נפח גליל

שטח בסיס כפול גובה - מילוי וקיבולת

$math/022-cylinder$ מה נלמד כאן?

נפח גליל מתאר את כמות החומר שיכולה להתמלא בתוכו. הרעיון הגאומטרי: גליל הוא ערימה של דיסקות עגולות שטוחות, ולכן הנפח שלו הוא שטח דיסקה אחת כפול הגובה. הנוסחה

V = π r^{2} h

מבטאת בדיוק את הקשר הזה: שטח בסיס כפול גובה.

המשמעות הגאומטרית

נחשוב על גליל כשכבות של עיגולים. כל שכבה תופסת שטח

π r^{2}

, ובסך הכל יש

h

שכבות. הסכום הוא

π r^{2} h

הנוסחה

V = π r^{2} h

. רדיוס בריבוע, גובה בעוצמה ראשונה. שני שורשים שונים של ההשפעה.

יחידות

נפח בסמ"ק (סנטימטר מעוקב), מ"ק (מטר מעוקב) או ליטרים.

1000

סמ"ק =

1

ליטר.

מציאת ממד חסר

אם נתון נפח ואחד מהממדים, אפשר למצוא את הממד השני. למצוא רדיוס דורש שורש; למצוא גובה זה רק חילוק.

טוען סימולציה...

הבנה מרכזית

נפח גליל מתאר מילוי. חושבים על הגליל כשכבות עגולות רבות, ולכן נפח הוא שטח בסיס כפול גובה. כל שכבה היא עיגול בשטח $π r^{2}$ , ובסך הכל יש $h$ ס"מ של שכבות (אם הגובה ב-ס"מ). תוצאת המכפלה היא הסמ"ק שיכולים להתמלא.

למה רדיוס בריבוע אבל גובה לא?

ההסבר נעוץ במשמעות הגאומטרית של כל גודל.

הרדיוס משפיע על שטח הבסיס - שני ממדים בו זמנית: הקוטר וההיקף. כשהוא גדל, גם רוחב הבסיס וגם 'אורך' ההיקף גדלים. לכן השפעתו ריבועית. הגובה משפיע רק על מספר השכבות - ממד אחד. לכן השפעתו ליניארית.

במונחים פיזיים: אם תכפילו את הרדיוס, הנפח יגדל פי $4$ . אם תכפילו את הגובה, הנפח יגדל פי $2$ בלבד.

נפח גליל

V = π r^{2} h

ליטר וסמ"ק

1 ליטר = 1000 סמ"ק = 1000 ס"מ^{3}

נפח, שטח, ויחידות - השוואה

מושג	נוסחה	יחידה
שטח בסיס	$B = π r^{2}$	סמ"ר
נפח	$V = π r^{2} h$	סמ"ק (= ליטרים אם נחלק ב- $1000)$
שטח מעטפת	$M = 2 π r h$	סמ"ר
יחס נפח-שטח	$V / B = h$	ס"מ (גובה)

* ההבדל המהותי: שטח דו-ממדי, נפח תלת-ממדי. הנוסחאות ניתנות להבחנה לפי הריבוע ב- $r$ ולפי נוכחות $h$ .

שיטת עבודה

בעיות נפח שונות מבעיות שטח: מחפשים סמ"ק, לא סמ"ר. ההבדל הראשון לזהות הוא בין מילוי (נפח) לכיסוי (שטח).

ארבעה שלבים בכל בעיית נפח

מזהים שזה נפח

מילים מרמזות: 'מים', 'מתמלא', 'קיבולת', 'נפח', 'ליטרים'.

היחידות: סמ"ק, מ"ק, ליטרים.

אם השאלה על כיסוי או צבע - זה שטח, לא נפח.

$math/006-circle$

רדיוס מתוך הנתונים

אם נתון קוטר, מחלקים ב- $2$ .

ב- $π r^{2}$ חייב רדיוס.

אסור להציב קוטר במקום רדיוס בנוסחה זו.

$math/030-equation$

מציבים בנוסחה

מחשבים שטח בסיס בנפרד.

מכפילים בגובה.

משאירים $π$ סמלי.

יחידות וקיבולת

נפח בסמ"ק או ליטרים.

להמיר לליטרים: לחלק ב- $1000$ .

לשטח קלאסי לבדוק שלא קיבלנו סמ"ר במקום סמ"ק.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות מציגות חישוב נפח ישיר, מציאת ממד חסר ומקרים מציאותיים.

דוגמה $1$ : נפח ישיר

שלב 1 מתוך 3

r = 5, h = 12

שטח בסיס.

B = π r^{2} = π \cdot 25 = 25 π

דוגמה $2$ : גובה חסר

שלב 1 מתוך 3

V = 192 π, r = 4

שטח בסיס.

B = π \cdot 4^{2} = 16 π

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

$r = 2, h = 5$

$V = π \cdot 4 \cdot 5 = 20 π$ סמ"ק.

$r = 10, h = 10$

$V = π \cdot 100 \cdot 10 = 1000 π$ סמ"ק = $π$ ליטר.

קוטר במקום רדיוס

אם $d = 14, h = 8$ : $r = 7$ , $V = π \cdot 49 \cdot 8 = 392 π$ .

