ערך מוחלט כמרחק

מרחק על ציר המספרים הוא תמיד לא שלילי

מה בונים במודול?

במודול הזה עוברים מהרעיון הכללי אל דרך עבודה שאפשר להפעיל גם בשאלה חדשה. בכל שלב נבדוק מה הנתונים אומרים, איזו פעולה מתאימה, ואיך מוודאים שהתשובה באמת עומדת בתנאים.

מרחק מאפס

נבין מדוע

∣ x ∣

מודד מרחק ולכן אינו שלילי.

מרחק ממספר אחר

נפרש

∣ x - a ∣

כמרחק של

x

מהמספר

a

שתי נקודות

נראה למה משוואת מרחק יכולה לתת שני פתרונות סימטריים סביב המרכז.

טוען סימולציה...

$math/020-math book$ מה בעצם מודד ערך מוחלט?

ערך מוחלט מודד מרחק על ציר המספרים. לכן $∣5∣ = 5$ וגם $∣ - 5∣ = 5$ . כאשר כותבים $∣ x - 3∣$ , שואלים מה המרחק בין $x$ לבין $3$ .

תמונה הממחישה ערך מוחלט כמרחק שווה משני צדדי נקודת מרכז על ציר המספרים — ערך מוחלט מודד מרחק, ולכן נקודות משני צדדי המרכז יכולות לתת אותו ערך.

מרחק אינו זוכר כיוון

המספרים $8$ ו- $- 2$ נמצאים שניהם במרחק $5$ מהמספר $3$ .

לכן למשוואה $∣ x - 3∣ = 5$ יש שתי אפשרויות: $x - 3 = 5$ או $x - 3 = - 5$ .

$∣ x - a ∣ = d (d \geq 0)$

המרכז הוא $a$ , והמרחק הוא $d$ .

ערך מוחלט כמרחק

∣ x - a ∣ = המרחק בין x לבין a

מרחק $5$ מהמספר $3$

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

פותרים משוואת מרחק

שלב 1 מתוך 3

∣ x - 3∣ = 5

מפרשים את המשוואה כמרחק מהמרכז $3$ .

∣ x - 3∣ = 5

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

$math/010-algebra$

זהו מרכז

$∣ x - a ∣$ מודד מרחק מהמספר $a$ .

שימו לב לסימן בתוך הערך המוחלט.

$math/017-ruler$

זהו מרחק

במשוואה $∣ x - a ∣ = d$ , המרחק הוא $d$ .

אם $d < 0$ , אין פתרון כי מרחק אינו שלילי.

סמנו שני צדדים

נקודה אחת מימין למרכז.

נקודה אחת משמאל למרכז.

$math/046-parentheses$ וריאציות שכדאי לזהות

$∣ x ∣ = 7$

המרכז הוא $0$ ; שתי הנקודות במרחק $7$ הן $7$ ו- $- 7$ .

$∣ x - 4∣ = 2$

המרכז הוא $4$ ; הפתרונות הם $6$ ו- $2$ .

$∣ x + 1∣ = 3$

המרכז הוא $- 1$ ; הפתרונות הם $2$ ו- $- 4$ .

$∣ x - 5∣ = - 2$

אין פתרון, כי מרחק לא יכול להיות מספר שלילי.

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

הסימן בתוך הערך המוחלט מטעה

הביטוי $∣ x - a ∣$ מודד מרחק מהמספר $a$ . לכן $∣ x + 2∣$ מודד מרחק מ- $- 2$ , לא מ- $2$ .

כתבו את הביטוי בצורה $∣ x - a ∣$ .
סמנו את המרכז $a$ .
הוסיפו והפחיתו את המרחק מהמרכז.

הרחבה ובדיקה

כעת נוסיף שני מקרי קצה: מרחק אפס ומרחק שמופיע אחרי פישוט. אלה בדיוק המקומות שבהם פתרון קצר מדי עלול לאבד תשובה או להמציא תשובה שאינה קיימת.

מרחק אפס מהמרכז

מתקנים את החשיבה

הטעות

לחשוב שהסימן $+$ בתוך $∣ x + 4∣$ אומר מרכז חיובי.

החשיבה הנכונה

כותבים $x + 4 = x - (- 4)$ , ולכן המרכז הוא $- 4$ .

בדיקת סבירות

מציבים תשובה אחת בביטוי המקורי ובודקים שהערך המוחלט באמת שווה למרחק המבוקש.

בכל משוואת ערך מוחלט כדאי לסיים בהצבה קצרה. היא חושפת סימן שגוי או פתרון חסר.

שאלה לחשיבה

למה למשוואת ערך מוחלט יש לעיתים שני פתרונות ולעיתים אין פתרון?

ערך מוחלט מודד מרחק. אם מבקשים מרחק חיובי מנקודת מרכז, יש בדרך כלל שתי נקודות באותו מרחק, אחת מכל צד. אם מבקשים מרחק אפס, יש נקודה אחת בלבד: המרכז. אם מבקשים מרחק שלילי, אין פתרון כי מרחק לא יכול להיות שלילי.

$math/048-graphs$ ההגדרה הפיצולית של ערך מוחלט

מלבד ההגדרה הגיאומטרית כמרחק, יש לערך מוחלט גם הגדרה אלגברית פיצולית: אם $x \geq 0$ , אז $∣ x ∣ = x$ . אם $x < 0$ , אז $∣ x ∣ = - x$ . שתי ההגדרות שקולות וגוזרות אחת את השנייה.

הגדרה פיצולית

∣ x ∣ = {x - x x \geq 0 x < 0

דוגמאות לחישוב מהגדרה פיצולית

$x$	סימן $x$	$∣ x ∣$
$5$	חיובי	$5$
$- 5$	שלילי	$- (- 5) = 5$
$0$	אפס	$0$
$- 2.5$	שלילי	$- (- 2.5) = 2.5$

* ההגדרה הפיצולית עוזרת בעיקר במצבים בהם הביטוי במוטחס יכול להיות שלילי או חיובי.

פתרון יחיד: כש-k=0

$∣ x - a ∣ = 0$ הוא מקרה מיוחד: יש פתרון יחיד ( $x = a$ ), כי המרחק היחידי שהוא 0 הוא בנקודה עצמה. זה לא 'אין פתרון' (כמו $- 3$ ) ולא 'שני פתרונות' (כמו $∣ x - 3∣ = 2) .$

מקרים שונים של משוואת ערך מוחלט

שני פתרונות

$∣ x ∣ = 5$ : $x = 5$ או $x = - 5$ .

פתרון יחיד

$∣ x ∣ = 0$ : רק $x = 0$ .

אין פתרון

$∣ x ∣ = - 2$ : מרחק לא יכול להיות שלילי.

מקדם

$∣2 x ∣ = 8 \Rightarrow ∣ x ∣ = 4$ : $x = 4$ או $x = - 4$ .

$math/039-measurement$ אסטרטגיית פתרון משוואת ערך מוחלט

התחילו בבדיקת סימן הצד הימני. אם הוא שלילי, אין פתרון. אם הוא 0, פתרון יחיד. אם חיובי, שני פתרונות נפרדים.

בדקו אם הצד הימני שלילי - אם כן, אין פתרון.
אם $= 0$ , פתרו את הביטוי $= 0$ .
אם $> 0$ , חלקו לשני מקרים: ביטוי = $+ k$ , ביטוי = $- k$ .
פתרו כל מקרה כמשוואה לינארית רגילה.
אמתו על ידי הצבה.

שאלה לחשיבה

מה משותף לפתרון $∣ x - 3∣ = 2$ ולמציאת זוג מספרים שסכומם $6$ והפרשם $4$ ?

שתי הבעיות מובילות לאותה תשובה: שני מספרים סימטריים סביב מספר מסוים. ב- $∣ x - 3∣ = 2$ מקבלים $x = 5$ או $x = 1$ , סימטריים סביב $3$ , במרחק $2$ משני הצדדים. בבעיית סכום והפרש מקבלים $x = 5$ ו- $y = 1$ , סכומם $6$ (פעמיים המרכז $3$ ), הפרשם $4$ (פעמיים המרחק $2$ ). זה לא מקרה: בכל פעם שיש 'מרחק שווה משני צדדים', מתקבלת אותה צורה.

סיכום ערך מוחלט כמרחק

∣ x ∣

= מרחק של

x

מ-

0

∣ x - a ∣

= מרחק של

x

מ-

a

. ערך מוחלט אינו שלילי לעולם, ולכן

∣...∣ = k

עם

k < 0

אין לו פתרון.

אותו רעיון של 'מרחק' מתרחב למישור: המרחק בין שתי נקודות

(x_{1}, y_{1})

ו-

(x_{2}, y_{2})

הוא

(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}

, נוסחה שגוזרת ממשפט פיתגורס. גם פה, הוא לא יכול להיות שלילי, ויש סימטריה - המרחק מ-A ל-B שווה למרחק מ-B ל-A. ה-GPS שלכם מבוסס בדיוק על שילוב של מרחקים: שלושה לוויינים וכוח ערך מוחלט יוצרים את המיקום שלכם.

שאלה 1 מתוך 22

למשוואה $∣ x - 2∣ = 0$ יש:

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של ערך מוחלט כמרחק כבר מוכן.

פתחו תרגול

ערך מוחלט כמרחק

מה בונים במודול?

מה בעצם מודד ערך מוחלט?

מרחק אינו זוכר כיוון

דוגמה פתורה

פותרים משוואת מרחק

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

זהו מרכז

זהו מרחק

סמנו שני צדדים

וריאציות שכדאי לזהות

∣x∣=7

∣x−4∣=2

∣x+1∣=3

∣x−5∣=−2

טעות נפוצה

הסימן בתוך הערך המוחלט מטעה

הרחבה ובדיקה

מתקנים את החשיבה

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

שאלה לחשיבה

ההגדרה הפיצולית של ערך מוחלט

דוגמאות לחישוב מהגדרה פיצולית

פתרון יחיד: כש-k=0

מקרים שונים של משוואת ערך מוחלט

שני פתרונות

פתרון יחיד

אין פתרון

מקדם

אסטרטגיית פתרון משוואת ערך מוחלט

שאלה לחשיבה

סיכום ערך מוחלט כמרחק

ערך מוחלט במרחקים תלת-מימדיים

למשוואה ∣x−2∣=0 יש: