מהו המשולש שמסתתר בצורה?

פיתגורס בצורות במישור

אלכסונים, גבהים, קואורדינטות ומרחקים

$math/044-geometry$ מה נלמד כאן?

בצורות במישור משפט פיתגורס מופיע בתוך אלכסונים, גבהים, קואורדינטות ומרחקים. האתגר הוא למצוא את המשולש הישר שמסתתר בתוך הצורה - לא תמיד הוא מצויר באופן מפורש.

אלכסונים במלבן ובריבוע

נחשב אלכסון מלבן וריבוע בעזרת פיתגורס. נכיר את הנוסחה

d = s 2

עבור אלכסון ריבוע.

אלכסון מעוין

נראה איך אלכסוני מעוין יוצרים ארבעה משולשים ישרי זווית, ומשתמשים בפיתגורס בכל אחד.

גובה במשולש שווה-שוקיים

נחשב גובה במשולש שווה-שוקיים: הגובה לבסיס מחלק את הבסיס לשניים שווים, ויוצר משולש ישר זווית.

מרחק בין נקודות

נשתמש בהפרשי

x

ו-

y

כדי למצוא מרחק בין נקודות במערכת צירים.

בחירת משולש

נלמד לבנות את המשולש הישר לפני החישוב. זהו השלב הקריטי בכל בעיה במישור.

טוען סימולציה...

הבנה מרכזית

אלכסון של מלבן מחלק אותו לשני משולשים ישרי זווית. גם במערכת צירים, הפרשי הקואורדינטות יוצרים משולש ישר זווית שמוביל למרחק. בכל הבעיות במישור, השלב הראשון הוא לזהות איפה ה- $9 0^{\circ}$ ולמי הוא שייך.

המשולש שמסתתר בצורה

רוב בעיות המישור לא אומרות מיד 'משולש ישר זווית'. הן מציגות מלבן, ריבוע, מערכת צירים, או מעוין.

אנחנו יוצרים או מזהים את המשולש הישר זווית: צלעות המלבן הן ניצבים, והאלכסון הוא היתר. בקואורדינטות, הפרשי הצירים הם הניצבים. במעוין, חצי-אלכסונים הם ניצבים. בכל מקום שיש זווית של $9 0^{\circ}$ בתוך הצורה, אפשר לבנות משולש שעליו יחול פיתגורס.

לכן מרחק במישור הוא יישום ישיר של פיתגורס - אם רק יודעים איך להוציא את המשולש הנכון מהציור.

אלכסונים וגבהים בצורות נפוצות

צורה	מה מחשבים	נוסחה
מלבן $a \times b$	אלכסון	$d = a^{2} + b^{2}$
ריבוע צלע $s$	אלכסון	$d = s 2$
מעוין אלכסונים $p, q$	צלע	$a = (p /2)^{2} + (q /2)^{2}$
משולש שווה-שוקיים בסיס $b$ , שוק $a$	גובה לבסיס	$h = a^{2} - (b /2)^{2}$
מרחק בין נקודות	מרחק $d$	$d = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}$
טרפז ישר זווית גבהים $a, c$ , אורך $b$	השוק האלכסונית	$d = (c - a)^{2} + b^{2}$

* כל הנוסחאות הן יישום ישיר של $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ למשולש שמסתתר בצורה.

מרחק בין שתי נקודות במישור

d = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}

מרחק בין שתי נקודות

שיטת עבודה

ההצלחה תלויה בציור עזר: סמנו את הניצבים שנוצרו והחליטו מהו היתר. מי שמדלג על הציור, מסתכן בהצבה שגויה.

ארבעה שלבים בכל בעיה במישור

מזהים את הצורה

מלבן וריבוע מכילים זוויות ישרות בקודקודים.

מעוין מכיל זוויות ישרות במפגש האלכסונים.

במשולש שווה-שוקיים, הגובה לבסיס יוצר זווית ישרה.

$math/007-triangle$

מציירים משולש ישר זווית

מסמנים את שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה (ניצבים).

מסמנים את הצלע מול הזווית הישרה (יתר).

אם בעיה של מרחק - הפרשים לאורך הצירים הם הניצבים.

$math/030-equation$

מחשבים הפרשים או צלעות

בקואורדינטות מחשבים $Δ x$ ו- $Δ y$ .

משתמשים בערכים חיוביים: $Δ x = ∣ x_{2} - x_{1} ∣$ .

במלבן, הצלעות הן הניצבים.

מציבים בפיתגורס ובודקים יחידות

מרחק או אלכסון הוא אורך - לא שטח.

אם הניצבים בס"מ, גם התשובה בס"מ.

בודקים שהיתר ארוך מכל ניצב.

דוגמאות פתורות

הדוגמאות עוברות בין מלבן, ריבוע, מעוין, משולש שווה-שוקיים ומערכת צירים. בכולן קודם מוצאים את הניצבים, ואז מחשבים.

דוגמה $1$ : אלכסון מלבן

שלב 1 מתוך 4

9 \times 12

האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית. צלעות המלבן הן ניצבים.

a = 9, b = 12

$math/004-square$ דוגמה $2$ : אלכסון ריבוע

שלב 1 מתוך 3

ריבוע צלע s = 6

בריבוע שני הניצבים שווים: שתיהם $6$ .

a = b = 6

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

ריבוע $s = 10$

אלכסון: $102 \approx 14.14$ .

מלבן $8 \times 15$

האלכסון הוא $17$ . שלשה מוכרת.

נקודות $(0, 0), (3, 4)$

$Δ x = 3, Δ y = 4$ , המרחק $5$ . שלשה $3, 4, 5$ .