גובה חסר

אם $V = 80 π, r = 4$ : $h = 80 π / (16 π) = 5$ .

רדיוס חסר

אם $V = 48 π, h = 3$ : $r^{2} = 16, r = 4$ .

המרה

$500 π$ סמ"ק = $π /2$ ליטר $\approx 1.57$ ליטר.

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

החלפה עם נוסחת מעטפת

הטעות: לחשב $2 π r h$ במקום $π r^{2} h$ . התיקון: נפח דורש שטח בסיס בריבוע, לא היקף.

דוגמה: אם $r = 3, h = 10$ : נפח $90 π$ , מעטפת $60 π$ . הראשונה גדולה יותר ב- $50$ .

קוטר במקום רדיוס

הטעות: להציב קוטר במקום רדיוס. התיקון: ב- $r^{2}$ חייבים רדיוס.

דוגמה: אם $d = 10, h = 5$ : $r = 5$ , $V = 125 π$ , לא $500 π$ .

שורש במקום ריבוע

הטעות: בחיפוש רדיוס, לעצור ב- $r^{2}$ ולכתוב אותו כתשובה. התיקון: השורש נחוץ.

דוגמה: אם $r^{2} = 25$ , התשובה $r = 5$ , לא $25$ .

ערבוב יחידות

הטעות: לכתוב נפח בסמ"ר. התיקון: נפח תמיד בסמ"ק או ליטרים.

דוגמה: תוצאה בסמ"ר היא לא נפח אלא שטח. בעיה בחישוב או בשלב הראשון.

אם יחידת התוצאה לא מתאימה לסוג הבעיה, בטח טעיתם בנוסחה.

בדיקת סבירות

לפני שמסיימים: ודאו שהיחידות הן יחידות נפח (סמ"ק, מ"ק, ליטרים). אם נתונים מאוד קטנים (רדיוס $1$ וגובה $1$ ), נפח קטן ( $π \approx 3.14$ סמ"ק). אם נתונים גדולים, גם הנפח גדול. הקשר אינו ליניארי - רדיוס פי $2$ נותן נפח פי $4$ .

ודאו שהבעיה עוסקת במילוי / קיבולת / נפח, לא בכיסוי.
בדקו אם הנתון רדיוס או קוטר.
השאירו $π$ סמלי בחישוב.
בדקו שיחידת התוצאה היא יחידת נפח.
אם נדרש להמיר לליטרים, חלקו ב- $1000$ .

פחית שתייה

פחית סטנדרטית: קוטר $\approx 6.6$ ס"מ, גובה $\approx 12$ ס"מ. הקיבולת היא $π \cdot 3. 3^{2} \cdot 12 \approx 411$ סמ"ק - מתאים ל- $330$ מ"ל מהמילוי בערך $80%$ .

מאגר מים גלילי

מאגר מים בקיבוץ: רדיוס $3$ מ', גובה $5$ מ'. הקיבולת $V = π \cdot 9 \cdot 5 = 45 π$ מ"ק, וזה בערך $141.4$ מ"ק, או כ- $141$ , $000$ ליטרים (כי $1$ מ"ק = $1000$ ליטרים).

צינור הנעת מים

כמות המים שעוברת בצינור בפרק זמן תלויה בנפח הצינור: רדיוס פנימי בריבוע כפול אורך הצינור. רדיוס פי $2$ מאפשר זרימה פי $4$ .

כוסות מדידה ובישול

כוס מדידה גלילית: נפח של כוס סטנדרטית $= 240$ סמ"ק. אם הקוטר $7$ ס"מ והגובה $h$ , אז $240 = π \cdot 3. 5^{2} \cdot h$ , ולכן $h \approx 6.2$ ס"מ.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

שאלה 1 מתוך 14

גליל בקוטר $10$ ס"מ וגובה $8$ ס"מ. הנפח:

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של נפח גליל כבר מוכן.

פתחו תרגול

נפח גליל

מה נלמד כאן?

הבנה מרכזית

למה רדיוס בריבוע אבל גובה לא?

נפח, שטח, ויחידות - השוואה

שיטת עבודה

ארבעה שלבים בכל בעיית נפח

מזהים שזה נפח

רדיוס מתוך הנתונים

מציבים בנוסחה

יחידות וקיבולת

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: נפח ישיר

דוגמה 2: גובה חסר

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

r=2,h=5

r=10,h=10

קוטר במקום רדיוס

גובה חסר

רדיוס חסר

המרה

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

החלפה עם נוסחת מעטפת

קוטר במקום רדיוס

שורש במקום ריבוע

ערבוב יחידות

בדיקת סבירות

פחית שתייה

מאגר מים גלילי

צינור הנעת מים

כוסות מדידה ובישול

בדקו את עצמכם

גליל בקוטר 10 ס"מ וגובה 8 ס"מ. הנפח:

נפח גליל

מעבר לדף התרגול של המודול

$math/022-cylinder$ מה נלמד כאן?

דוגמה $1$ : נפח ישיר

דוגמה $2$ : גובה חסר

$r = 2, h = 5$

$r = 10, h = 10$

גליל בקוטר $10$ ס"מ וגובה $8$ ס"מ. הנפח: