מהו צמצום הוא חלוקה בגורם משותף?

בשבר \frac, המונה מתפרק ל-x(x+3). רק אחרי שהמונה והמכנה כתובים כמכפלה אפשר לצמצם את הגורם x. תחום ההצבה נשאר x\ne0. הצמצום משנה צורה, אבל אינו מבטל את ההגבלות של השבר המקורי.

צמצום שברים אלגבריים

מצמצמים גורמים, לא איברים מתוך סכום

מה נבנה במודול הזה

צמצום שבר אלגברי דומה לצמצום שבר מספרי, אבל יש כלל חשוב: מצמצמים רק גורמים במכפלה, ולא איברים שמחוברים או מחוסרים.

לקבוע תחום

נבדוק ערכים שמאפסים את המכנה לפני הצמצום.

לפרק לגורמים

נהפוך סכומים למכפלות כשאפשר.

לצמצם נכון

נמחק גורם משותף שמופיע במונה ובמכנה כולו.

הרעיון המרכזי

צמצום הוא חלוקה בגורם משותף

בשבר $\frac{x ^{2} + 3 x}{x}$ , המונה מתפרק ל- $x (x + 3)$ .

רק אחרי שהמונה והמכנה כתובים כמכפלה אפשר לצמצם את הגורם $x$ . תחום ההצבה נשאר $x \neq = 0$ .

$\frac{x ( x + 3 )}{x} = x + 3, x \neq = 0$

הצמצום משנה צורה, אבל אינו מבטל את ההגבלות של השבר המקורי.

טוען סימולציה...

תמצית: צמצום הוא חלוקה בגורם משותף

\frac{x ( x + 3 )}{x} = x + 3, x \neq = 0

מה חייבים לדעת לעשות?

לקבוע תחום

נבדוק ערכים שמאפסים את המכנה לפני הצמצום.

לפרק לגורמים

נהפוך סכומים למכפלות כשאפשר.

לצמצם נכון

נמחק גורם משותף שמופיע במונה ובמכנה כולו.

אם רואים סימן חיבור במונה או במכנה, אי אפשר לצמצם חלק אחד ממנו לפני פירוק לגורמים.

צמצום מותר מול אסור

שבר	פעולה	תוצאה
$\frac{x ^{2} + 3 x}{x}$	מפרקים $x (x + 3)$	$x + 3, x \neq = 0$
$\frac{2 x + 6}{4 x + 12}$	מפרקים $2 (x + 3), 4 (x + 3)$	$\frac{1}{2}, x \neq = - 3$
$\frac{x + 5}{x}$	אין גורם משותף לכל המונה	לא מצמצמים את $x$ מתוך סכום

* צמצום חוקי הוא צמצום של גורם שלם.

הטבלה נותנת מבט מהיר, אבל היא אינה תחליף לשאלה: מה המבנה של הביטוי או המשוואה, ומה הפעולה הראשונה ששומרת על כל התנאים?

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

אם רואים סימן חיבור במונה או במכנה, אי אפשר לצמצם חלק אחד ממנו לפני פירוק לגורמים.

צמצום

חלוקה בגורם משותף

אסור

לצמצם איבר מתוך סכום

בדיקה בסוף

שמירת הגבלות.

שיטה מסודרת

מסלול צמצום בטוח

תחום

בודקים מכנה מקורי.

כותבים ערכים אסורים.

שומרים אותם לסוף.

פירוק

מוציאים גורם משותף.

פותחים תבניות מוכרות.

מחפשים מכפלות.

צמצום

מצמצמים גורם משותף.

לא מצמצמים איבר מסכום.

כותבים תוצאה עם תחום.

לפני שמתרגלים לבד, כדאי לראות פתרון מלא ולשים לב למה כל שלב עושה. החישוב חשוב, אבל ההסבר הוא מה שמונע טעות בשאלה הבאה.

דוגמה פתורה: גורם $x$

שלב 1 מתוך 3

\frac{x ^{2} + 3 x}{x}

איזה ערך אסור?

החוק החשוב ביותר: גורמים, לא איברים

הטעות הקלאסית בצמצום שברים אלגבריים היא לצמצם איבר מתוך סכום. למשל: $\frac{x + 5}{x}$ אינו $5$ !

החוק: מצמצמים רק כש-אותו גורם מופיע במונה ובמכנה, וכאשר במונה ובמכנה יש מכפלה שלמה (לא סכום). אם רואים סכום, חייבים לפרק קודם לגורמים, ורק אז לצמצם.

