העמקת אי-שוויונות

שומרים על כיוון הסימן ומפרשים את תחום הפתרון

מה בונים במודול?

במודול הזה עוברים מהרעיון הכללי אל דרך עבודה שאפשר להפעיל גם בשאלה חדשה. בכל שלב נבדוק מה הנתונים אומרים, איזו פעולה מתאימה, ואיך מוודאים שהתשובה באמת עומדת בתנאים.

פעולות שקולות

נחזור על פעולות שמותר לבצע בשני אגפי אי-שוויון.

מספר שלילי

נבין למה כפל או חילוק במספר שלילי הופכים את כיוון הסימן.

תחום ולא נקודה

נפרש פתרון כאוסף מספרים ונבדוק אותו בעזרת דוגמאות.

טוען סימולציה...

$math/020-math book$ אי-שוויון מתאר תחום

במשוואה מחפשים בדרך כלל ערך שמאזן שני אגפים. באי-שוויון מחפשים את כל הערכים שעושים אגף אחד גדול, קטן, לפחות או לכל היותר מהאגף השני. לכן התשובה היא לרוב תחום על ציר המספרים.

הכלל שמפיל הכי הרבה תלמידים

כאשר כופלים או מחלקים שני אגפים במספר חיובי, כיוון האי-שוויון נשמר.

כאשר כופלים או מחלקים במספר שלילי, סדר המספרים מתהפך. למשל $2 < 5$ , אבל אחרי כפל ב- $- 1$ מקבלים $- 2 > - 5$ .

$a < b \Rightarrow - a > - b$

לכן בשלב של חלוקה במספר שלילי חייבים לעצור ולבדוק את כיוון הסימן.

חילוק בשלילי

- 6 x \leq 8 \Rightarrow x \geq - \frac{4}{3}

התחום $x \geq - \frac{4}{3}$

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

אי-שוויון עם סוגריים

שלב 1 מתוך 3

- 2 (3 x - 1) \leq 10

פותחים סוגריים בזהירות.

- 6 x + 2 \leq 10

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

$math/046-parentheses$

פשטו קודם

פתחו סוגריים וכנסו איברים.

אל תחלקו לפני שהאגף מסודר.

עקבו אחרי הסימן

חיבור וחיסור לא משנים כיוון.

כפל או חילוק בשלילי הופכים כיוון.

בדקו מספר

בחרו מספר מתוך התחום ובדקו.

בחרו מספר מחוץ לתחום כדי לוודא שהוא נכשל.

וריאציות שכדאי לזהות

חיבור

$x - 4 > 7$ נותן $x > 11$ . כיוון הסימן נשמר.

כפל בחיובי

$\frac{x}{3} \leq 5$ נותן $x \leq 15$ . כיוון הסימן נשמר.

חילוק בשלילי

$- 2 x < 8$ נותן $x > - 4$ . כאן הסימן מתהפך.

בדיקת תחום

אם הפתרון $x > - 2$ , בדקו למשל $0$ מתוך התחום ו- $- 3$ מחוץ לתחום.

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

היפוך סימן אינו עניין טכני

כפל במספר שלילי הופך את סדר המספרים על הציר. לכן גם אי-השוויון חייב להתהפך כדי לתאר את אותו תחום פתרון.

סמנו בצבע כל כפל או חילוק.
אם המספר שלילי, הפכו את סימן האי-שוויון.
בדקו מספר מתוך התחום שקיבלתם.

נעלם בשני אגפים

אי-שוויון יכול להשוות בין שתי פונקציות קוויות ולשאול מתי אחת מעל השנייה. מבחינה אלגברית זה דומה מאוד למציאת חיתוך בין ישרים, אבל התשובה היא תחום שלם ולא רק נקודת מפגש.

השוואה בין שתי פונקציות

f (x) \geq g (x) ⟺ 5 - 2 x \geq 3 x - 10

התחום $x \leq 3$

מתקנים טעויות סימן

$math/028-symbols$ הטעות

להפוך את הסימן בכל פעם שמעבירים איבר אגף.

$math/010-algebra$ החשיבה הנכונה

חיבור וחיסור משני האגפים שומרים על הכיוון. רק כפל או חילוק בשלילי הופכים אותו.

בדיקת סבירות

בחרו מספר פשוט מתוך התחום שקיבלתם והציבו באי-שוויון המקורי.

בדיקה מספרית אינה מחליפה פתרון אלגברי, אבל היא מצוינת לגילוי כיוון שגוי.

שאלה לחשיבה

איך בדיקה עם מספר אחד יכולה לחשוף כיוון סימן שגוי?

אם פתרתם וקיבלתם תחום, אפשר לבחור מספר פשוט מתוך התחום ולהציב באי-שוויון המקורי. אם הוא לא מקיים את האי-שוויון, כנראה שהתחום שגוי. בבדיקת אי-שוויונות כדאי לבדוק גם מספר מחוץ לתחום, כדי לוודא שהגבול וכיוון הסימון הגיוניים.

אי-שוויונות מורכבים: שילוב של תנאים

באי-שוויון מורכב יש יותר מתנאי אחד. שני תנאים יכולים להיות מחוברים ב'וגם' (חיתוך), או ב'או' (איחוד). חיתוך = הפתרון מקיים את שני התנאים יחד. איחוד = הפתרון מקיים לפחות אחד.

