פתרון גרפי של מערכת

איך גרף פותר מערכת?

כאשר מציירים שתי משוואות קוויות על אותה מערכת צירים, כל ישר הוא אוסף פתרונות של משוואה אחת. נקודה שנמצאת על שני הישרים היא הפתרון המשותף. אם אין נקודת חיתוך, אין פתרון משותף.

דוגמה פתורה

הדוגמה הבאה לא נועדה רק להגיע לתוצאה. שימו לב למה כל פעולה עושה: היא מצמצמת את מספר הנעלמים, מבודדת גודל, או מתרגמת תנאי לתחום פתרון ברור.

אסטרטגיית עבודה

כדי לפתור שאלה דומה במבחן, כדאי לעבוד לפי רצף קבוע. הרצף אינו מחליף חשיבה, הוא מוודא שלא מדלגים על תנאי חשוב.

שלבי החלטה

מציירים

מסמנים שתי נקודות לכל ישר או משתמשים בשיפוע ובאיבר החופשי.

שומרים על קנה מידה אחיד בצירים.

קוראים

מאתרים את נקודת החיתוך.

קוראים קודם את $x$, אחר כך את $y$.

מוודאים

מציבים את הזוג בשתי המשוואות.

אם הציור אינו מדויק, האלגברה מכריעה.

מה עושים כשהחיתוך ברור רק בערך?

גרף טוב נותן כיוון, אבל לפעמים נקודת החיתוך נמצאת בין משבצות או שהשרטוט אינו מדויק. במצב כזה משתמשים בגרף כדי לשער, ואז בודקים או משלימים באלגברה.

טעות נפוצה

הטעות כאן חוזרת אצל תלמידים רבים כי היא נראית קצרה. במקום לזכור אותה כאזהרה כללית, נבין מה גורם לה ואיך בודקים אותה בזמן אמת.

שלושת המצבים האפשריים

כשמשרטטים שני ישרים במישור, רק שלוש אפשרויות יכולות לקרות. כל אחת מהאפשרויות מתאימה למספר אחר של פתרונות במערכת. הזיהוי הגרפי נותן רושם ראשוני, אבל אימות אלגברי הוא הכרחי.

ישרים אנכיים ואופקיים

ישרים בצורה $x=k$ הם אנכיים, ואינם פונקציות במובן הרגיל (לכל $x$ יש אינסוף ערכי $y$). ישרים בצורה $y=k$ הם אופקיים. למרות זאת, שתי הצורות יכולות להופיע במערכת ולתת חיתוך נקי.

מערכות במציאות: GPS

לחץ להרחבה למתקדמים

↓

מערכת GPS מבוססת על פתרון מערכת של מספר משוואות גיאומטריות בו זמנית. כל לוויין שולח את מיקומו ואת הזמן שלו. הטלפון מודד את עיכוב הזמן ובונה משוואת מרחק. כשיש שלושה לוויינים, מקבלים מערכת של שלוש משוואות בשלושה נעלמים (קו אורך, קו רוחב, גובה), ופתרונה הוא המיקום שלכם. הרעיון של 'נקודת חיתוך' הוא בדיוק מה שתלמדו פה, רק בממדים גבוהים יותר.

שאלה 1 מתוך 22

מהי נקודת החיתוך של $x=3$ ו-$y=2x-1$?

א

$(3,-1)$

ב

$(5,3)$

ג

$(0,3)$

ד

$(3,5)$

פוסטר סיכום

פתרון גרפי של מערכת

מערכת משוואות, ערך מוחלט ואי-שוויונות בהעמקה

פתרון גרפי של מערכת משוואות בכיתה ח: קריאת נקודת חיתוך, בדיקה אלגברית והבנת הקשר בין ישרים.