למה צריך שני נעלמים
כששני תנאים פועלים יחד, תשובה אחת כבר לא מספיקה
מה בונים במודול?
מהו מודל עם שני נעלמים?
בסיפור אחד יכולים להופיע שני גדלים לא ידועים. למשל מספר כרטיסי מבוגר ומספר כרטיסי תלמיד. אם יודעים גם את מספר הכרטיסים הכולל וגם את ההכנסה הכוללת, צריך לשמור על שני התנאים בו זמנית. לכן בונים מערכת משוואות.
פתרון הוא זוג שעומד בשני תנאים
כאשר יש שני נעלמים, תשובה כמו לבדה אינה מספרת מה קרה לכל גודל.
פתרון של מערכת הוא זוג ערכים, למשל , שמציבים בשתי המשוואות ומקבלים אמת בשתיהן.
המשוואה הראשונה מתארת כמות, והשנייה מתארת כסף. הן משלימות זו את זו.
מבנה מערכת משוואות מסיפור
דוגמה פתורה
הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.
דוגמת כרטיסים
שלב 1 מתוך 4מבודדים מהמשוואה הראשונה את מספר כרטיסי התלמיד.
אסטרטגיית עבודה
כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.
שלבי החלטה
מגדירים
כותבים ו- עם משמעות מילולית.
בודקים שהיחידות ברורות: כמות, כסף, זמן או מרחק.
מתרגמים
כל תנאי בסיפור הופך למשוואה נפרדת.
לא מערבבים תנאי כמות עם תנאי מחיר באותה שורה בלי סיבה.
בודקים
מציבים את שני הערכים בשתי המשוואות.
כותבים משפט תשובה שמתאים לסיפור המקורי.
עוד דוגמה: שני תנאים מאותו סיפור
לפני שפותרים, מפרידים בין משפט שמדבר על כמות לבין משפט שמדבר על ערך. ההפרדה הזאת מונעת מצב שבו כותבים משוואה יפה אך לא קשורה לסיפור.
טבלת תרגום לפני בניית המשוואות
וריאציות שכדאי לזהות
כמות ומחיר
שתי משוואות נפוצות הן ו-. החכמה היא לשמור על אותה משמעות של ו-.
גילים
בבעיות גיל תנאי אחד מתאר סכום או הפרש גילים, ותנאי אחר מתאר קשר עתידי או עבר. חשוב להוסיף את אותו מספר שנים לשני האנשים.
תערובות
בתערובות משוואה אחת מתארת כמות כוללת, והשנייה מתארת ערך כולל כמו מחיר, ריכוז או נקודות.
בדיקה
אם התשובה כוללת מספר שלילי של פריטים, כנראה שהסימון או התרגום שגויים גם אם האלגברה נראית מסודרת.
טעות נפוצה
הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.
טעות מול תיקון
הטעות
להחליף את משמעות בין משוואת הכמות למשוואת הערך.
דוגמה: במשוואה אחת הוא כרטיסי מבוגר, ובמשוואה אחרת הוא פתאום כרטיסי תלמיד.
התיקון
כותבים הגדרה מילולית קבועה לפני המשוואות ומסמנים ליד כל משוואה מה היא מודדת.
דוגמה: אם הוא כרטיסי מבוגר, אז הוא הכסף מכרטיסי מבוגר בכל שלב.
בבעיות מילוליות, שמירה על יחידות היא בדיקת הבטיחות של המודל.
לא מחליפים משמעות באמצע
אם התחיל כמספר כרטיסי מבוגר, הוא חייב להישאר כך בכל המשוואות. החלפת משמעות באמצע יוצרת פתרון שאין לו קשר לסיפור.
- כתבו שורת הגדרה לפני המשוואות.
- סמנו ליד כל משוואה איזה תנאי היא מתארת.
- בסוף, החזירו את התשובה למשפט בעברית.
שאלה לחשיבה
למה פתרון אלגברי נכון עדיין יכול להיות תשובה לא מתאימה לסיפור?
כי אלגברה בודקת את המשוואות שכתבנו, לא את הסיפור המקורי. אם תרגמנו תנאי בצורה שגויה, או אם קיבלנו מספר שאינו הגיוני בהקשר כמו מספר שלילי של כרטיסים, החישוב יכול להיות עקבי אבל המודל שגוי. לכן תמיד בודקים יחידות, תנאים ומשפט תשובה.
בעיות גיאומטריות
במלבן, היקף ושטח מחברים בין אורך לרוחב. גם בעיות פירמידה, משולש, או טרפז יכולות להוביל למערכת משוואות, כשיש שתי מידות לא ידועות ושני תנאים.
ז'אנרי בעיות מילוליות
גילאים
תנאים על 'לפני' או 'בעוד' שנים: שניהם מתחלפים.
מספרים
סכום, הפרש, מכפלה, או מנה של שני מספרים.
גיאומטריה
היקף ושטח של מלבן/משולש; נכון ש-, ולא .
תנועה
מהירויות יחד או מנגד; .
כסף ומסחר
מטבעות, כרטיסים, השוואת תוכניות מחיר.
תערובת
אחוזים, ריכוזים: סך כמות + סך 'חומר'.
פרוטוקול קריאה לבעיה מילולית
התחלות נכונות חוסכות זמן. הקפידו על ארבעה שלבים: הגדרה, ניסוח, פתרון, אימות.
- קראו פעמיים: פעם להבנה, פעם לזיהוי הנעלמים והתנאים.
- סמנו את השאלות שמתבקשות: כמה? באיזו מהירות? באיזה זמן?
- הגדירו עם משמעות ברורה ויחידות.
- כתבו שתי משוואות, כל אחת מתאימה לתנאי אחד.
- פתרו בכל שיטה.
- החזירו לקונטקסט: בדקו שהתשובה הגיונית, חיובית במידת הצורך, ולא חורגת מהנתונים.
שאלה לחשיבה
במה דומות בעיות 'גילאים לפני 5 שנים' לבעיות 'דו-ספרתי עם ספרות הופכיות'?
שתיהן מבוססות על תרגום של ניסוח מילולי לביטוי אלגברי שלא מוצג מפורשות. בגילאים, צריך להבין שגם הבן היה צעיר באותה מידה, ולכן , לא . בדו-ספרתי, צריך להבין ש-, לא . שני המקרים בודקים יכולת תרגום מדויק. הטעות המשותפת היא הימהור מהגדרה למשוואה.
