מהו שני דפוסים חשובים?

הסימן באי-שוויון קובע אם מחפשים נקודות קרובות או רחוקות מהמרכז. |x-a| d נותן שני תחומים מחוץ לשתי נקודות. לפני שמפעילים נוסחה, כדאי לצייר ציר קצר ולסמן מרכז ומרחק.

מה ההבדל הגיאומטרי בין |x-3| 2? אחד נותן 1 5. הסבירו את הקשר.

המרכז של שני האי-שוויונות הוא x=3, וה'רדיוס' הוא 2. הקצוות 1 ו-5 זהים. ההבדל הוא איזה צד של הקצוות נמצא בפתרון. |x-3| 2 זה החוץ: מעבר לקצוות, מרחק גדול. שני האי-שוויונות יחד מכסים את כל הציר חוץ מהקצוות עצמן (שמופיעים רק ב-|x-3|=2). הקצה הוא נקודת המעבר בין שני התחומים.

אי-שוויונות עם ערך מוחלט

מרחק קטן יוצר תחום פנימי, מרחק גדול יוצר שני צדדים

מה בונים במודול?

במודול הזה עוברים מהרעיון הכללי אל דרך עבודה שאפשר להפעיל גם בשאלה חדשה. בכל שלב נבדוק מה הנתונים אומרים, איזו פעולה מתאימה, ואיך מוודאים שהתשובה באמת עומדת בתנאים.

מרחק קטן

נפרש

∣ x - a ∣ < d

כנקודות שנמצאות בתוך מרחק

d

מהמרכז.

מרחק גדול

נפרש

∣ x - a ∣ > d

כנקודות שנמצאות מחוץ לתחום המרכזי.

סימון תחומים

נלמד להשתמש בציר מספרים, עיגול פתוח או סגור, וכתיב תחום.

טוען סימולציה...

$math/020-math book$ קטן פירושו קרוב, גדול פירושו רחוק

כאשר ערך מוחלט מופיע באי-שוויון, כדאי לקרוא אותו כמרחק. $∣ x - 3∣ < 2$ אומר שהמרחק של $x$ מ- $3$ קטן מ- $2$ . לכן $x$ נמצא בין $1$ ל- $5$ .

תמונה הממחישה תחום פנימי ושני תחומים חיצוניים באי-שוויון עם ערך מוחלט — אי-שוויון קטן מתאר נקודות קרובות למרכז, ואי-שוויון גדול מתאר נקודות רחוקות ממנו.

שני דפוסים חשובים

הסימן באי-שוויון קובע אם מחפשים נקודות קרובות או רחוקות מהמרכז.

{m}|x-a|d{/m} נותן שני תחומים מחוץ לשתי נקודות.

$∣ x - a ∣ < d \Rightarrow a - d < x < a + d$

לפני שמפעילים נוסחה, כדאי לצייר ציר קצר ולסמן מרכז ומרחק.

תחום פנימי

∣ x - 3∣ < 2 ⟹ 1 < x < 5

התחום $∣ x - 3∣ < 2$

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

פותרים תחום פנימי

שלב 1 מתוך 4

∣ x - 3∣ < 2

מזהים מרכז ומרחק.

a = 3, d = 2

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

$math/010-algebra$

סמנו מרכז

כתבו $∣ x - a ∣$ כדי לזהות את $a$ .

המרכז הוא נקודת האמצע של התחום.

$math/017-ruler$

סמנו מרחק

המספר בצד השני הוא המרחק.

אם המרחק שלילי, אין פתרון בסימני קטן או שווה רגילים.

בחרו פנים או חוץ

סימן קטן: בין הקצוות.

סימן גדול: מחוץ לקצוות.

$math/046-parentheses$ וריאציות שכדאי לזהות

$∣ x ∣ < 4$

המספרים שמרחקם מאפס קטן מ- $4$ : $- 4 < x < 4$ .

$∣ x ∣ > 4$

המספרים שמרחקם מאפס גדול מ- $4$ : $x < - 4$ או $x > 4$ .

$∣ x - 2∣ \leq 5$

כוללים את הקצוות כי הסימן הוא קטן או שווה: $- 3 \leq x \leq 7$ .

$∣ x + 3∣ \geq 1$

המרכז הוא $- 3$ , והפתרון בחוץ כולל קצוות: $x \leq - 4$ או $x \geq - 2$ .

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

לא כל ערך מוחלט נפתח באותה דרך

אי-שוויון עם $<$ ועם $>$ מבקשים דברים הפוכים. אם מתעלמים מהמשמעות של מרחק, קל לבחור את התחום הלא נכון.

קראו את הביטוי כמרחק.
שאלו: קרוב למרכז או רחוק ממנו?
רק אז כתבו תחום פנימי או שני תחומים חיצוניים.

גבולות וקצוות

הסימן $<$ או $>$ קובע את צורת התחום, אבל הסימן $\leq$ או $\geq$ קובע אם הקצוות עצמם כלולים. לכן צריך להחליט גם על פנים או חוץ וגם על עיגול פתוח או סגור.

התחום $∣ x - 2∣ \leq 3$

מתקנים בחירת תחום

הטעות

לפתור כל שאלה עם ערך מוחלט כתחום פנימי בין שני קצוות.

החשיבה הנכונה

$<$ או $\leq$ פירושם קרוב למרכז, $>$ או $\geq$ פירושם רחוק מהמרכז.

בדיקת קצה

אם הסימן כולל שוויון, הקצוות שייכים. אם לא, הקצוות אינם שייכים.

שאלה אחת שצריך לשאול לפני הפתרון: האם מחפשים קרוב למרכז או רחוק ממנו?

שאלה לחשיבה

למה $∣ x - 3∣ < 2$ הוא תחום רציף אבל $∣ x - 3∣ > 2$ אינו תחום רציף אחד?

מרחק קטן מ- $2$ מהמרכז $3$ כולל את כל הנקודות שבין $1$ ל- $5$ , ולכן זה תחום רציף אחד. מרחק גדול מ- $2$ נמצא מחוץ לאזור הזה, גם שמאלה וגם ימינה, ולכן מתקבלים שני תחומים נפרדים.

פנים מול חוץ של מרחק

{m}|x-a|k{/m} מתאר נקודות 'רחוקות', שני תחומים נפרדים, חתימה כפולה.

פתרון אי-שוויונות עם ערך מוחלט

צורת אי-שוויון	פירוש	צורת פתרון
$∣ x - a ∣ < k (k > 0)$	מרחק קטן מ-k - פנים	$a - k < x < a + k$ - תחום אחד
$∣ x - a ∣ \leq k$	מרחק קטן או שווה - כולל קצוות	$a - k \leq x \leq a + k$
$∣ x - a ∣ > k (k > 0)$	מרחק גדול מ-k - חוץ	$x < a - k$ או $x > a + k$ - שני תחומים
$∣ x - a ∣ \geq k$	מרחק גדול או שווה	$x \leq a - k$ או $x \geq a + k$

* פנים = איחוד של תחום אחד, חוץ = איחוד של שני תחומים.

מקרים מיוחדים

כש- $k = 0$ או $k < 0$ , האי-שוויון מתנהג בצורה לא רגילה. נחזור על המקרים: ערך מוחלט אינו שלילי, ולכן $∣ x ∣ < - 3$ אין לו פתרון, אבל $∣ x ∣ > - 3$ פתרונו הוא כל המספרים.

מקרים מיוחדים של אי-שוויון

אי-שוויון	פתרון	סיבה
$∣ x ∣ < - 3$	אין פתרון	ערך מוחלט תמיד $\geq 0$ , לא $<$ שלילי
$∣ x ∣ > - 3$	כל המספרים	כל ערך מוחלט $\geq 0 > - 3$
$∣ x ∣ < 0$	אין פתרון	ערך מוחלט אינו שלילי
$∣ x ∣ \leq 0$	$x = 0$ בלבד	רק האפס מקיים $∣ x ∣ = 0$
$∣ x ∣ > 0$	$x \neq = 0$	כל מספר חוץ מאפס
$∣ x ∣ \geq 0$	כל המספרים	תמיד נכון

* כשרואים את הצורות האלה, אפשר לתת תשובה ישירות בלי לפצל למקרים.

סוגי אי-שוויונות עם ערך מוחלט

פנים

$∣ x ∣ < 5$ : $- 5 < x < 5$ - תחום אחד.

חוץ

$∣ x ∣ > 5$ : $x < - 5$ או $x > 5$ - שני תחומים.

סגור פנימי

$∣ x ∣ \leq 5$ : $- 5 \leq x \leq 5$ כולל קצוות.

