יישומים של מערכות משוואות
משתמשים במערכת כדי לבחור החלטה מספרית בסיפור אמיתי
מה בונים במודול?
מודל טוב מתחיל מקריאה טובה
בבעיות יישום, החלק החשוב ביותר הוא לא תמיד החישוב. קודם מזהים מה שואלים, אילו שני גדלים אינם ידועים, ואילו שתי עובדות נותנות קשרים ביניהם. רק אז בוחרים שיטת פתרון.
מהטקסט למערכת
אותו כלי אלגברי יכול לתאר כרטיסים, חבילות, חולצות, נסיעות או ציונים.
בכל מקרה מחפשים שני תנאים בלתי תלויים. תנאי אחד יכול להיות כמות כוללת, ותנאי אחר יכול להיות סכום כסף או נקודות.
הפתרון מקבל משמעות רק כאשר מחזירים אותו לשאלה המקורית.
חולצות וסווטשירטים
דוגמה פתורה
הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.
הזמנת בגדים לקייטנה
שלב 1 מתוך 4נבודד את מספר הסווטשירטים מתוך משוואת הכמות.
אסטרטגיית עבודה
כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.
שלבי החלטה
שאלת כמות
כמה פריטים יש יחד?
האם יש יחס, סכום או הפרש בין הסוגים?
שאלת ערך
מה המחיר, הניקוד או הזמן של כל סוג?
מה הערך הכולל בסיפור?
בדיקת הקשר
האם המספרים חיוביים ושלמים אם צריך?
האם המשפט הסופי עונה בדיוק על השאלה?
וריאציות שכדאי לזהות
מבצעי קנייה
כמות כוללת וסכום כולל יכולים לחשוף כמה פריטים מכל סוג נקנו.
תחבורה
מספר נסיעות בשני סוגי כרטיסים יכול להיבנות מאותו מבנה של כמות ומחיר.
ציונים
מספר שאלות משני סוגים וניקוד כולל יוצרים מערכת דומה.
החלטה בין שיטות
אם תנאי הכמות פשוט, הצבה נוחה. אם המקדמים קרובים לביטול, השוואת מקדמים יכולה להיות קצרה יותר.
טעות נפוצה
הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.
לא כל סיפור צריך מערכת
אם יש רק נעלם אחד ותנאי אחד, מערכת עלולה לסבך. מערכת מתאימה כשיש שני גדלים לא ידועים ושני תנאים שצריך לקיים יחד.
- סמנו את מה שלא ידוע.
- ספרו כמה תנאים עצמאיים יש.
- בחרו מערכת רק אם באמת יש שני קשרים.
שאלה לחשיבה
איך יודעים אם שני תנאים בסיפור באמת עצמאיים?
תנאים עצמאיים מוסיפים מידע שונה. למשל כמות כוללת וסכום כסף כולל הם שני סוגי מידע שונים. אבל אם משפט אחד רק חוזר על אותו מידע במילים אחרות, הוא לא מספיק לבניית מערכת חדשה. לכן קוראים את הסיפור ומחפשים מה כל משוואה תבדוק.
מתרגמים יחידות לפני אלגברה
בבעיה מילולית, כל משוואה צריכה לשאת משמעות ברורה. לפני שמתחילים לפתור, כותבים ליד כל נעלם מה הוא מייצג, ובודקים שכל אגף מודד אותו סוג של דבר.
בדיקת יחידות
כמות ומחיר כנקודת חיתוך
מתקנים מודל לפני שמתקנים חישוב
כאשר תשובה לא הגיונית, הבעיה לא תמיד נמצאת באלגברה. לפעמים המשוואות נבנו מהחלפת יחידות, מהגדרה לא ברורה של נעלמים או מהתעלמות מתנאי בסיפור.
סימני אזהרה במודל
הטעות
משוואה כמו כאשר הוא מספר פריטים.
דוגמה: אגף שמאל מודד כסף, אגף ימין מודד כמות. היחידות לא תואמות.
התיקון
מפרידים בין תנאי כמות לבין תנאי ערך: ו-.
דוגמה: כל משוואה עונה על משפט אחר בסיפור.
בדיקת יחידות היא דרך מהירה לגלות תרגום שגוי עוד לפני פתרון.
מטבעות וכספים
בעיית מטבעות: "בקופה מטבעות 1₪ ו-5₪. סך הכל יש 30 מטבעות בערך כולל של 78₪. כמה מכל סוג?". זוהי מערכת קלאסית: תנאי על מספר המטבעות, ותנאי על הערך הכולל.
סוגי בעיות יישומיות
השוואה (סלולר)
: מציאת נקודה בה שתי תוכניות שוות ערך.
סך כמות + סך ערך (כרטיסים)
: שני תנאים על אותם נעלמים.
מהירות יחסית (סירה)
: כיוון משפיע על הסכום.
מפגש (מסלול)
: מהירויות מתחברות במפגש מנגדי.
פרוטוקול לפתרון בעיה יישומית
מתחילים מהגדרת הנעלמים בבירור (כולל יחידות), ממשיכים בכתיבת התנאים, ומסתיימים בבדיקה שהתשובה הגיונית בהקשר הבעיה.
- קראו את הבעיה לפחות פעמיים.
- הגדירו ו- עם יחידות.
- כתבו שתי משוואות מהתנאים.
- פתרו בכל שיטה שמתאימה (הצבה / השוואת מקדמים).
- הציבו בכל אחת מהמשוואות לאימות.
- בדקו שהתשובה הגיונית (לא שלילי, לא יותר מהסך הכולל).
שאלה לחשיבה
במה דומה בעיית 'תערובת תמיסות' לבעיית 'סירה עם זרם'? מה ההבדל המרכזי?
שתיהן בעיות במערכת לינארית: שני נעלמים, שני תנאים. בשתיהן, אחד התנאים הוא סכום (סה"כ נפח / מהירות עם זרם), ואחד אחר עם מקדמים שונים (אחוזים / מהירות נגד). ההבדל הוא שבסירה התנאי השני הוא חיסור (), בעוד שבתערובת התנאי השני הוא משוקלל (). בכל זאת, שתיהן נפתרות באותן שיטות. הבנת הקשר הזה מאפשרת לפתור בעיות חדשות שטרם נחשפתם אליהן.
