מערכות לא ליניאריות

מה שונה ממערכת קווית?

במערכת קווית שני הגרפים הם ישרים, ולכן בדרך כלל מקבלים נקודת חיתוך אחת או מקרים מיוחדים. במערכת לא ליניארית של ישר ופרבולה יכולים להתקבל שתי נקודות חיתוך, נקודה אחת או אף נקודה. האלגברה דומה: מציבים או משווים, אבל המשוואה שמתקבלת היא ריבועית.

דוגמה פתורה

בדוגמה הפתורה שימו לב לא רק לחישוב הסופי, אלא גם לסיבה של כל מעבר. המטרה היא לדעת לבחור ייצוג, לבדוק אותו, ולכתוב תשובה שאפשר להצדיק.

אסטרטגיית עבודה

לפני שמתחילים לפתור, כדאי לעצור ולזהות את המבנה. כך לא משתמשים בכלי אלגברי מתוך הרגל, אלא מתוך התאמה אמיתית לתנאי השאלה.

שלבי החלטה

בודקים מבנה

אם מופיע $x^2$, המערכת אינה קווית.

עדיין מחפשים זוג סדור שמקיים את כל התנאים.

מציבים או משווים

אם שתי המשוואות מבודדות את $y$, משווים.

אם אחת נותנת $y$, מציבים במשוואה השנייה.

מאמתים

כל זוג חייב לקיים את שתי המשוואות.

הסקיצה צריכה להתאים למספר הפתרונות.

תרגול מודרך

התרגילים הבאים בודקים את אותה חשיבה בצורה מדורגת: קודם מזהים את המבנה, אחר כך מחשבים, ולבסוף מפרשים את התוצאה בהקשר.

מערכת עם שני פתרונות

בינוני

פתרו את המערכת $y=x^2$, $y=2x+3$.

$$\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=2x+3\end{array}$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

מערכת עם פתרון אחד

מאתגר

כמה פתרונות יש למערכת $y=x^2$, $y=2x-1$, ומהו הפתרון?

$$\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=2x-1\end{array}$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

העמקה קצרה

לחץ להרחבה למתקדמים

↓

מערכות לא ליניאריות הן בסיס למידול מתקדם: חיתוך בין מסלול, מחיר, רווח או מגבלה. בכיתה ט עובדים עם פרבולה וישר, אבל אותו רעיון ממשיך גם לעקומות אחרות.

דוגמאות פתורות נוספות

העמקה ותרגול מבחן

מערכת לא ליניארית דורשת שני סוגי נאמנות: נאמנות לאלגברה ונאמנות למערכת המקורית. כל זוג סדור שמצאתם חייב לחזור ולעבוד בשתי המשוואות.

בדיקת פתרון מערכת

הצבה ראשונה

בודקים את הזוג במשוואה הריבועית.

מחשבים את שני האגפים.

הצבה שנייה

בודקים את הזוג במשוואה הקווית.

אין די במשוואה אחת.

פירוש גרפי

כל זוג הוא נקודת חיתוך.

מספר הזוגות תואם למספר הפתרונות של המשוואה הריבועית.

מערכת עם שתי נקודות חיתוך חדשות

בינוני

פתרו את המערכת $y=x^2-3$, $y=x+3$.

$$\{\begin{array}{l}y=x^2-3\\ y=x+3\end{array}$$

רמז (1/3)

פתרו את התרגיל

מערכת עם השקה

בינוני

פתרו את המערכת $y=x^2+1$, $y=2x$.

$$\{\begin{array}{l}y=x^2+1\\ y=2x\end{array}$$

רמז (1/3)

פתרו את התרגיל

מערכת שבה צריך לבודד

מאתגר

פתרו את המערכת $x+y=5$, $y=x^2-1$.

$$\{\begin{array}{l}x+y=5\\ y=x^2-1\end{array}$$

רמז (1/3)

פתרו את התרגיל

מערכת ללא פתרון ממשי

מאתגר

קבעו אם למערכת $y=x^2+4$, $y=2x+1$ יש פתרון.

$$\{\begin{array}{l}y=x^2+4\\ y=2x+1\end{array}$$

רמז (1/3)

פתרו את התרגיל

שאלה 1 מתוך 14

מהי בדיקה נכונה לפתרון $(2,4)$?

א

בדיקת שיפוע בלבד

ב

הצבה בשתי המשוואות

ג

בדיקת סימן האי-שוויון

ד

בדיקה במשוואה אחת בלבד

פוסטר סיכום

מערכות לא ליניאריות

יישומי אלגברה וגרפים

למדו מערכות לא ליניאריות במתמטיקה לכיתה ט׳: חיתוך, תחומים, מערכות, מידול והוכחות. שיעור אינטראקטיבי עם הסברים, דוגמאות, חידון ותרגול למבחן.