סגור חיצוני

$∣ x ∣ \geq 5$ : $x \leq - 5$ או $x \geq 5$ .

לא אפשרי

$∣ x ∣ < - 3$ : אין פתרון.

תמיד אמיתי

$∣ x ∣ > - 3$ : כל המספרים.

$math/032-axis$ אסטרטגיה מהירה

התמקדו בסימן האי-שוויון: $<$ או $\leq$ = פנים, תחום אחד. $>$ או $\geq$ = חוץ, שני תחומים. ובסימן הצד הימני: שלילי = אין פתרון או כל המספרים.

בדקו אם הצד הימני שלילי. אם כן, נסו $<$ (אין) או $>$ (הכול).
אם חיובי, זהו את סוג האי-שוויון: פנים או חוץ.
פנים: כתבו $- k <$ ביטוי $< k$ , פתרו לתחום יחיד.
חוץ: כתבו ביטוי $< - k$ או ביטוי $> k$ , פתרו שני תחומים בנפרד.
ציירו על ציר המספרים לאימות.

שאלה לחשיבה

מה ההבדל הגיאומטרי בין {m}|x-3|<2{/m} לבין {m}|x-3|>2{/m}? אחד נותן {m}15{/m}. הסבירו את הקשר.

המרכז של שני האי-שוויונות הוא $x = 3$ , וה'רדיוס' הוא $2$ . הקצוות $1$ ו- $5$ זהים. ההבדל הוא איזה צד של הקצוות נמצא בפתרון. $∣ x - 3∣ < 2$ זה הפנים: בין הקצוות, מרחק קטן. $∣ x - 3∣ > 2$ זה החוץ: מעבר לקצוות, מרחק גדול. שני האי-שוויונות יחד מכסים את כל הציר חוץ מהקצוות עצמן (שמופיעים רק ב- $∣ x - 3∣ = 2$ ). הקצה הוא נקודת המעבר בין שני התחומים.

המסר המרכזי

אי-שוויון עם ערך מוחלט הוא דרך פשוטה לתאר 'קרוב' או 'רחוק' מנקודה.

<

ו-

\leq

- קרוב, תחום אחד.

>

ו-

\geq

- רחוק, שני תחומים נפרדים. בדקו תמיד את סימן הצד הימני: שלילי שובר את הכלל הרגיל.

ברפואה, מבחני דם משתמשים באי-שוויון: 'תקין' = במרחק קטן מהממוצע (כמו

∣ x - 100∣ < 20

= ערך בין

80

ל-

120

). 'חריג' = מרחק גדול = שני תחומים (נמוך מדי או גבוה מדי). זוהי בדיוק הטכניקה שלמדתם פה: גבולות בריאות מוגדרים על ידי תחום פנימי, ואזהרה רפואית מתחילה כשמגיעים לתחום החיצוני. הצירוף בין מתמטיקה לרפואה אינו מקרי - הוא מבוסס על אותה לוגיקה של 'מרחק'.

שאלה 1 מתוך 22

פתרו $∣ x ∣ > 3$ .

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של אי-שוויונות עם ערך מוחלט כבר מוכן.

פתחו תרגול

אי-שוויונות עם ערך מוחלט

מה בונים במודול?

קטן פירושו קרוב, גדול פירושו רחוק

שני דפוסים חשובים

דוגמה פתורה

פותרים תחום פנימי

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

סמנו מרכז

סמנו מרחק

בחרו פנים או חוץ

וריאציות שכדאי לזהות

∣x∣<4

∣x∣>4

∣x−2∣≤5

∣x+3∣≥1

טעות נפוצה

לא כל ערך מוחלט נפתח באותה דרך

גבולות וקצוות

מתקנים בחירת תחום

הטעות

החשיבה הנכונה

בדיקת קצה

שאלה לחשיבה

פנים מול חוץ של מרחק

פתרון אי-שוויונות עם ערך מוחלט

מקרים מיוחדים

מקרים מיוחדים של אי-שוויון

סוגי אי-שוויונות עם ערך מוחלט

פנים

חוץ

סגור פנימי

סגור חיצוני

לא אפשרי

תמיד אמיתי

אסטרטגיה מהירה

שאלה לחשיבה

המסר המרכזי

אי-שוויונות במבחני אבחון

פתרו ∣x∣>3.