יחידות

מרחק בין נקודות נמדד ביחידות אורך, לא ביחידות שטח.

משולש שווה-שוקיים שוק $5$ , בסיס $6$

גובה: $25 - 9 = 4$ . שלשה $3, 4, 5$ .

מעוין אלכסונים $6$ ו- $8$

צלע: $9 + 16 = 5$ . שלשה $3, 4, 5$ .

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

שטח במקום אלכסון

הטעות: לחשב $9 \cdot 12$ כאלכסון. התיקון: אלכסון הוא אורך, ולכן משתמשים בפיתגורס.

דוגמה: שטח המלבן $108$ , אבל האלכסון $15$ .

סימני קואורדינטות

הטעות: להשתמש בהפרשים שליליים כתשובה למרחק שלילי. התיקון: ריבוע ההפרש נותן מרחק חיובי תמיד.

דוגמה: $(- 6)^{2} = 36 = 6^{2}$ . הסימן נעלם בהעלאה בריבוע.

אלכסון מעוין במקום צלע

הטעות: לחבר ריבועי שני האלכסונים השלמים. התיקון: צריך חצאי-אלכסונים, כי הם הניצבים.

דוגמה: במעוין עם $p = 10$ ו- $q = 24$ , הצלע $= 5^{2} + 1 2^{2} = 13$ , ולא $100 + 576$ .

במשולש שווה-שוקיים: שוק כניצב

הטעות: להציב את השוק במקום הניצב, או לעבוד עם בסיס שלם במקום חציו. התיקון: השוק היא יתר, חצי-בסיס הוא ניצב.

דוגמה: שוק $5$ , בסיס $6$ : $h^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 16$ , ולא $5^{2} - 6^{2}$ (שלילי).

הציור הוא ידיד. כשמסבכים את ההצבה - חזרו לציור ובדקו מה ניצב ומה יתר.

בדיקת סבירות

אלכסון מלבן צריך להיות ארוך מכל צלע של המלבן, אבל קצר מסכום שתי הצלעות. גובה במשולש שווה-שוקיים קצר מהשוק. צלע מעוין קצרה מסכום שני חצאי-האלכסונים.

זהו את המשולש הישר זווית בתוך הצורה.
בדקו שהאלכסון/יתר הוא הצלע מול הזווית הישרה.
השוו את התוצאה לצלעות - היא חייבת להיות בטווח הסביר.
כתבו יחידת אורך.

מרחק בין ערים על מפה

במפת רשת, המרחק האווירי בין שתי ערים מחושב לפי הפרשי קואורדינטות. לדוגמה, אם עיר $A$ ב- $(0, 0)$ ועיר $B$ ב- $(60, 80)$ ק"מ, המרחק האווירי $100$ ק"מ.

אלכסון מסך וקופסה

לכל מסך טלוויזיה ומחשב יש מידה אלכסונית. היא מחושבת מהרוחב והגובה של המסך, שהם ניצבים.

תכנון גינות וגינון

בתכנון גינה מרובעת או מלבנית, מודדים את האלכסון כדי לוודא שהפינות ישרות. אם האלכסון לא תואם, הגינה אינה ישרת זווית.

ניווט בים ובאוויר

במסלול אלכסוני בין שתי נקודות, מחשבים את המרחק האווירי לפי הפרשי קווי הרוחב והאורך. המרחק האמיתי קצר יותר מסכום המסלולים האנכי והאופקי.

בדקו את עצמכם

השאלון בודק הבנה, חישוב, יחידות והסבר. אם טעיתם, חזרו לדוגמה הפתורה ולבדיקת הסבירות.

שאלה 1 מתוך 14

אם $Δ x = 5$ , $Δ y = 12$ , המרחק הוא:

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של פיתגורס בצורות במישור כבר מוכן.

פתחו תרגול

פיתגורס בצורות במישור

מה נלמד כאן?

הבנה מרכזית

המשולש שמסתתר בצורה

אלכסונים וגבהים בצורות נפוצות

שיטת עבודה

ארבעה שלבים בכל בעיה במישור

מזהים את הצורה

מציירים משולש ישר זווית

מחשבים הפרשים או צלעות

מציבים בפיתגורס ובודקים יחידות

דוגמאות פתורות

דוגמה 1: אלכסון מלבן

דוגמה 2: אלכסון ריבוע

דוגמאות נוספות לבדיקה מהירה

ריבוע s=10

מלבן 8×15

נקודות (0,0),(3,4)

יחידות

משולש שווה-שוקיים שוק 5, בסיס 6

מעוין אלכסונים 6 ו-8

טעויות נפוצות ובדיקות

ארבע טעויות נפוצות

שטח במקום אלכסון

סימני קואורדינטות

אלכסון מעוין במקום צלע

במשולש שווה-שוקיים: שוק כניצב

בדיקת סבירות

מרחק בין ערים על מפה

אלכסון מסך וקופסה

תכנון גינות וגינון

ניווט בים ובאוויר

בדקו את עצמכם

אם Δx=5, Δy=12, המרחק הוא:

פיתגורס בצורות במישור

מעבר לדף התרגול של המודול

$math/044-geometry$ מה נלמד כאן?

דוגמה $1$ : אלכסון מלבן

$math/004-square$ דוגמה $2$ : אלכסון ריבוע

ריבוע $s = 10$

מלבן $8 \times 15$

נקודות $(0, 0), (3, 4)$

משולש שווה-שוקיים שוק $5$ , בסיס $6$

מעוין אלכסונים $6$ ו- $8$

אם $Δ x = 5$ , $Δ y = 12$ , המרחק הוא: