אי-שוויונות ריבועיים בסקיצה

לא רק איפה הפרבולה מתאפסת, אלא איפה היא מעל או מתחת לציר

מה בונים במודול?

בפרק הזה האלגברה והגרפים עובדים יחד. בכל מודול נתרגם מצב לייצוג מתאים, נבדוק את התוצאה גם בחישוב וגם בסקיצה, ונלמד להסביר למה הדרך שבחרנו מתאימה.

שורשים כגבולות

נלמד שהשורשים של הביטוי הריבועי מחלקים את הציר לתחומים.

סימן הפרבולה

נזהה מתי הפרבולה מעל הציר ומתי מתחת לציר לפי כיוון הפתיחה.

קצוות פתוחים וסגורים

נבחין בין

>

<

\geq

\leq

$math/020-math book$ מה מחפשים באי-שוויון ריבועי?

במשוואה ריבועית מחפשים נקודות שבהן הביטוי שווה לאפס. באי-שוויון ריבועי מחפשים תחומים שלמים שבהם הביטוי חיובי או שלילי. השורשים הם נקודות המעבר, והסקיצה עוזרת לראות באילו קטעים הפרבולה נמצאת מעל או מתחת לציר $x$ .

$math/028-symbols$ שורשים מחלקים את הציר

בביטוי $x^{2} - 5 x + 6$ השורשים הם $2$ ו- $3$ .

הפרבולה פונה כלפי מעלה, ולכן היא חיובית מחוץ לשורשים ושלילית ביניהם.

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

לכן $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ מתקיים עבור $x < 2$ או $x > 3$ .

אי-שוויון לדוגמה

x^{2} - 5 x + 6 > 0

תחומי הפתרון של $x^{2} - 5 x + 6 > 0$

דוגמה פתורה

בדוגמה הפתורה שימו לב לא רק לחישוב הסופי, אלא גם לסיבה של כל מעבר. המטרה היא לדעת לבחור ייצוג, לבדוק אותו, ולכתוב תשובה שאפשר להצדיק.

פתרון אי-שוויון בעזרת סקיצה

שלב 1 מתוך 4

x^{2} - 5 x + 6 > 0

מהו הצעד הראשון?

אסטרטגיית עבודה

לפני שמתחילים לפתור, כדאי לעצור ולזהות את המבנה. כך לא משתמשים בכלי אלגברי מתוך הרגל, אלא מתוך התאמה אמיתית לתנאי השאלה.

שלבי החלטה

$math/030-equation$

שורשים

פותרים את המשוואה המתאימה עם $= 0$ .

השורשים הם גבולות התחומים.

$math/048-graphs$

כיוון

אם $a > 0$ , הפרבולה פונה למעלה.

אם $a < 0$ , הפרבולה פונה למטה.

סימן

בודקים אם צריך חיובי או שלילי.

סוג הסימן קובע אם הקצוות כלולים.

תרגול מודרך

התרגילים הבאים בודקים את אותה חשיבה בצורה מדורגת: קודם מזהים את המבנה, אחר כך מחשבים, ולבסוף מפרשים את התוצאה בהקשר.

פרבולה פונה למטה

בינוני

פתרו את האי-שוויון $- x^{2} + 4 x - 3 \geq 0$ .

- x^{2} + 4 x - 3 \geq 0

תחום שלילי

בינוני

פתרו את $(x + 1) (x - 4) < 0$ .

(x + 1) (x - 4) < 0

סימני זיהוי ודוגמאות

חיובי

$f (x) > 0$ פירושו שהגרף מעל ציר $x$ .

שלילי

$f (x) < 0$ פירושו שהגרף מתחת לציר $x$ .

קצה כלול

בסימנים $\geq$ או $\leq$ , השורשים כלולים כי הביטוי שווה שם לאפס.

בדיקת נקודה

אם לא בטוחים בסימן תחום, מציבים נקודה פשוטה מתוך התחום ובודקים.

שאלה לחשיבה

מדוע באי-שוויון ריבועי התשובה בדרך כלל אינה מספר אחד?

אי-שוויון שואל עבור אילו ערכי $x$ הביטוי חיובי, שלילי, גדול או קטן מערך מסוים. כל ערך בתוך תחום שלם יכול לקיים את התנאי, ולכן התשובה היא קטע או איחוד קטעים ולא נקודה בודדת.

שאלה לחשיבה

איך אפשר לבדוק במהירות אם בחרתם את התחום הנכון?

בוחרים נקודת בדיקה מתוך התחום, למשל $x = 0$ אם היא מתאימה, ומציבים בביטוי המקורי. אם הסימן שמתקבל מתאים לאי-שוויון, התחום שבחרתם סביר. אם לא, כנראה בחרתם את התחום המשלים.

טעות נפוצה: לפתור משוואה ולסיים

שורשי המשוואה הם רק גבולות. באי-שוויון התשובה היא תחום, ולכן צריך להחליט באילו קטעים הביטוי עומד בתנאי.

מצאו שורשים.
קבעו כיוון פתיחה.
בחרו מעל או מתחת לציר לפי סימן האי-שוויון.
החליטו אם הקצוות כלולים.

אי-שוויונות ריבועיים הם כלי בסיסי באופטימיזציה. הם עונים על שאלות כמו מתי רווח חיובי, מתי שטח גדול מערך מסוים, או מתי מודל גרפי נמצא מעל קו יעד.

דוגמאות פתורות נוספות

שורש כפול וסימן כולל

שלב 1 מתוך 3

(x - 4)^{2} \leq 0

מתי ריבוע יכול להיות $0$ ?

ביטוי שתמיד חיובי

שלב 1 מתוך 3

x^{2} + 4 x + 8 > 0

מהי הצורה הנכונה?

העמקה ותרגול מבחן

אי-שוויון ריבועי אינו שאלה על נקודה אחת אלא על תחום שלם. לכן הפתרון צריך להופיע כקטע, כאיחוד תחומים, או כקביעה שאין פתרון.

$math/028-symbols$ שורשים מחלקים את הציר לאזורי סימן

בביטוי $(x - 2) (x - 5)$ , השורשים $2$ ו- $5$ מחלקים את הציר לשלושה תחומים.

בכל תחום הסימן של הביטוי קבוע. סקיצה של פרבולה או בדיקת נקודה אחת בכל תחום מספיקה כדי לבחור את התחומים המתאימים.

(x - 2) (x - 5) \leq 0

הפתרון הוא התחום שבו הגרף נמצא על הציר או מתחתיו: $2 \leq x \leq 5$ .

פתרון לדוגמה: $(x - 2) (x - 5) \leq 0$

בחירת תחומים לפי סימן וכיוון

מבנה	סימן מבוקש	התחום שבוחרים
פרבולה פונה למעלה	$> 0$	מחוץ לשורשים
פרבולה פונה למעלה	$< 0$	בין השורשים
פרבולה פונה למטה	$> 0$	בין השורשים
פרבולה פונה למטה	$< 0$	מחוץ לשורשים

* בסימנים $\leq$ או $\geq$ כוללים גם את השורשים.

אלגוריתם שלא נופל במבחן

אפסים

פותרים את המשוואה המתאימה.

השורשים הם גבולות התחומים.

כיוון

בודקים אם $a$ חיובי או שלילי.

מחליטים איפה הגרף מעל או מתחת לציר.

$math/028-symbols$

סימן

קוראים אם מבוקש חיובי, שלילי או כולל אפס.

מתרגמים לסימון תחומים.

קצה

בודקים אם הקצוות כלולים.

מסיימים במשפט תשובה ברור.

תחומים חיצוניים

בינוני

פתרו את אי-השוויון $x^{2} - 5 x + 6 > 0$ .

x^{2} - 5 x + 6 > 0

השוואת פרבולה וישר כאי-שוויון

מאתגר

מצאו עבור אילו ערכי $x$ הפרבולה $y = x^{2} - 2 x - 3$ נמצאת מתחת לישר $y = x + 1$ .

x^{2} - 2 x - 3 \leq x + 1

אי-שוויון ללא פתרון

מאתגר

פתרו את $(x + 2)^{2} < 0$ .

(x + 2)^{2} < 0

פירוש אי-שוויון בהקשר

מאתגר

גובה כדור נתון על ידי $h (t) = - t^{2} + 4 t + 5$ . באילו זמנים הגובה לפחות $8$ ?

- t^{2} + 4 t + 5 \geq 8

שאלה לחשיבה

למה כדאי לשרטט גם כאשר יודעים לפרק את הביטוי לגורמים?

הפירוק נותן את הגבולות, אבל הסקיצה מונעת טעות בבחירת התחומים. היא גם מזכירה אם הקצוות כלולים ומראה אם התשובה צריכה להיות בין השורשים או מחוץ להם.

שאלה 1 מתוך 14

מה הפתרון של $x^{2} - x - 6 < 0$ ?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקחיתוך פרבולה וישר בפרקמערכות לא ליניאריות קשוריישומים של מערכות משוואות קשורתופעות מציאותיות ופונקציות קוויות

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של אי-שוויונות ריבועיים בסקיצה כבר מוכן.

פתחו תרגול

אי-שוויונות ריבועיים בסקיצה

מה בונים במודול?

מה מחפשים באי-שוויון ריבועי?

שורשים מחלקים את הציר

דוגמה פתורה

פתרון אי-שוויון בעזרת סקיצה

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

שורשים

כיוון

סימן

תרגול מודרך

פרבולה פונה למטה

תחום שלילי

סימני זיהוי ודוגמאות

חיובי

שלילי

קצה כלול

בדיקת נקודה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

טעות נפוצה: לפתור משוואה ולסיים

העמקה קצרה

דוגמאות פתורות נוספות

שורש כפול וסימן כולל

ביטוי שתמיד חיובי

העמקה ותרגול מבחן

שורשים מחלקים את הציר לאזורי סימן

בחירת תחומים לפי סימן וכיוון

אלגוריתם שלא נופל במבחן

אפסים

כיוון

סימן

קצה

תחומים חיצוניים

השוואת פרבולה וישר כאי-שוויון

אי-שוויון ללא פתרון

פירוש אי-שוויון בהקשר

שאלה לחשיבה

מה הפתרון של x2−x−6<0?