הוכחות אלגבריות פשוטות

אותיות יכולות להוכיח טענה לכל המספרים, לא רק לדוגמה אחת

מה בונים במודול?

במודול הזה נלמד להוכיח טענות באמצעות אלגברה. נייצג מספרים בעזרת משתנה, נעבד את הביטוי עד שמתקבלת הצורה שרצינו, ונסביר למה הנימוק נכון לכל המספרים ולא רק לדוגמה אחת.

ייצוג כללי

נייצג מספרים זוגיים, אי-זוגיים ורצופים בעזרת משתנה.

פירוק ונימוק

נשתמש בפירוק כדי להראות שמספר מתחלק ב-

2

, ב-

3

או בביטוי אחר.

הוכחה מול בדיקה

נבדיל בין דוגמה שמראה מקרה אחד לבין הוכחה שמכסה את כל המקרים.

$math/020-math book$ למה דוגמאות אינן הוכחה?

אם בודקים מספרים כמו $3, 4, 5$ , אפשר לראות דפוס, אבל לא הוכחנו שהוא נכון לכל המספרים. הוכחה אלגברית משתמשת במשתנה כדי לייצג כל מספר אפשרי מסוג מסוים, ואז משנה את הביטוי עד שרואים את המבנה שרצינו להוכיח.

$math/010-algebra$ מייצגים משפחה שלמה במספר אחד

מספר זוגי אפשר לכתוב כ- $2 n$ , ומספר אי-זוגי כ- $2 n + 1$ .

האות $n$ יכולה להיות כל מספר שלם. לכן ביטוי כמו $2 n$ מייצג את כל המספרים הזוגיים, לא רק דוגמה אחת.

זוגי = 2 n, אי-זוגי = 2 n + 1

כאשר מביאים ביטוי לצורה $2 \cdot מספר שלם$ , הוכחנו שהוא זוגי.

תמונה הממחישה את ייצוג המספרים הזוגיים, האי זוגיים והעוקבים בעזרת ביטויים אלגבריים — המשתנה $n$ מאפשר לייצג משפחות שלמות: זוגיים, אי-זוגיים ומספרים עוקבים.

ייצוגים שימושיים

n, n + 1, 2 n, 2 n + 1

דוגמה פתורה

בדוגמה הפתורה שימו לב לא רק לחישוב הסופי, אלא גם לסיבה של כל מעבר. המטרה היא לדעת לבחור ייצוג, לבדוק אותו, ולכתוב תשובה שאפשר להצדיק.

מכפלת שני מספרים עוקבים היא זוגית

שלב 1 מתוך 3

n (n + 1)

איך מייצגים שני מספרים עוקבים?

אסטרטגיית עבודה

לפני שמתחילים לפתור, כדאי לעצור ולזהות את המבנה. כך לא משתמשים בכלי אלגברי מתוך הרגל, אלא מתוך התאמה אמיתית לתנאי השאלה.

שלבי החלטה

מייצגים

מספר שלם כללי: $n$ .

מספר עוקב: $n + 1$ .

$math/030-equation$

מעבדים

פותחים, מצמצמים או מפרקים לפי הצורך.

מחפשים צורה שמראה את הטענה.

מסבירים

כותבים למה הצורה שהתקבלה מספיקה.

דוגמה יכולה לתמוך, אבל לא להחליף הוכחה.

תרגול מודרך

התרגילים הבאים בודקים את אותה חשיבה בצורה מדורגת: קודם מזהים את המבנה, אחר כך מחשבים, ולבסוף מפרשים את התוצאה בהקשר.

הפרש ריבועים של מספרים עוקבים

בינוני

הוכיחו שההפרש בין ריבוע של מספר לבין ריבוע המספר הקודם לו הוא אי-זוגי.

n^{2} - (n - 1)^{2}

ריבוע של מספר אי-זוגי

מאתגר

הוכיחו שריבוע של מספר אי-זוגי הוא אי-זוגי.

(2 n + 1)^{2}

סימני זיהוי ודוגמאות

מספר זוגי

$2 n$ מייצג כל מספר שמתחלק ב- $2$ .

מספר אי-זוגי

$2 n + 1$ מייצג מספר שנשארת לו שארית $1$ בחלוקה ב- $2$ .

מספרים עוקבים

אם אחד הוא $n$ , הבא אחריו הוא $n + 1$ .

הוכחה

הוכחה כללית משתמשת במשתנה ובנימוק, לא רק בדוגמאות.

שאלה לחשיבה

למה הביטוי $2 (n - 1) + 1$ מוכיח שמספר הוא אי-זוגי?

כי $2 (n - 1)$ הוא מספר זוגי: הוא כפולה של $2$ . כאשר מוסיפים לו $1$ , מקבלים מספר שאינו מתחלק ב- $2$ ומשאיר שארית $1$ . זו בדיוק צורת מספר אי-זוגי.

שאלה לחשיבה

מתי כדאי להשתמש בפירוק לגורמים בהוכחה אלגברית?

כאשר רוצים להראות התחלקות או סימן. אם מצליחים לכתוב ביטוי כמכפלה שיש בה גורם מסוים, למשל $2$ או $3$ , מקבלים נימוק ישיר לכך שהביטוי מתחלק בגורם הזה.

