פתרון ואינסוף פתרונות, בהקשר של פונקציות.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

אם לשתי פונקציות יש אותו שיפוע ואיבר חופשי שונה, אין ערך שבו הן שוות. אם שני הביטויים זהים, הן שוות לכל $x$ .

$f (x) = g (x)$

שאלה על שוויון בין פונקציות

פתרון יחיד

נקודת חיתוך אחת

בדיקה בסוף

פרשו: חיתוך, מקבילים או אותו ישר.

שיטה מסודרת

איך משווים פונקציות

משווים ביטויים

כותבים $f (x) = g (x)$ .

שומרים על הסדר.

לא משווים רק שיפועים.

$math/030-equation$

פותרים

מכנסים איברים.

בודקים אם יש פתרון יחיד.

מזהים גם אין פתרון ואינסוף.

מפרשים

פתרון יחיד הוא חיתוך.

אין פתרון הוא מקבילים.

אינסוף הוא אותו ישר.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

הקשר הקריטי: משוואה ↔ נקודת חיתוך

כשפותרים $f (x) = g (x)$ , התשובה המספרית היא ה- $x$ שבו שני הגרפים מצטלבים. כדי למצוא את ה- $y$ של נקודת החיתוך, מציבים את ה- $x$ שמצאנו באחת הפונקציות (לא משנה איזו - שתיהן ייתנו אותה תוצאה). הזוג $(x, y)$ הוא נקודת החיתוך.

דוגמה: $y_{1} = 2 x + 1$ , $y_{2} = - x + 7$ . השוואה: $2 x + 1 = - x + 7 \Rightarrow x = 2$ . מציבים: $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$ . נקודת החיתוך: $(2, 5)$ . אפשר לבדוק עם הפונקציה השנייה: $y = - 2 + 7 = 5$ ✓.