בעיות שטח ומקסימום

איך שטח הופך לפרבולה?

כאשר שני ממדים של צורה תלויים זה בזה, השטח מתקבל כמכפלה של ביטויים. מכפלה כזאת יכולה ליצור פונקציה ריבועית. אם המקדם של $x^2$ שלילי, הפרבולה פונה למטה, והקדקוד שלה נותן את ערך המקסימום.

דוגמה פתורה

בדוגמה הפתורה שימו לב לא רק לחישוב הסופי, אלא גם לסיבה של כל מעבר. המטרה היא לדעת לבחור ייצוג, לבדוק אותו, ולכתוב תשובה שאפשר להצדיק.

אסטרטגיית עבודה

לפני שמתחילים לפתור, כדאי לעצור ולזהות את המבנה. כך לא משתמשים בכלי אלגברי מתוך הרגל, אלא מתוך התאמה אמיתית לתנאי השאלה.

שלבי החלטה

משתנה

מגדירים מה $x$ מייצג.

כותבים את הממד השני בעזרת $x$.

פונקציה

כותבים שטח, רווח או גודל אחר כפונקציה.

בודקים אם מתקבלת פרבולה פונה למטה או למעלה.

פירוש

הקדקוד נותן מקסימום או מינימום.

חייבים לבדוק תחום קבילות ויחידות.

תרגול מודרך

התרגילים הבאים בודקים את אותה חשיבה בצורה מדורגת: קודם מזהים את המבנה, אחר כך מחשבים, ולבסוף מפרשים את התוצאה בהקשר.

גדר בשלושה צדדים

בינוני

יש $20$ מטר גדר לשלושה צדדים של מלבן הנשען על קיר. אם רוחב כל צד קצר הוא $x$, מצאו את השטח המרבי.

$$A(x)=x(20-2x)$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

שטח עם סכום צלעות

בינוני

שני מספרים חיוביים שסכומם $18$. מהי המכפלה המרבית שלהם?

$$P(x)=x(18-x)$$

רמז (1/2)

פתרו את התרגיל

העמקה קצרה

לחץ להרחבה למתקדמים

↓

בעיות מקסימום ומינימום הן התחלה של אופטימיזציה. אותו רעיון מופיע בתכנון אריזות, בחירת מחיר, חיסכון בחומר ובמודלים של תנועה.

דוגמאות פתורות נוספות

העמקה ותרגול מבחן

בעיית מקסימום מתחילה בדרך כלל בציור או בתיאור, אבל הלב שלה הוא פונקציה ריבועית. אחרי שבונים אותה, הקדקוד נותן את התשובה החשובה ביותר.

מתכון לבניית פונקציית שטח

ציור קטן

מסמנים את הצלעות.

כותבים מה ידוע ומה משתנה.

קשר בין צלעות

משתמשים בהיקף או בתנאי נתון.

מבטאים צלע אחת בעזרת השנייה.

פונקציה

כותבים $A(x)$.

פותחים לסוג $a{x}^2+bx+c$.

קדקוד

מחשבים $x=-\frac{b}{2a}$.

מציבים כדי למצוא שטח מרבי.

גדר ליד קיר

מאתגר

יש $40$ מטר גדר לגידור שלושה צדדים של מלבן הצמוד לקיר. אם הרוחב המאונך לקיר הוא $x$, מצאו את השטח המרבי.

$$A(x)=x(40-2x)$$

רמז (1/3)

פתרו את התרגיל

היקף קבוע של מלבן

בינוני

היקף מלבן הוא $30$ ס״מ. מצאו את מידות המלבן בעל השטח המרבי.

$$A(x)=x(15-x)$$

רמז (1/3)

פתרו את התרגיל

הכנסה מרבית ממחיר וכמות

מאתגר

בדוכן מוכרים כרטיסים. אם המחיר הוא $x$ שקלים, מספר הכרטיסים הנמכרים הוא $40-x$. מצאו את המחיר שנותן הכנסה מרבית ואת ההכנסה המרבית.

$$R(x)=x(40-x)$$

רמז (1/3)

פתרו את התרגיל

ניתוח פונקציית שטח מוכנה

מאתגר

נתונה פונקציית שטח $A(x)=-x^2+10x-16$. מצאו את השטח המרבי ואת התחום שבו השטח חיובי.

$$A(x)=-x^2+10x-16$$

רמז (1/3)

פתרו את התרגיל

שאלה 1 מתוך 14

איזה שלב מגיע לפני חישוב הקדקוד בבעיה מילולית?

א

ציור בלי משתנה

ב

מחיקת היחידות

ג

בניית פונקציה שמייצגת את הסיפור

ד

כתיבת תשובה סופית

פוסטר סיכום

בעיות שטח ומקסימום

יישומי אלגברה וגרפים

למדו בעיות שטח ומקסימום במתמטיקה לכיתה ט׳: חיתוך, תחומים, מערכות, מידול והוכחות. שיעור אינטראקטיבי עם הסברים, דוגמאות, חידון ותרגול למבחן.