טעות נפוצה: דוגמה אינה הוכחה

שלוש דוגמאות נכונות יכולות לעזור לגלות דפוס, אבל הן אינן מכסות את כל המספרים. הוכחה צריכה להראות למה הטענה נכונה לכל ערך מתאים של המשתנה.

נסו דוגמה כדי להבין את הדפוס.
כתבו ייצוג כללי.
שנו את הביטוי עד שרואים את המבנה.
כתבו משפט סיכום שמחבר בין האלגברה לטענה.

הוכחות אלגבריות הן גשר בין אלגברה לגאומטריה דדוקטיבית. בשני התחומים לא מספיק לקבל תשובה, צריך לנמק מדוע היא חייבת להיות נכונה.

דוגמאות פתורות נוספות

מזהים הוכחה לא מספיקה

שלב 1 מתוך 3

בדקו: 3^{2} - 1 = 8, 5^{2} - 1 = 24

האם זה מוכיח לכל אי-זוגי?

מפריכים טענה בעזרת דוגמה נגדית

שלב 1 מתוך 3

הטענה: סכום שני מספרים אי-זוגיים הוא אי-זוגי

מהו $8$ ?

העמקה ותרגול מבחן

הוכחה אלגברית טובה אינה ארוכה בהכרח. היא צריכה ייצוג כללי נכון, מעבר אלגברי נקי, ומשפט שמסביר למה הצורה הסופית מוכיחה את הטענה.

ייצוגים שכדאי לדעת בעל פה

סוג מספרים	ייצוג כללי	למה זה שימושי
מספר זוגי	$2 n$	מראה התחלקות ב- $2$
מספר אי-זוגי	$2 n + 1$	מראה שארית $1$ בחלוקה ב- $2$
שני מספרים עוקבים	$n, n + 1$	מתאים לטענות על זוגיות ומכפלה
שלושה מספרים עוקבים	$n, n + 1, n + 2$	מתאים להתחלקות ב- $2$ וב- $3$

* בכל ייצוג $n$ הוא מספר שלם.

מבנה של הוכחה קצרה

ניסוח

כותבים מה צריך להוכיח.

מזהים את סוג המספרים.

$math/010-algebra$

ייצוג

בוחרים $n$ שלם.

מייצגים את כל המשפחה, לא דוגמה.

עיבוד

פותחים, מצמצמים או מפרקים.

מחפשים גורם משותף.

מסקנה

מסבירים את הצורה הסופית.

קושרים אותה לטענה המקורית.

סכום שני אי-זוגיים עוקבים

בינוני

הוכיחו שסכום שני מספרים אי-זוגיים עוקבים מתחלק ב- $4$ .

(2 n + 1) + (2 n + 3)

סכום ריבועי שני מספרים עוקבים

מאתגר

הוכיחו שסכום ריבועיהם של שני מספרים עוקבים הוא אי-זוגי.

n^{2} + (n + 1)^{2}

הפרש ריבועים של עוקבים

בינוני

הוכיחו שההפרש בין ריבועי שני מספרים עוקבים הוא אי-זוגי.

(n + 1)^{2} - n^{2}

מכפלת שלושה עוקבים

מאתגר

הוכיחו שמכפלת שלושה מספרים שלמים עוקבים מתחלקת ב- $6$ .

n (n + 1) (n + 2)

הבדיקה העצמית של הוכחה

שאלו את עצמכם: האם השתמשתי במשתנה שמייצג כל מקרה? האם המעבר האלגברי נכון? האם המשפט האחרון מסביר למה הטענה הוכחה?

שאלה 1 מתוך 14

מה חסר בבדיקה של שלוש דוגמאות בלבד?

המשך קריאה

עוד עמודים שיכולים לחבר את מה שלמדתם עכשיו

בפרקבחירת משתנה ותרגום בעיה בפרקשאלות תנועה והקשר גרפי קשוריישומים של מערכות משוואות קשורשאלות מילוליות במשוואות

השלב הבא

מעבר לדף התרגול של המודול

רוצים לבדוק הבנה ולתרגל עוד? דף התרגול של הוכחות אלגבריות פשוטות כבר מוכן.

פתחו תרגול

הוכחות אלגבריות פשוטות

מה בונים במודול?

למה דוגמאות אינן הוכחה?

מייצגים משפחה שלמה במספר אחד

דוגמה פתורה

מכפלת שני מספרים עוקבים היא זוגית

אסטרטגיית עבודה

שלבי החלטה

מייצגים

מעבדים

מסבירים

תרגול מודרך

הפרש ריבועים של מספרים עוקבים

ריבוע של מספר אי-זוגי

סימני זיהוי ודוגמאות

מספר זוגי

מספר אי-זוגי

מספרים עוקבים

הוכחה

שאלה לחשיבה

שאלה לחשיבה

טעות נפוצה: דוגמה אינה הוכחה

העמקה קצרה

דוגמאות פתורות נוספות

מזהים הוכחה לא מספיקה

מפריכים טענה בעזרת דוגמה נגדית

העמקה ותרגול מבחן

ייצוגים שכדאי לדעת בעל פה

מבנה של הוכחה קצרה

ניסוח

ייצוג

עיבוד

מסקנה

סכום שני אי-זוגיים עוקבים

סכום ריבועי שני מספרים עוקבים

הפרש ריבועים של עוקבים

מכפלת שלושה עוקבים

הבדיקה העצמית של הוכחה

מה חסר בבדיקה של שלוש דוגמאות בלבד?