חישוב ניצב

כאשר היתר וניצב אחד ידועים

$math/002-calculator$ מה נלמד כאן?

כאשר מחפשים ניצב ולא יתר, הפעולה המרכזית משתנה: קודם מחסרים ריבועים, ורק אחר כך מוציאים שורש. ההבדל הקריטי בין מציאת יתר למציאת ניצב הוא הסימן: חיבור או חיסור של ריבועים, וזה תלוי במה ידוע ובמה מחפשים.

זיהוי היתר

נזהה מי הצלע הגדולה והנתונה. רק אם נמצאת מול הזווית הישרה, היא יתר. הזיהוי קובע אם להחסיר או להוסיף ריבועים.

חיסור ריבועים

נבין מדוע מחסרים את ריבוע הניצב הידוע מריבוע היתר, ולמה זה נובע ישירות מהמשפט

a^{2} + b^{2} = c^{2}

פישוט תוצאה

נדע מתי השורש שלם ומתי משאירים מדויק (כמו

51

) או מפשטים (כמו

72 = 62) .

בדיקת תוצאה

נוודא שהניצב החסר קצר מהיתר וארוך מאפס, ושיחידותיו תואמות את הנתונים.

טוען סימולציה...

הבנה מרכזית

בחישוב ניצב חסר מתחילים מאותה נוסחה $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , אבל הפעם $c$ (היתר) ו- $a$ (ניצב אחד) ידועים, ואנחנו מחפשים את $b$ . כדי למצוא את $b^{2}$ , מחסרים את $a^{2}$ מ- $c^{2}$ , ורק אז מוציאים שורש. הסימן השלילי הוא ההבדל המהותי מחישוב יתר.

למה מחסרים?

במשפט פיתגורס $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , ריבוע היתר הוא הסכום הכולל של שני ריבועי הניצבים.

אם יודעים את הסכום הכולל ( $c^{2}$ ) ואת אחד המחוברים ( $a^{2}$ ), מוצאים את המחובר השני בעזרת חיסור: $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ . אחרי החיסור, מוציאים שורש כדי לעבור משטח לאורך.

לכן $b = c^{2} - a^{2}$ כאשר $c$ הוא היתר ו- $a$ הוא הניצב הידוע. הסדר חיוני - מחסרים ריבועים, ולא אורכים.

חישוב ניצב חסר

b = c^{2} - a^{2}

ניצב חסר מול יתר ידוע

כאשר היתר $c = 13$ וניצב $a = 5$ ידועים, מוצאים את הניצב החסר $b = 169 - 25 = 12$ .

$math/049-venn diagram$ חישוב יתר לעומת חישוב ניצב

מחפשים יתר

ידוע: שני ניצבים. מחפשים: יתר. הפעולה: חיבור ריבועים. הנוסחה: $c = a^{2} + b^{2}$ .

דוגמה: במשולש $a = 6, b = 8$ : $c = 36 + 64 = 10$ .

$math/017-ruler$ מחפשים ניצב

ידוע: יתר וניצב אחד. מחפשים: ניצב שני. הפעולה: חיסור ריבועים. הנוסחה: $b = c^{2} - a^{2}$ .

דוגמה: במשולש $c = 10, a = 6$ : $b = 100 - 36 = 8$ .

הסימן בין הריבועים תלוי במה מחפשים. שיטת בדיקה: היתר הוא הצלע הגדולה ביותר, ולכן $c^{2}$ הוא הביטוי הגדול ביותר.

שיטת עבודה

הסדר חשוב: לא מחסרים אורכים, אלא ריבועים. רק אחרי שמוצאים את ריבוע הניצב מוציאים שורש. שלב הזיהוי של היתר חשוב במיוחד - אם בטעות מציבים את הניצב במקום היתר, מקבלים תוצאה שלילית או טעות.

שלבי פתרון

$math/007-triangle$

מסמנים יתר

היתר חייב להיות הצלע הידועה הגדולה - תמיד.

אם הצלע הגדולה אינה ידועה ומחפשים אותה, זו לא בעיית ניצב חסר.

אם נתון 'ניצב', זה תמיד אחד הניצבים, לא היתר.

$math/030-equation$

מחסרים ריבועים

מחשבים $c^{2}$ : ריבוע היתר.

מחשבים $a^{2}$ : ריבוע הניצב הידוע.

מחסרים: $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ . התוצאה חיובית כי $c > a$ .

$math/008-square root$

מוציאים שורש

מוציאים $b = c^{2} - a^{2}$ .

אם השורש שלם - מצוין.

אם לא, בודקים פישוט (למשל $72 = 62$ ) או משאירים מדויק.

$math/039-measurement$

בודקים תוצאה

הניצב צריך להיות קצר מהיתר: $b < c$ .

הניצב חיובי: אם יצא שלילי או אפס, יש טעות בזיהוי היתר.

יחידות אורך - אותה היחידה של הנתונים.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות מדגישות את ההבדל בין חישוב יתר לבין חישוב ניצב. שימו לב לסימן החיסור ולסדר הפעולות.

$math/009-pythagoras$ דוגמה $1$ : ניצב חסר במשולש $5, 12, 13$

שלב 1 מתוך 4

c = 13, a = 5

מזהים את היתר. $13$ ידוע ועדיין הצלע הגדולה ביותר.

c = 13

דוגמה $2$ : ניצב עם שורש לא שלם

שלב 1 מתוך 3

c = 10, a = 7

מחסרים ריבועים.

b^{2} = 1 0^{2} - 7^{2} = 100 - 49 = 51

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

$c = 17, a = 8$

$b^{2} = 289 - 64 = 225$ , לכן $b = 15$ . שלשה $8, 15, 17$ .

$c = 25, a = 7$

$b^{2} = 625 - 49 = 576$ , לכן $b = 24$ . שלשה $7, 24, 25$ .

$c = 41, a = 9$

$b^{2} = 1681 - 81 = 1600$ , לכן $b = 40$ . שלשה $9, 40, 41$ .

לא $c - a$

ב- $c = 13, a = 5$ , החיסור $13 - 5 = 8$ אינו הניצב. הניצב הוא $12$ .

שורש מדויק

$c = 9, a = 4$ נותן $b = 65$ . אין פישוט אפשרי.

כפולה

אם $c = 20, a = 12$ , אז $b = 16$ (השלשה $12, 16, 20$ , פי $4$ מ- $3, 4, 5) .$

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות חוזרות בחישוב ניצב חסר. כל אחת מהן ניתנת לזיהוי לפני שמסיימים, אם עוצרים לבדוק את התוצאה.

ארבע טעויות מרכזיות

מחסרים אורכים במקום ריבועים

הטעות: לכתוב $b = c - a$ , למשל $13 - 5 = 8$ . התיקון: $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ , ואז שורש.

דוגמה: ב- $c = 13, a = 5$ : התשובה הנכונה $b = 12$ , לא $8$ .

מחברים כמו ביתר

הטעות: לחשב $c^{2} + a^{2}$ כשהיתר ידוע. התיקון: היתר כבר ידוע, אין צורך לחבר אליו.

דוגמה: אם $c = 10, a = 6$ , התשובה היא $b = 8$ , לא $136$ .

סדר חיסור הפוך

הטעות: לחשב $a^{2} - c^{2}$ ולקבל מספר שלילי. התיקון: היתר הגדול תמיד, ולכן $c^{2} - a^{2} > 0$ .

דוגמה: אם הסימן יצא שלילי, ההצבה הפוכה - בטח הציבו ניצב במקום היתר.

ניצב גדול מהיתר

הטעות: לקבל $b$ שגדול מ- $c$ . התיקון: ניצב חייב להיות קצר מהיתר.

דוגמה: אם $b > c$ בתוצאה, חזרו ובדקו את החישוב או את הזיהוי.

אם הניצב החסר יצא גדול מהיתר, סימן שהשתמשתם בפעולה לא נכונה או הצבתם הפוך.

בדיקת סבירות חובה

ניצב חסר חייב להיות קצר מהיתר וארוך מאפס. תוצאה גדולה מהיתר אינה אפשרית. תוצאה אפס או שלילית מציינת טעות בזיהוי או בסדר החיסור.

ודאו שהיתר באמת ידוע, ושהוא הצלע הגדולה ביותר בנתונים.
חסרו ריבועים, לא אורכים. רוב הטעויות פה.
השוו את התוצאה ליתר: $b < c$ .
ודאו שהתוצאה חיובית. אם יצא $b^{2} < 0$ , הציבו הפוך.
כתבו יחידת אורך.

סולם וגובה הגעה

אורך הסולם וקנה המידה ידועים. מה גובה ההגעה? הסולם הוא היתר, המרחק מהקיר הוא ניצב, גובה ההגעה הוא הניצב החסר.

גובה רחפן או עפיפון

אורך הקצב (אלכסוני) ומרחק אופקי על הקרקע ידועים. הגובה האנכי הוא הניצב החסר.

אלכסון מלבן וצלע חסרה

ידוע אלכסון של מלבן וצלע אחת. הצלע השנייה היא הניצב החסר במשולש שיוצרים האלכסון והצלעות.

טיסה ומרחק על מפה

המרחק האווירי בין שתי ערים ידוע, וההפרש בקו רוחב ידוע. ההפרש בקו אורך הוא הניצב החסר.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

שאלה 1 מתוך 14

יתר $10$ , ניצב $2$ . הניצב השני המדויק הוא:

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של חישוב ניצב כבר מוכן.

פתחו תרגול