בדיקה מהירה: הציבו $x = 1$ בביטוי המקורי ובביטוי המצומצם. אם התוצאות שונות, יש טעות. למשל ב- $\frac{x + 5}{x}$ , אם $x = 1$ : המקור = $\frac{6}{1} = 6$ , אבל אם נצמצם ל- $5$ , נקבל $5 \neq = 6$ - שגיאה.

מותר וצסור בצמצום שברים אלגבריים

ביטוי	מותר לצמצם?	סיבה
$\frac{6 x}{2}$	כן ← $3 x$	$6 x = 2 \cdot 3 x$ - גורם משותף
$\frac{x + 5}{x}$	לא	ה- $x$ במונה הוא איבר, לא גורם
$\frac{x ( x - 3 )}{x - 3}$	כן ← $x, x \neq = 3$	$(x - 3)$ גורם בשני הצדדים
$\frac{x ^{2} + 5}{x ^{2}}$	לא	$x^{2}$ במונה הוא איבר מסכום
$\frac{x ^{2} - 9}{x - 3}$	כן (אחרי פירוק) ← $x + 3, x \neq = 3$	$x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$
$\frac{a - b}{b - a}$	כן ← $- 1$	$b - a = - (a - b)$
$\frac{2 x + 6}{4}$	כן ← $\frac{x + 3}{2}$	מוציאים $2$ מהמונה: $\frac{2 ( x + 3 )}{4}$

* אם המונה או המכנה הוא סכום, חייבים לפרק לפני שמצמצמים. בלי פירוק - אסור!

דוגמה פתורה: גורם בינומי

\frac{2 x + 6}{4 x + 12}

טעויות נפוצות

$math/010-algebra$ לא מצמצמים מתוך סכום

דרך שמבלבלת

ב- $\frac{x + 5}{x}$ יש נטייה למחוק $x$ מהמכנה ומהמונה, כאילו $x$ הוא גורם של כל המונה.

דוגמה: $\frac{x + 5}{x} = 5$

$math/030-equation$ דרך בטוחה

המונה הוא סכום, ולא מכפלה שיש בה גורם $x$ . לכן אין צמצום כזה.

דוגמה: $\frac{x + 5}{x}$ נשאר כפי שהוא, עם $x \neq = 0$

סימן חיבור בתוך המונה הוא תמרור עצור לצמצום מהיר.

למה הטעות הזאת מפתה?

הטעות נראית קצרה כי היא מדלגת על שלב כתיבה. בפרק הזה דילוג כזה כמעט תמיד מוחק תנאי: סימן, מכנה, גורם משותף או משמעות מילולית.

מה מפתה לעשות: ב- $\frac{x + 5}{x}$ יש נטייה למחוק $x$ מהמכנה ומהמונה, כאילו $x$ הוא גורם של כל המונה.
מה עושים במקום: המונה הוא סכום, ולא מכפלה שיש בה גורם $x$ . לכן אין צמצום כזה.
סימן חיבור בתוך המונה הוא תמרור עצור לצמצום מהיר.

בדיקת דרך קצרה

לפני כל צמצום שאלו: האם מה שאני מוחק הוא גורם של כל המונה ושל כל המכנה?

תחום.
פירוק.
צמצום גורמים.
שמירת הגבלות.

שאלה 1 מתוך 15

צמצמו: $\frac{6 x}{2}$

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של צמצום שברים אלגבריים כבר מוכן.

פתחו תרגול

צמצום שברים אלגבריים

מה נבנה במודול הזה

הרעיון המרכזי

צמצום הוא חלוקה בגורם משותף

מה חייבים לדעת לעשות?

לקבוע תחום

לפרק לגורמים

לצמצם נכון

צמצום מותר מול אסור

מצבים שחוזרים במבחנים

איך מזהים את הכלי?

צמצום

אסור

בדיקה בסוף

שיטה מסודרת

מסלול צמצום בטוח

תחום

פירוק

צמצום

דוגמה פתורה: גורם x

החוק החשוב ביותר: גורמים, לא איברים

מותר וצסור בצמצום שברים אלגבריים

דוגמה פתורה: גורם בינומי

טעויות נפוצות

לא מצמצמים מתוך סכום

דרך שמבלבלת

דרך בטוחה

למה הטעות הזאת מפתה?

בדיקת דרך קצרה

צמצמו: 26x​