חיתוך מול איחוד של תחומים

סוג	סימן	פתרון לדוגמה
וגם (חיתוך)	$\cap$	$x > 0 וגם x < 5 = 0 < x < 5$
או (איחוד)	$\cup$	$x < - 1 או x > 3$ = שני תחומים
סתירה	אין סימן	$x > 5 וגם x < 2$ = אין פתרון
טאוטולוגיה	אין סימן	$x > 0 או x < 5$ = כל המספרים

* תמיד שאלו: 'כדי שהפתרון יקיים, מה דרוש?'

סינתזת אי-שוויון לינארי וערך מוחלט

במבחנים אהובות שאלות שמשלבות שני סוגי אי-שוויונות: לינארי וערך מוחלט. הפתרון הוא חיתוך התחומים של שני התנאים. כל תחום מתקבל בנפרד, ואז מחפשים את החיתוך.

סוגי אי-שוויונות מורכבים

כפול

$2 < 3 x - 1 < 11$ : שני תנאים יחד, פעולה אחת על שלוש צלעות.

מספר שלילי

$- 3 x + 5 > 2 (x - 1)$ : לזכור להפוך סימן.

שברים

$\frac{x - 1}{3} \geq 2$ : כפל במכנה (חיובי).

לינארי + ערך מוחלט

$∣ x - 2∣ < 3$ ו- $x > 0$ : חיתוך תחומים.

וגם

$x > 0$ וגם $x < 5$ : רק התחום החופף.

או

$x < - 1$ או $x > 3$ : שני תחומים נפרדים.

$math/032-axis$ אסטרטגיית פתרון אי-שוויון מורכב

פותרים כל תנאי בנפרד, ואז משלבים. הקפידו על הכלל של מספר שלילי, ועל ההבדל בין 'וגם' ל'או'.

זהו את סוגי האי-שוויונות (לינארי / ערך מוחלט / כפול).
פתרו כל אחד בנפרד.
סמנו את התחומים על ציר המספרים.
אם 'וגם': חפשו את החיתוך - את הקטעים שנמצאים בשני התחומים.
אם 'או': אחד את כל התחומים.
בדקו עם נקודה לדוגמה (פנים) ונקודה אחת מחוץ (חוץ).

שאלה לחשיבה

במה דומה אי-שוויון $∣ x - 3∣ < 2$ למערכת $x < 5$ וגם $x > 1$ ?

שניהם מתארים אותו תחום: $1 < x < 5$ . $∣ x - 3∣ < 2$ זה תיאור גיאומטרי - 'נקודות במרחק קטן מ- $2$ מ- $3$ '. המערכת היא תיאור אלגברי - 'מספרים שגם קטנים מ- $5$ וגם גדולים מ- $1$ '. שניהם מובילים לאותו תחום, רק בשפה שונה. ערך מוחלט שמיש כשיש מרכז ורדיוס; מערכת אי-שוויון שמיש כשהגבולות לא סימטריים.

$math/025-numbers$ סיכום

אי-שוויון מורכב = שני תנאים. 'וגם' = חיתוך. 'או' = איחוד. כפל/חילוק במספר שלילי = הפיכת סימן. ערך מוחלט מתפקד כתחום פנימי או כשני תחומים חיצוניים, לפי הסימן.

אי-שוויונות מורכבים הם לב הניתוח של בעיות אופטימיזציה במציאות. בלוגיסטיקה: 'משלוח חייב להישלח תוך X ימים אבל לא פחות מ-Y ימים'. בכלכלה: 'תקציב לא יחרוג מ-A ש"ח אבל יבטיח לפחות B תפוקה'. במכשירים רפואיים: 'גלוקוז בדם בין 70 ל-100'. כל אלה משתמשים באותה לוגיקה של חיתוך תחומים שלמדתם פה. השפה הופכת ליישום מעשי.

שאלה 1 מתוך 22

פתרו $- 3 < 2 x + 1 \leq 7$ .

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של העמקת אי-שוויונות כבר מוכן.

פתחו תרגול

העמקת אי-שוויונות

מה בונים במודול?

אי-שוויון מתאר תחום

הכלל שמפיל הכי הרבה תלמידים

דוגמה פתורה

אי-שוויון עם סוגריים

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

פשטו קודם

עקבו אחרי הסימן

בדקו מספר

וריאציות שכדאי לזהות

חיבור

כפל בחיובי

חילוק בשלילי

בדיקת תחום

טעות נפוצה

היפוך סימן אינו עניין טכני

נעלם בשני אגפים

מתקנים טעויות סימן

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת סבירות

שאלה לחשיבה

אי-שוויונות מורכבים: שילוב של תנאים

חיתוך מול איחוד של תחומים

סינתזת אי-שוויון לינארי וערך מוחלט

סוגי אי-שוויונות מורכבים

כפול

מספר שלילי

שברים

לינארי + ערך מוחלט

וגם

או

אסטרטגיית פתרון אי-שוויון מורכב

שאלה לחשיבה

סיכום

אופטימיזציה במציאות

פתרו −3<2x+1≤7.